1.4 正弦函数、余弦函数的概念及其性质（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

1.4 正弦函数、余弦函数的概念及其性质 题型一 由终边上的点求三角函数值 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则（   ） A． B． C． D． 4．设角的终边上有一点，则的值是（   ） A． B． C．或 D．1 5．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 6．已知角的终边过点，则 ． 7．已知角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则 ． 8．在平面直角坐标系中，点在角的终边上. (1)求的值： (2)求的值. 9．(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值； (2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值； (3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sinα＋cosα的值． 题型二 各象限三角函数值符号的判断 1．已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 2．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 4．，，，这四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 5．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ． 6．若是第三象限角，则点在第 象限． 7．若角θ的终边过点P(-4a，3a)(a≠0)， (1)求sinθ+cosθ的值. (2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号. 题型三 利用平方关系、商数关系求值 1．已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则（    ） A． B． C．或 D．0 7．已知为第二象限角，，则 ． 8．已知为第三象限角，，则 . 9．若，则 ． 10．已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 11．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 题型四 正余弦函数的基本性质 1．对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为 . 5．函数的定义域为 . 6．函数的最小值为 ． 7．函数的值域为 . 8．已知函数． (1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值； 9．已知函数， (1)求的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)求方程的解. 题型五 诱导公式的化简与求值 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（   ） A．1 B． C．0 D． 4．若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．(多选)已知，下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知则 8．已知，则 ． 9．已知. (1)化简； (2)若，求. 10．已知为第二象限角，． （1）化简； （2）若，求的值． 题型一 由三角函数值求终边上的点或参数 1．已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（    ） A． B．3 C． D．1 3．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A．2 B． C．或2 D．或 4．已知角的终边过点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为 ． 6．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ． 7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值 8．已知角的终边经过点，且满足． (1)若为第二象限角，求值； (2)求的值． 题型二 利用平方关系求参 1．已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 2．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 3．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．9 4．已知，是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 6．已知，，其中，则的值为 . 7．已知，，则 ． 8．已知，，则实数k的值为 . 9．已知和是方程的两个实数根，则的值是 ． 10．若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ． 11．已知，，且为第二象限角，则 . 12．设函数 (1)求函数在R上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围． 题型三 正余弦齐次式的计算 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 3．若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 4．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，则 . 7．已知，则 ． 8．若，则 . 9．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 10．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 11．已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 题型四 sinx±cosx与sinxcosx的关系 1．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是关于的一元二次方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 3．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．若，则 ． 6．若，且，则的值为 ． 7．已知，则 ． 8．已知，则 ． 9．在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 10．已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. (1)若点坐标是且，求的值； (2)若角满足 ①求的值； ②求的值. 11．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 12．已知. (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值. 题型五 三角函数的化简求值与证明 1．解决下列问题： (1)已知为第二象限角．化简： (2)证明： (3)已知：，且，求的值. 2．已知，. (1)求的值. (2)求的值. (3)求的值. 3．求证： (1)； (2)； (3). 4．求证： (1)； (2)． 5．（1） 求证: （2） 已知，求 6．（1）求证：； （2）已知，求证：． 1．已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 3．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 5．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 6．化简： . 7．已知，则 8．若，则的最小值为 ． 9．已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 . 10．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 11．证明：，． 12．已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 13．（1）证明：. （2）已知，求证：. 14．（1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状． （2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.4正弦函数、余弦函数的概念及其性质 利用定义求某角的三角函数值 由终边上的点求三角函数值 正弦函数、余弦函数 由三角函数值求终边上的点或参数 的定义与基本性质 各象限三角函数值符号的判断 正余弦函数的基本性质 平方关系、商数关系求值 正弦函数、余弦函数的 利用平方关系求参 概念及其性质 正余弦济次式的计算 同角三角函数的关系 sinx±cosx与sinxcosx的关系 三角函数的化简与求值 诱导公式的化简与求值 诱导公式 三角恒等式的证明 A 基础达标题 题型一由终边上的点求三角函数值 1.D 2.A. 3.D 4.A 5.D 6.13 6 &西品 【详解】(1)由于点P3,-4到在角a的终边上，所以ana=4.-4 3 3, sina +cosa 4 tana +1 +1 (2) sina+cosa cosa 3 1 2sina-cosa 2sina-cosa 2tang-1 8 111 cosa 3 1/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 9.(1)- 5 (2)见解析(3)见解析 【详解】(1：r=V2+y=5, ·sina=y、_3 2=二，C0sa=1=-, r5 6,42 ∴.2sina+cosa= 二5 55 2:r=Vx2+y2=5la, 当a>0时，r=5a, sina=-3a=-3,cosa 4 5a 5 .2sina+cosa=-2 当a<0时，r=-5a, .sina=-3a 3 -5a5 c0sa=、4 2 .'2sina++cosa= 5 (3)当点P在第一象限时， sina= 5'cosa=4 sina+cos-2: 当点P在第二象限时， sina=3 c0sa=-4 5 2sina+cosa=2 当点P在第三象限时， sina=-3 cosa=- 5 2sing+cosa--2: 4 当点P在第四象限时， 3 5'cosa= 5 2sina+cosa= 4 sina=- 题型二各象限三角函数值符号的判断 1.A. 2.C 3.C 4.B 2/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.{1,-3到 6.三 1)当a>0时，sin0+cos9=当a<0时，sin9+cos6-3 (2)当a>0时，cos(sin0)sin(cos0)为负；当a<0时，cos(sin0)sin(cos0)为正. 【详解】试题分析：(1)用三角函数线即可求sin0+cos0的值，注意讨论a的正负； (2)根据各象限的三角函数的符号判断即可. (1)s1n8= 3a 3a ,Sin= -4a -4a v(-4a)2+(3a v-4a)2+(3a25a' 则1n8+cos8= 当a>0,sin8+cos8=-2= 1 5a 当a<0时，sin0+cos0= 5 cs(sin )sin (cs)cos 3 当a<0时，sin6=- 则ep3sn8 inco8)=cosC2simG>≥0 题型三利用平方关系、商数关系求值 1.C. 2.B. 3.A. 4.D. 5.A 6.B 7.12 51 3/23 品学科风网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.5 3 9.1 10.(1)sina= 2v5 tana 5 2e号 11.答案见解析 【详解】(1)a是第四象限的角，则eosu>0,于是cosa=V-sina- 3 ,则tana= (2)ama=片，则a是第二或四象限的角。 sin2a+cos2a=1 sina=5 当a是第二象限角时，cosa<0,sina>0,由 1sina,解得 tana = 2 cosa cosa=- 26: sin-a +cos'a=1 sina=-V5 5 当a是第四象限角时，cosa>0,sina<0,由 1sina,解得 tana = 2 cosa 2V5: coSa= 题型四正余弦函数的基本性质 1.A. 2.A 3.B. 4.{2m+sx≤2km+5红，keZ 6 6 +2kπ， 6 +2kπk∈Z. 6 6.1. 7. 8.(1)2π；[2kπ，2kπ+(k∈Z; 2)f()取得最小值-1，x=-2π 3 9.(1)[2kπ，2kπ+π]，k∈Z (2)-1 3 3 【详解】(1)f(x=2cosx的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π，keZ. 4/23 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)因为f(x)=2cosx在 上单调递增，在0， 上单调递减， “6 所以当x= 2时，f(xn=-1, 所以系数问在何否 上的最小值为-1. (3)f(x)+1=0,则2c0sx+1=0,cosx=-2 1 因为x∈[-2π，2π]， 所以x=红或-2或20或4如 3 3 3 3 题型五诱导公式的化简与求值 1.B. 2.A 3.C. 4.A. 5.c 【详解】因为角u的终边经过点P(V5,-2), -2 2 所以sina= √5 3,cosa= 5 V(W52+(-27 V(W5+(-22 3 元 2 sin(6π-a)cos(5π+)cos -+a 2 所以 -sina(-cosa)(-sina)=_sina=- 3_25 3π. -cosa sina(-cosa)cosa V5 51 cos(3π-a)sin(-π-a)sin 2 +0 故选：C 6.CD 号 8.1 9.(1)f(a)=-cosa 24 5/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sn-a小-cos(-a-cos(+a 【详解】(1)因为f(a)= (-sina).cosa-(-sina)=-cosa. a)-sin(-x-a)-sina cos sina.sina-cosa） 2 6=4 muug小mg小-mg小-migj-月 10. B 能力提升题 题型一由三角函数值求终边上的点或参数 1.B. 2.A 3.D 4.A. 5.(1,1) 6.-6. 7.1)m=-62 4 8.(1)sina= 4 2-1或6压或-6压 4 3 43 【样解】a由三角面数的定义。可期一孕，解m-0成m=5。 :a为第二象限角，∴m>0,所以m=√5， ÷sina=io」 4 (2)由(1)知m=0或m=±√5， 当m=0时，cosa=-l,tana=0,所以cosa+tana=-1; 当m=5时a-华，na: 3 ,所以cosa+tana=-V6.5 43 6/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当m=-5时，osa:- 4’ana= √6.15 3 ,所以cosa+tana=- 43 综上所述，cosa+tana的取值为-l或-6_5或-V6,5 43 43 题型二利用平方关系求参 1.C. 2.B 【详解】0∈(0，)，则cos0∈(0,1)，sin0∈(0,1)， 因为2ksin20cos20=sin20+9cos20, 所以t-g8s8-gagw0n0r司 、9 sim =a0+sin0+9cos8≥}10+2g)=8,当且仅当sin0-9cos0,即0=时等号成立， cos20 sin20 Γ2 cos20 sin20 3 所以k的最小值是8. 故选：B 3.D 【详解】由am≥15对任意的实数红+受ke7均成立。 21 可得m≥15sin2x-tan2xsin2x刘m 15n-m=15-a刘--151-s- cos2x =17- 16ea时+o517-26cao=9,当当16ca时= cos2x=}时取等号.则m≥9. 故选：D 4.C 【弹解】由60知、s号 2 sina+cosa() 又 sin a.cosa听2) 7/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由(1)2得：sinacosa=- 5 18 5 318 a=、5 6 故选：C 5.D. 6.1: 4 8.0或1. 9.-36 8 10.m≤9 【详解】由0∈0， 则0<tan0<√5， 3 由sin20+cos20=1, 1 4 1 4 则 十 (sin20+cos20) in2θcos2θsin20cos20 =1+4+cos204sin20 1 =5+ +4tan0 sin20cos20 tan20 ≥5+2 1 .4tan20=9, Vtan20 当且仅当an0=2时等号成立， 2 1 4） 故 sin20 cos20)min =9, 1 不等式 4 sin20 cos20 ≥m恒成立， 1 即m≤ *4) =9 sin20 cos20 )min 故答案为：m≤9. .名2 【详解】因为sina= 2m-3 伤2os=阳+之且心为第三象限角 8/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2m-3 >0 则 m+2 解得m<-2或m> m+1 <0 m+2 因为sin2a+cos2au= 2m-3)2 (m+2 m+125m2-10m+10=1, m+2 m2+4m+4 整理可得2m2-7m+3=0,即2m-川m-3引=0，解得m=)（舍)或m=3到 所以，sina= m+25cosa=-m+14 2m-3_3 m+251 所以，tana= sina_35）_3 cosa 54-4 sin(a+2024m)+cos(a+2023x)sina-cosa 1+1 47 -=-1- 因此， 2021元 -sina tang 3=-3. coS + 2 故答案为： -31 a+3,a≤-1 12.(1)f(x)mx= ga41<a<1网言je5 5a+3,a≥1 【详解】(1)f(x)=cos2x+a3-2sinx+3=-sin2x-2 asinx+3a+4, 令sinx=t,t∈[-l,l], 则f(x)变为g()=-t2-2at+3a+4=-(t+a)2+a2+3a+4, ①当-a≥1，即a≤-1时，函数g()在t∈[-1，]上单调递增， 所以f(x)max=g(1)=a+3, ②当-1<-a<1,即-1<a<1时，函数g(t)在[-1，-a上单调递增，在-a,上单调递减， 所以f(x)mx=g(-a）=a2+3a+4, ③当-a≤-1，即a≥1时，函数g()在t∈[-1，]上单调递减， 所以f(x)max=g(-l)=5a+3, a+3,a≤-1 故f()max = a2+3a+4,-1<a<1. 5a+3,a≥1 (2)若要f(x)>0,则需f(x)>0恒成立， 9/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当 时，t=sinx∈(0,1， 函数y=f(x)变为g(t)=-t2-2at+3a+4,te(0,l, 所求问题变为g(t)>0恒成立， g(0)=3a+4≥0 则只需 g1)=a+3≥0 4 解得a≥ 31 故的取值范围是 (3)令sinx=t,x∈(0,2π，-1≤t≤1， 若方程f(x)=5+2a在(0,2π]上有四个不相等的实数根， 故需当-1≤t≤1时，关于x的方程sinx=t在xe(0,2π时有2个不等实数解，则-1<t<1, 所以原问题可转化为g()=-t2-2at+3a+4=5+2a在(-1,1)内有两个不等实数根， 令h(t)=-t2-2at+a-1, -1<-a<1 △=4a2+4(a-1)>0 则有 h(-1)=3a-2<0 h1)=-a-2<0 解得5-12 <a< 2 、即的取值范围是（√5,1,3）、 题型三正余弦齐次式的计算 1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 7.1. 10/23 1.4 正弦函数、余弦函数的概念及其性质 题型一 由终边上的点求三角函数值 1．若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义进行求解 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故选：D. 2．已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义来求解的值. 【详解】已知点，可得 由三角函数定义，可得： 故选：A. 3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与直线位于第三象限的图象重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在终边上取一点的坐标为，利用三角函数的定义，结合勾股定理求出斜边的长度，进而得到的值. 【详解】由于终边在第三象限且在直线上， 取，则,因此，终边上一点 的坐标为， 设 ，根据勾股定理，, 则由三角函数的定义可得. 故选：D 4．设角的终边上有一点，则的值是（   ） A． B． C．或 D．1 【答案】A 【分析】由三角函数的定义求出、的值，进而可求得的值. 【详解】因为角的终边上有一点， 由三角函数的定义可得，， 因此，. 故选：A. 5．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 6．已知角的终边过点，则 ． 【答案】 【分析】由三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边过点，故， 原式， 故答案为：. 7．已知角的始边与轴正半轴重合，终边落在直线上，则 ． 【答案】 【分析】根据条件，得到，再利用“齐次式”即可求出结果. 【详解】因为终边落在直线上，即，且， 则，所以， 故答案为： 8．在平面直角坐标系中，点在角的终边上. (1)求的值： (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角函数定义可求得的值； （2）利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】（1）由于点在角的终边上，所以， （2）. 9．(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值； (2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值； (3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3∶4，求2sinα＋cosα的值． 【答案】（1）－ (2)见解析（3）见解析 【分析】(1)根据三角函数定义，即可求解得值，进而得到答案； (2)由题意，求得，分类讨论，利用三角函数的定义，即可求解； (3)由题意，根据点分别位于第一、二、三、四象限，结合三角函数的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】(1)∵r＝＝5， ∴sinα＝，cosα＝＝， ∴2sinα＋cosα＝－＋＝－. (2)∵r＝＝5|a|， ∴当a>0时，r＝5a， ∴sinα＝＝－，cosα＝， ∴2sinα＋cosα＝－； 当a<0时，r＝－5a， ∴sinα＝＝，cosα＝－， ∴2sinα＋cosα＝. (3)当点P在第一象限时， sinα＝，cosα＝，2sinα＋cosα＝2； 当点P在第二象限时， sinα＝，cosα＝－，2sinα＋cosα＝； 当点P在第三象限时， sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2； 当点P在第四象限时， sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－. 题型二 各象限三角函数值符号的判断 1．已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 【答案】A 【分析】根据题意得与的符号，利用三角函数的概念即可判断角所在的象限. 【详解】因为，所以或， 所以可能为第一象限角或第二象限角． 故选：A． 2．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的范围求得是第一､三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断. 【详解】因为在第一象限，所以， 所以，所以是第一､三象限角， 当是第一象限角时，； 当是第三象限角时，； 综上，一定成立. 故选：C 3．已知点在第二象限，则角的终边在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第二象限，所以，， 所以的终边在第三象限. 故选：C. 4．，，，这四个数中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，判断所在象限，再利用各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】因为，则2是第二象限角，4是第三象限角， 因此，，，， 所以给定的四个数中最大的是. 故选：B 5．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ． 【答案】 【分析】分象限讨论，求函数的取值，即可求函数的值域. 【详解】当为第一象限角时，， 当为第二象限角时，， 当为第三象限角时，， 当为第四象限角时，. 所以函数的值域为. 故答案为： 6．若是第三象限角，则点在第 象限． 【答案】三 【分析】利用角所在的象限判断角的三角函数值的正负，进而得到点所在的象限. 【详解】因为是第三象限的角， 所以， 所以点在第三象限. 故答案为：三 7．若角θ的终边过点P(-4a，3a)(a≠0)， (1)求sinθ+cosθ的值. (2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号. 【答案】（1）当时，；当时，. （2）当时，为负；当时，为正. 【详解】试题分析：（1）用三角函数线即可求的值，注意讨论的正负； （2）根据各象限的三角函数的符号判断即可. （1）， 则； 当； 当时，. （2）当时， 则 当时， 则 题型三 利用平方关系、商数关系求值 1．已知α为锐角，若，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数关系，已知角的余弦值，求正切值. 【详解】已知知α为锐角，则， 则. 故选：C. 2．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得.联立方程组，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以，. 由可得，. 故选：B. 3．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求解即可. 【详解】由，且， 得， 所以. 故选：A. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系列方程，解方程得到，，然后代入计算即可. 【详解】由题意得，解得，， 所以. 故选：D. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及，解出与即可求解. 【详解】因为，且， 所以，因为，所以，， 所以. 故选：A. 6．已知，，则（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出、，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，又， 解得（舍去）或， 所以. 故选：B 7．已知为第二象限角，，则 ． 【答案】 【分析】根据平方关系以及角的范围求得正余弦，再根据商数关系得正切的值. 【详解】因为为第二象限角，所以， 由解得所以． 故答案为：． 8．已知为第三象限角，，则 . 【答案】 【分析】先判断余弦正负，再利用，由正弦求余弦即可. 【详解】为第三象限角，则，又，， 所以. 故答案为：. 9．若，则 ． 【答案】 【分析】由得，结合，可解得，即可求解 【详解】由，化简得或（舍去），故， 故答案为1 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，解题易错点为忽略应舍去的情况，属于基础题 10．已知角为第二象限角，且，求： (1)和的值； (2)的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系即可求解． 【详解】（1）因为角为第二象限角，所以， 所以． （2）． 11．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 【答案】答案见解析 【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解； （2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解 【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 题型四 正余弦函数的基本性质 1．对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，从而转化成求在区间上的最小值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则，对称轴， 所以当时，取到最小值，最小值为， 故选：A. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3．函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 4．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由题干可知要满足根号下非负，再结合正弦函数的性质可解得定义域. 【详解】由题意知，即， 由正弦函数的性质可解得， 即的定义域为. 故答案为. 5．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意得到，进而解得答案即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 6．函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】利用分离常数整理函数，根据三角函数的值域以及不等式性质，可得答案. 【详解】，因为， 分母不为0，则，则，得， 故函数的最小值为1． 故答案为：. 7．函数的值域为 . 【答案】 【分析】先利用同角三角函数关系将函数化成关于的二次函数形式，再利用换元法令，，转化成关于的二次函数再闭区间上求值域即可． 【详解】， 令，则， ， 所以. 故答案为： 8．已知函数． (1)写出函数的最小正周期以及单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值，并写出取得最小值时的值； 【答案】(1)；； (2)取得最小值，． 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用余弦函数的图象和性质求解. 【详解】（1）函数的最小正周期； 所以函数的单调递减区间为：. （2）由，函数在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以取得最小值，此时. 9．已知函数， (1)求的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值； (3)求方程的解. 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由余弦函数的单调性直接求解即可； （2）由余弦函数的性质判断在上单调性，然后根据其单调性可求出其最小值； （3）由题意得，然后根据余弦函数的性质可求得答案. 【详解】（1）的单调递减区间为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以当时，， 所以函数在区间上的最小值为. （3），则. 因为， 所以或或或. 题型五 诱导公式的化简与求值 1．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 故选：B. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】由题意，. 故选：A 3．（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式及特殊角的余弦值计算. 【详解】. 故选：C. 4．若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知角的终边过点，则可求，再利诱导公式即可. 【详解】角的终边过点，则， 则. 故选：A. 5．已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义可得，的值，再利用诱导公式进行化简求值. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，， 所以. 故选：C. 6．(多选)已知，下列式子中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据诱导公式化简求解即可. 【详解】根据诱导公式可得： ， ， . 故A、B不成立，C、D成立． 故选：CD 7．已知则 【答案】 【分析】利用同角三角函数的关系处理即可. 【详解】令，则，． ． 故答案为： 8．已知，则 ． 【答案】1 【分析】先利用诱导公式化简，然后再代值计算即可 【详解】因为 ， 所以， 故答案为：1 9．已知. (1)化简； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式进行化简整理.（2）整体配凑角即可求解 【详解】（1）因为. （2）由. 所以. 10．已知为第二象限角，． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】 (1)； (2)，. 【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可； （2）通过角的变换结合诱导公式即可求解. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以. 题型一 由三角函数值求终边上的点或参数 1．已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义计算即可. 【详解】由题知，解得． 故选：B. 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】 根据正弦的定义得到，解出即可. 【详解】 因为，是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得（正值舍去）. 故选：A. 3．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】解：因为点是角终边上的一点，且， 所以，解得或. 故选：D 4．已知角的终边过点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦函数的定义计算可得． 【详解】由题意，所以，则，解得． 故选：A． 5．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义列出方程组，求出点的坐标. 【详解】设点的坐标为，则由三角函数的定义得，， 解得， 故点的坐标为． 故答案为： 6．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可. 【详解】由题设知， 即，且， 即，且， 解得， 故答案为：. 7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数定义可直接构造方程求得； （2）根据三角函数定义可得，利用诱导公式化简所求式子，代入的值即可求得结果. 【详解】（1），，又，解得：. （2）由（1）得：， . 8．已知角的终边经过点，且满足． (1)若为第二象限角，求值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)或或. 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，通过解方程即可求出的值，从而可求出值； （2）根据（1）中求出的值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案. 【详解】（1）由三角函数的定义，可知，解得或， ∵α为第二象限角，∴m＞0，所以m＝， ∴； （2）由（1）知或， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 综上所述，的取值为或或． 题型二 利用平方关系求参 1．已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解. 【详解】由，， 则， 则，解得（舍去）或， 所以实数t所有可能值的和为1. 故选：C. 2．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．5 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得． 【详解】，则， 因为， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是8. 故选：B． 3．已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由对任意的实数均成立， 可得. ，当且仅当，即时取等号.则. 故选：D 4．已知，是方程的两根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解. 【详解】由Δ≥0知，a≤. 又 由(1)2得：sinαcosα＝－， ∴＝－， ∴a＝－. 故选：C 5．已知，，若为第二象限角，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由，注意在第二象限，有即可． 【详解】∵，∴，解得或， 时，，不是第二象限角，舍去．时，符合题意． ∴． 故选：D． 6．已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. 7．已知，，则 ． 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故； 当时，，，故. 故答案为：或 8．已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【详解】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 9．已知和是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】由韦达定理，立方和公式及同角三角函数基本关系式计算可得结果. 【详解】因为和是方程的两个实数根， 所以，，， 所以， 即，解得，满足． 所以 ． 故答案为：. 10．若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系及基本不等式，可求得的最小值，即可得实数m的取值范围. 【详解】由，则， 由， 则 ， 当且仅当时等号成立, 故， 不等式恒成立， 即. 故答案为：. 11．已知，，且为第二象限角，则 . 【答案】/ 【分析】由已知可求出的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出的值，可求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为，，且为第二象限角， 则，解得或， 因为， 整理可得，即，解得（舍）或， 所以，，， 所以，， 因此，. 故答案为：. 12．设函数 (1)求函数在R上的最大值； (2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，根据正弦函数的有界性知，原函数变为以为自变量的开口向下的二次函数，讨论对称轴与区间端点的关系分别求解即可； （2）利用换元法将问题转化为上恒成立列不等式求解即可； （3）利用换元法将问题转化为二次函数在上有两个零点求的范围，将所有满足条件的不等式列出来，求解出的范围即可． 【详解】（1）， 令，， 则变为， ①当，即时，函数在上单调递增， 所以， ②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， ③当，即时，函数在上单调递减， 所以， 故． （2）若要，则需恒成立， 当时，， 函数变为，， 所求问题变为恒成立， 则只需， 解得， 故的取值范围是； （3）令，，， 若方程在上有四个不相等的实数根， 故需当时，关于的方程在时有2个不等实数解，则， 所以原问题可转化为在内有两个不等实数根， 令， 则有， 解得， 即的取值范围是． 题型三 正余弦齐次式的计算 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弦切互化和齐次式化简求解. 【详解】已知，则. 故选：B 2．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 【答案】D 【分析】由得，结合诱导公式，利用同角三角函数的平方和关系及商数关系即可求解. 【详解】由得， 故 . 故选：D 3．若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求式子，从而求得正确答案. 【详解】. 故选：A 4．已知 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系，利用弦化切求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用齐次化思想求出，再利用齐次化思想求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 6．已知，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数商的关系结合弦化切即可求解. 【详解】由， 可得，解得， 所以， 故答案为： 7．已知，则 ． 【答案】1 【分析】结合同角三角函数的关系式，根据齐次式法求解即可. 【详解】由，则，解得， 所以. 故答案为：1. 8．若，则 . 【答案】 【分析】通过同角三角函数的基本关系，弦化切代入值后即可得到结果. 【详解】. 故答案为： 9．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系进行求解即可； （2）利用同角三角函数的关系进行求解即可 【详解】（1）； （2） . 10．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，结合，解一元二次方程即可得出答案； （2）由诱导公式、弦化切可化简为，可得答案； （3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以化为，即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 11．已知函数，其中. (1)化简； (2)若，求 的值； (3)若，求的值. 【答案】(1)且； (2)； (3)； 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可； （2）由平方关系，将目标式化为关于正余弦的齐次式，再由弦化切，即可求值； （3）由已知得，两侧平方并化为，即可得. 【详解】（1）由且； （2）由题设及（1）知，而 （3）由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 题型四 sinx±cosx与sinxcosx的关系 1．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用韦达定理建立和的方程，结合平方关系，即可求得的值；通过平方关系和象限分析，即可求得的值；将和联立，求得和的值，根据商数关系即可求得的值；由平方差公式，可得，将和代入，即可求得的值. 【详解】已知，是方程的两根，则有， 又由， 得，解得，故A错误； 又，则，又，所以， 所以， 又，，所以，则，故B错误； 又，解得， 所以，故C错误； 所以，故D正确. 故选：D 2．已知，是关于的一元二次方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理得，再两边平方可求得，可求得的值． 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ， 则， ，则． 故选：D． 3．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将给定等式切化弦，再利用同角三角函数的基本关系计算即可. 【详解】，，即， 那么，即D正确. 故选：D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系，得，再结合条件，即可求解. 【详解】因为， 又，则， 又因为，则，所以， 故选：B. 5．若，则 ． 【答案】 【分析】根据与的关系即可求解. 【详解】因为， 两边平方得， 即， 解得. 故答案为：. 6．若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 7．已知，则 ． 【答案】 【分析】应用关系求目标函数值. 【详解】由，则，故， 由，得， 所以，可得. 故答案为： 8．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用平方关系得，进而得到，即可求解. 【详解】由，得， 解得，所以， 又因为，且，所以，，所以， 则， 故答案为：. 9．在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 【答案】(1)当时，，当时，， (2)；点的坐标为 【分析】（1）由条件利用三角函数的定义求，再利用三角函数定义求； （2）根据商数关系和平方关系可得，再结合平方关系由求，，即可解出. 【详解】（1）依题意，，解得或， 则当时，， 当时，， （2）， 因为①，两边平方得，即， 所以， 因为角的终边与单位圆交于点，且， 所以， 又，故，故， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 10．已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合. (1)若点坐标是且，求的值； (2)若角满足 ①求的值； ②求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解的值即可； （2）①结合平方关系将已知等式平方可得，判断的符号，从而再平方可得的值；②由①中结论，列方程组解得的值，代入即可得所求. 【详解】（1）因为且，所以点在第一或第二象限， 又 ，所以在第一象限且， 由三角函数概念知：， 故实数的值为； （2）①因为角满足， 则， 所以， 又因为，则且， 所以， 由且，有， 所以， ②由①知：，则， 则. 11．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)－. (2) (3) 【分析】（1）将等式两边平方，结合即可求解； （2）利用立方和公式求值即可. （3）利用平方差公式及象限角的正余弦值求值即可. 【详解】（1） ，，即. ，. （2） . （3） 因为，，所以正余弦值异号，即为第二象限角， 所以. 12．已知. (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由角终边过点，得到，代入求值； （2）化简求得，代入利用诱导公式化简求值； （3）由求得，代入求值. 【详解】（1）的终边过点； （2） ； （3）因为，所以，即， 从而， 因为，所以，因此， 从而，故 题型五 三角函数的化简求值与证明 1．解决下列问题： (1)已知为第二象限角．化简： (2)证明： (3)已知：，且，求的值. 【答案】(1); (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）通分后，利用，结合及题意可得答案； （2）利用，，结合题意可完成证明； （3）利用诱导公式结合同角三角函数关系可得答案. 【详解】（1）因在第二象限，则，， 结合，则 ； （2）因， 则 ， 所以， （3）， 又，则，. 又， 则， 所以. 2．已知，. (1)求的值. (2)求的值. (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解； （2）由（1），可得，则，从而可得出答案； （3）根据，结合正余弦的符号去掉根号，化简，从而可求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，，所以， 所以原式=； （3）由（2）得， 则 . 3．求证： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明. （2）利用切化弦结合同角三角函数的平方关系即可证明. （3）利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系即可证明. 【详解】（1） 故成立. （2）因为， 所以. （3） ， ， 故等式左边，等式成立. 4．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 5．（1） 求证: （2） 已知，求 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）应用因式分解及平方关系式，整理化简右侧，再由弦化切即可证结论； （2）由，应用诱导公式、平方关系求，即可得函数值. 【详解】（1）由 ，得证. （2） ， 由，则，， 所以. 6．（1）求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 1．已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合诱导公式判断即可得出结论. 【详解】若，则， 所以， 则， 所以“”“”， 另一方面，若，则或， 即或， 所以“”“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 若，则， 故选：D 3．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边过点，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义可得，进而可求正切， 【详解】因为，所以， 由三角函数定义得， 两边平方解得，又，故 ， ∴ ．即． 故选：D. 4．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（   ） A．第二象限角或第三象限角 B．第二象限角或第四象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角、第三象限角或第四象限角 【答案】A 【分析】根据题意，分别讨论四个象限时的符号进行判断即可． 【详解】当角的终边在第一象限时，， 又， ，故，不符合题意； 当角的终边在第二象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第三象限时，， 又， ，故，符合题意； 当角的终边在第四象限时，， 又， ，故，不符合题意； 综上，角的终边在第二象限或第三象限． 故选：A． 5．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标不可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角速度列方程，求得两点重合的时刻的表达式，进而求得点的坐标，再根据三角函数的周期性求得正确答案. 【详解】点的初始位置，锐角，设时刻两点重合， 则，即， 此时点， 即，， 当时，，故A正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即，故D正确； 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误. 故选：B 6．化简： . 【答案】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 7．已知，则 【答案】 【分析】，然后将条件两边平方即可得出答案. 【详解】， ， 所以，所以， 故答案为：. 8．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据的关系，将化为，再结合对式子进行转化，利用基本不等式即可求其最小值． 【详解】∵，∴，即， ∴原式 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 9．已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 . 【答案】0 【分析】利用点关于轴与直线的对称点的坐标，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】由可知，都存在， 因为角的终边上的点与关于轴对称， 所以，则， 而角的终边上的点与A关于直线对称， 所以，则，， 则 . 故答案为：0. 10．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，结合，解一元二次方程即可得出答案； （2）由诱导公式、弦化切可化简为，可得答案； （3）将所求式子利用同角三角函数的平方关系恒等变形后除以化为，即可得出答案. 【详解】（1）由可得：， 即，解得：或. 因为，所以，所以. （2）. （3） . 11．证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【详解】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 12．已知关于的方程的两根为和，其中 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值 【答案】(1)35 (2) (3) 【分析】（1）由条件利用韦达定理求出，再对左右两边同时平方即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系化简已知式可得，再将的值代入即可得出答案. （3）由立方差化简，法一：利用同角三角函数的基本关系求出代入即可得出答案；法二：求出，代入即可得出答案. 【详解】（1）由得， 方程的两根为和， 于是，进而，即， 由，对左右两边同时平方， 得.解得.经检验符合. （2）原式 原式 （3）由得. 由可得. 因此. 另解：原方程即，两根为， 由得，于是， 因此. 13．（1）证明：. （2）已知，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）由已知可得（），代入等式左边，再利用三角函数的周期性和诱导公式推理即得. 【详解】（1）左边，原等式成立； （2）由，得（）， 则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 14．（1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状． （2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由． 【答案】（1），是钝角三角形； （2）存在，使等式同时成立，理由见解析 【分析】（1）由根与系数的关系可得，利用同角三角函数的基本关系可得的值，化为，求解即可，进而判断三角形的形状. （2）根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）因为关于x的方程的两根为，． 所以， 由，可得， 解得，所以，所以， 解得或， 因为为的一个内角，所以，所以， 又，所以，且，所以， 所以，所以，所以是钝角三角形； （2）存在，使等式同时成立. 由，得， 所以，两式平方后相加可得， 又因为，得到，即. 因为，所以或. 将代入，得， 由于，所以. 将代入，得， 由于，这样的角不存在. 综上可知，存在，使等式同时成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $