专题1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质（高效培优讲义，7知识&8题型+强化训练）高一数学北师大版必修第二册

本讲义聚焦正弦函数和余弦函数的概念及性质，以单位圆为起点构建定义，拓展至终边上点的坐标表示，衔接特殊角函数值、定义域、值域、周期性等性质，再到象限符号规律及诱导公式，形成递进式学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固，结合8类题型（定义应用、诱导公式化简等）的典例与变式，融入多校月考真题，培养数学思维的推理能力与数学语言的应用意识。课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识内化。

专题1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 教学目标 1.结合单位圆理解正弦、余弦函数的定义，明确其与任意角的对应关系； 2.掌握正弦、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性，以及各象限符号规律； 3.借助单位圆推导诱导公式（一）（二）（三），理解其意义并能用于三角函数的求值、化简与证明； 4.归纳诱导公式的共性与个性，体会 “特殊到一般” 的推理方法，提升研究、解决数学问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）任意角的正弦、余弦函数的定义； （2）正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性等核心性质，以及各象限符号； （3）诱导公式的推导与应用（求值、化简、证明）。 2.难点 （1）利用单位圆抽象出正弦、余弦函数的性质； （2）诱导公式的综合归纳与灵活应用（不同公式的选择、多步化简的逻辑梳理）。 知识点01 正弦函数与余弦函数的定义 1. 定义：如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于给定的任意角, 使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点以下是提取的完整内容：,那么点的纵坐标是角的正弦函数值,记作=____________;点的横坐标是角的余弦函数值,记作=____________. 2. 正余弦函数的理解： （1）是一个任意角，同时它可以是角度制表示的角，也可以是一个弧度制表示的角（弧度）； （2）点的纵坐标对应正弦，点的横坐标对应余弦。 （3）三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数。 【即学即练】 1．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 2．(21-22高一上·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 正弦函数与余弦函数的定义拓展 1. 定义：如图设角终边上除原点外的一点，则____________，____________，其中。 2. 特别提醒： 角的三角函数值与点在终边上的位置无关；根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到平方关系：。 【即学即练】 3．(25-26高一上·广东广州执信中学·月考)已知角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．(25-26高一上·江苏淮阴中学·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 特殊角的正余弦函数值 【即学即练】 5．（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·月考)在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 知识点04 正余弦函数基本性质 根据正弦函数的定义，从单位圆可看出它们的性质： （1）定义域：正余弦函数的定义域均是____________； （2）最值/定义域：正余弦函数的最大值均是_______，最小值均是_______，值域均是_______； （3）周期性：它们是周期函数，其周期是_______，最小正周期为_______； （4）单调性：正弦函数在区间_______上是增加的，在区间_______上是减少的；余弦函数在区间_______上是增加的，在区间_______是减少的。 注意：正弦余弦的平方关系：。 【即学即练】 7．以下不可能是的值的是（    ） A． B． C． D． 知识点05 终边相同的角的三角函数值 . （1）其结构特点是函数名相同，左边角为，右边角为. （2）由公式可知，三角函数值有“_______”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. （3）此公式也可以记为：. 其中. 注意：终边相同的角的同一三角函数的值_______，反之，若两个角某一三角函数值相等，则这两个角终边_______。 【即学即练】 8．(21-22高一上·四川成都蓉城高中联盟·期末)下列关于角的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若角和角的终边相同，可以有 C．第二象限角大于第一象限角 D．锐角是第一象限角 9．(23-24高一下·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．小于 B．锐角都是第一象限角 C．三角形的内角是第一或第二象限的角 D．终边相同角的正弦值一定相等 知识点06 正余弦函数的符号 象限 一 二 三 四 _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ 【即学即练】 10．(22-23高一下·四川广安友实学校·期中)若，且，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．(20-21高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)若且，则的终边在所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点07 诱导公式 对任意角，下列关系式均成立（其中）： （1）_______； （2）_______； （3）_______； （4）_______； （5）_______； （6）； （7）_______； （8）_______； （9）_______； （10）_______； （11）_______； （12）_______； （13）_______； （14）_______ 【即学即练】 12．(25-26高三上·宁夏灵武第一中学·期中)的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 14．(25-26高二上·广西“贵百河”联考·月考)已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 15．(25-26高三上·四川内江威远中学·期中)已知，则等于（ ） A． B． C． D． 题型01 利用定义求某角的三角函数值 【典例1】(22-23高一下·四川眉山眉山冠城七中实验学校·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(22-23高一下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】(17-18高一下·浙江嘉兴第一中学·期中)已知角的终边与单位圆交于点，则的值为 A． B． C． D． 【变式3】(18-19高一上·内蒙古赤峰二中·月考)如图, 在平面直角坐标系中, 角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为, 则的值为 A． B． C． D． 【变式4】(22-23高一上·福建泉州·期末)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 题型02 由终边或终边上的点求三角函数值 【典例1】(25-26高一上·江苏如东一中、宿迁一高、徐州中学、宿迁项里高中、洋河如东高中联盟校联考·)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高一上·重庆第八中学校·)角的终边经过点 ，则 （    ） A． B． C． D．0 【变式2】(25-26高三上·河南九师联盟·)在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】(25-26高三上·海南部分学校·月考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】(24-25高一下·四川乐山第一中学校·月考)已知角终边上一点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 【典例1】(25-26高一上·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高三上·北京顺义区第一中学·月考)已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【变式3】(24-25高一下·贵州遵义区县一中·期中)已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式4】(24-25高一下·河南南阳六校·)已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 题型04 特殊角的三角函数值 【典例1】（    ） A． B． C． D．0 【变式1】(24-25高一下·上海顾村中学·期中)“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【变式2】(24-25高一下·安徽亳州涡阳县蔚华中学·开学考)若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式4】(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型05 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【典例1】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1】(23-24高一上·陕西榆林第十中学·月考)已知，那么角是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 【变式2】(22-23高一上·山东枣庄第八中学南校·)若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式3】已知角θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且sin θ＞0，cos θ＜0，则实数a的取值范围是 . 【变式4】(18-19高一下·上海嘉定区外国语学校·月考)已知，则角是第 象限的角. 题型06 由已知角所在的象限确定三角函数的符号 【典例1】(25-26高一上·广西‘’贵百河·)已知是第一象限角，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】(25-26高三上·天津西青区张家窝中学·期中)若为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【变式3】(24-25高一下·陕西多校·月考)“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】(23-24高一上·江苏淮安涟水县第一中学·月考)当x为第四象限角时，则（     ） A．1 B．0 C．2 D．－2 题型07 利用诱导公式求三角函数值 【典例1】(25-26高一上·吉林长春东北师范大学附属中学·)（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】(25-26高一上·天津南开区天津大学附属中学·月考)（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25高三下·甘肃多校·)已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】(19-20高一上·福建仙游第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 题型08 利用诱导公式化简、求值 【典例1】(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】(25-26高二上·贵州新高考协作体·月考)已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25高一下·贵州遵义南白中学·)已知. (1)化简； (2)若角的终边经过点，求的值. 【变式3】(23-24高一上·山东淄博·期末)已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【变式4】化简． 1．(22-23高一下·浙江衢州第三中学·月考)已知角的终边与单位圆的交于点，则为（    ） A． B． C． D． 2．(22-23高一上·吉林长春实验中学·期末)点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高一·5.2.1三角函数的概念-·)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边分别与单位圆交于点和，那么（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·内蒙古包头·期末)在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．(22-23高一下·四川达州万源中学·月考)若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高二上·云南大理大理白族民族中学·开学考)已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·广东惠州第一中学·月考)“是锐角”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．(25-26高一·山东泰安新泰中学·月考)下列各选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若角是第三象限角，则点所在象限为（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．点所在的象限是（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 11．(23-24高一上·安徽六安第一中学·期末)是的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 12．(23-24高三上·安徽·)已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 13．(22-23高一下·新疆乌鲁木齐第三十六中学·期中)的值等于（    ） A． B． C． D． 14．(20-21高一·4.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义4.2单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课后习题·)如图所示，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P，Q两点，则点P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 15．(25-26高三上·黑龙江龙东十校联盟·开学考)的值为（    ） A． B． C． D． 16．(22-23高一下·山西大同平城中学校·)=（ ） A． B． C． D． 17．(25-26高一上·山东烟台招远第二中学·期末)的值（   ） A． B． C． D． 18．(25-26高一上·江苏苏州工业园区苏州大学附属中学·月考)的值是（   ） A． B． C． D． 19．(25-26高一上·北京第十二中学·)已知，则（   ） A． B． C． D． 20．(25-26高三上·山东沂源县第一中学·期中)已知点是角终边上的一点，则（ ）. A． B． C． D． 21．(25-26高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·)已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 22．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 23．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 24．已知，则（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 教学目标 1.结合单位圆理解正弦、余弦函数的定义，明确其与任意角的对应关系； 2.掌握正弦、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性，以及各象限符号规律； 3.借助单位圆推导诱导公式（一）（二）（三），理解其意义并能用于三角函数的求值、化简与证明； 4.归纳诱导公式的共性与个性，体会 “特殊到一般” 的推理方法，提升研究、解决数学问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）任意角的正弦、余弦函数的定义； （2）正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性等核心性质，以及各象限符号； （3）诱导公式的推导与应用（求值、化简、证明）。 2.难点 （1）利用单位圆抽象出正弦、余弦函数的性质； （2）诱导公式的综合归纳与灵活应用（不同公式的选择、多步化简的逻辑梳理）。 知识点01 正弦函数与余弦函数的定义 1. 定义：如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于给定的任意角, 使角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交于点以下是提取的完整内容：,那么点的纵坐标是角的正弦函数值,记作=________;点的横坐标是角的余弦函数值,记作=________. 2. 正余弦函数的理解： （1）是一个任意角，同时它可以是角度制表示的角，也可以是一个弧度制表示的角（弧度）； （2）点的纵坐标对应正弦，点的横坐标对应余弦。 （3）三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数。 【即学即练】 1．(25-26高三上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)已知角的终边与单位圆的交点为，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义求出，代入所求式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故答案为：. 2．(21-22高一上·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)若角的终边和单位圆的交点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义计算可得结果. 【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为可得. 故选：C. 知识点02 正弦函数与余弦函数的定义拓展 1. 定义：如图设角终边上除原点外的一点，则______，____，其中。 2. 特别提醒： 角的三角函数值与点在终边上的位置无关；根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到平方关系：。 【即学即练】 3．(25-26高一上·广东广州执信中学·月考)已知角的终边经过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的定义即可求解. 【详解】角的终边经过点，点到原点的距离，由正弦函数的定义可知. 故选：D 4．(25-26高一上·江苏淮阴中学·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数定义可得，从而计算出答案. 【详解】终边过点，故， 所以. 故选：C 知识点03 特殊角的正余弦函数值 【即学即练】 5．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 6．(24-25高一下·辽宁朝阳建平县实验中学·月考)在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的正余弦值及三角函数的定义即可求解． 【详解】，则， 故选：B． 知识点04 正余弦函数基本性质 根据正弦函数的定义，从单位圆可看出它们的性质： （1）定义域：正余弦函数的定义域均是____； （2）最值/定义域：正余弦函数的最大值均是__1___，最小值均是______，值域均是____； （3）周期性：它们是周期函数，其周期是____，最小正周期为____； （4）单调性：正弦函数在区间______上是增加的，在区间______上是减少的；余弦函数在区间______上是增加的，在区间___是减少的。 注意：正弦余弦的平方关系：。 【即学即练】 7．以下不可能是的值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值范围进行判断即可. 【详解】因为，、、均在范围之内，， 所以不可能是的值， 故选：D. 知识点05 终边相同的角的三角函数值 . （1）其结构特点是函数名相同，左边角为，右边角为. （2）由公式可知，三角函数值有“ 周而复始 ”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. （3）此公式也可以记为：. 其中. 注意：终边相同的角的同一三角函数的值 相等 ，反之，若两个角某一三角函数值相等，则这两个角终边 不一定相同 。 【即学即练】 8．(21-22高一上·四川成都蓉城高中联盟·期末)下列关于角的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若角和角的终边相同，可以有 C．第二象限角大于第一象限角 D．锐角是第一象限角 【答案】D 【分析】取特殊角可判断AC，根据终边相同的角的三角函数值相等可判断B，根据锐角的范围可判断D. 【详解】对A，若，如，，故A错误； 对B，若角和角的终边相同，因为终边相同的角的三角函数值相等，所以，故B错误； 对C，是第二象限角，是第一象限角，，故C错误； 对D，锐角是第一象限角，故D正确. 故选：D. 9．(23-24高一下·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．小于 B．锐角都是第一象限角 C．三角形的内角是第一或第二象限的角 D．终边相同角的正弦值一定相等 【答案】BD 【分析】根据正负角的概念判定A;根据锐角的概念和象限角的概念判定B；考虑到三角形的内角可能为直角，从而否定C；利用三角函数的定义判定D. 【详解】大于，则A错误； 锐角是指在到之间的角，都是第一象限角，故B正确 三角形的内角可能是直角，终边在轴的正半轴上，不属于任何象限，对应角不是任何象限的角，故C错误； 根据三角函数的定义知道，终边相同角的正弦值一定相等，故D正确. 故选：BD. 知识点06 正余弦函数的符号 象限 一 二 三 四 【即学即练】 10．(22-23高一下·四川广安友实学校·期中)若，且，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据角的象限与正余弦函数的函数值正负的关系判断． 【详解】因为，所以的终边落在轴的左侧， 因为，所以的终边落在轴的上方， 所以角的终边在第二象限. 故选：B. 11．(20-21高一下·北京师范大学附属实验中学·期中)若且，则的终边在所在象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论. 【详解】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，则α的终边在第二、三象限或轴负半轴上， 因此，的终边所在象限为第三象限. 故选：C. 知识点07 诱导公式 对任意角，下列关系式均成立（其中）： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14） 【即学即练】 12．(25-26高三上·宁夏灵武第一中学·期中)的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 13．已知角的终边与单位圆的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三角函数的定义及诱导公式可得结果. 【详解】由角的终边与单位圆的交点为，所以. 再由诱导公式得. 故选：A 14．(25-26高二上·广西“贵百河”联考·月考)已知，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】. 故选：C 15．(25-26高三上·四川内江威远中学·期中)已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 题型01 利用定义求某角的三角函数值 【典例1】(22-23高一下·四川眉山眉山冠城七中实验学校·期中)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查三角函数的定义，利用定义即可得出结果. 【详解】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：. 故选：B. 【变式1】(22-23高一下·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解. 【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点， 故 ， 故选：B 【变式2】(17-18高一下·浙江嘉兴第一中学·期中)已知角的终边与单位圆交于点，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到的值. 【详解】因为角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目. 【变式3】(18-19高一上·内蒙古赤峰二中·月考)如图, 在平面直角坐标系中, 角的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为, 则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出点的横坐标，利用三角函数的定义可得的值. 【详解】由题意,点的纵坐标为,点的横坐标为， 由三角函数的定义可得，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 【变式4】(22-23高一上·福建泉州·期末)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若的终边与圆心在原点的单位圆交于，且为第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据象限得出的范围，再根据单位圆的性质得出的值，即可根据三角函数定义得出答案. 【详解】在单位圆上， ，解得， 为第四象限角， ，则， ， 故选：B. 题型02 由终边或终边上的点求三角函数值 【典例1】(25-26高一上·江苏如东一中、宿迁一高、徐州中学、宿迁项里高中、洋河如东高中联盟校联考·)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义求解. 【详解】由题可得. 故选：A. 【变式1】(25-26高一上·重庆第八中学校·)角的终边经过点 ，则 （    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】由任意角三角函数的定义求得，即可求出的值. 【详解】因为角的终边经过点 ，所以. 所以，. 所以. 故选：B. 【变式2】(25-26高三上·河南九师联盟·)在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义计算求解. 【详解】根据三角函数的概念，得，，所以. 故选：C. 【变式3】(25-26高三上·海南部分学校·月考)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求解即可． 【详解】终边过点， 则， ， 故选：A． 【变式4】(24-25高一下·四川乐山第一中学校·月考)已知角终边上一点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，代入求值，即得答案. 【详解】由题意知角终边上一点坐标为，故， 故， 故， 故选：D 题型03 由三角函数值求终边上的点或参数 【典例1】(25-26高一上·黑龙江大庆大庆中学·期末)已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦函数的定义及列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 【变式1】(25-26高三上·北京顺义区第一中学·月考)已知为角终边上一点，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】当时，，则，充分性成立， 当时，则，可得，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为其终边上一点，且， 由三角函数的定义，可得，解得或或， 又因为是第二象限角，所以，所以. 故选：D. 【变式3】(24-25高一下·贵州遵义区县一中·期中)已知角的终边经过点，且，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的定义计算可得. 【详解】由余弦函数定义可得，所以，解得. 故选：D 【变式4】(24-25高一下·河南南阳六校·)已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 题型04 特殊角的三角函数值 【典例1】（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算，即可求解. 【详解】根据特殊角的三角函数值，可得. 故选：B. 【变式1】(24-25高一下·上海顾村中学·期中)“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】由充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式2】(24-25高一下·安徽亳州涡阳县蔚华中学·开学考)若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，根据任意角三角函数的定义求解即可. 【详解】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：. 【变式3】点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数先求出该点坐标，关于y轴对称后，y不变，x相反 【详解】∵， ∴ ， 关于轴对称点的坐标是． 故选：A． 【变式4】(23-24高二下·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把集合B中的元素代入集合A检验，再结合交集运算求解. 【详解】因为， 可知，所以 . 故选：C. 题型05 由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【典例1】已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】由三角函数的定义可知， 为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由 为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 【变式1】(23-24高一上·陕西榆林第十中学·月考)已知，那么角是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第二或第四象限角 【答案】B 【分析】由三角函数值的符号结合题意即可得出答案. 【详解】因为，所以同为正或同为负， 所以角是第一或第三象限角. 故选：B. 【变式2】(22-23高一上·山东枣庄第八中学南校·)若，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案. 【详解】由，可得为第三、第四象限角及轴非正半轴上的角； 由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角． 取交集可得，是第四象限角． 故选：D． 【变式3】已知角θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且sin θ＞0，cos θ＜0，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由“sin θ＞0，cos θ＜0”和象限角的知识可以判断出为第几象限角，进而判断点在第几象限，可确定该点横、纵坐标的符号，从而得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为sin θ＞0，cos θ＜0，所以θ为第二象限角， 且θ的终边经过点(3a－9,a＋2)，且所以， 解得－2＜a＜3. 故答案是：(－2,3). 【变式4】(18-19高一下·上海嘉定区外国语学校·月考)已知，则角是第 象限的角. 【答案】三 【分析】直接由三角函数的定义判断． 【详解】解：∵， ∴角是第三象限角或第四象限角， ∵， ∴角是第二象限角或第三象限角， 故角是第三象限角， 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，考查了三角函数值在各个象限的符号，记忆口诀是“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，属于基础题． 题型06 由已知角所在的象限确定三角函数的符号 【典例1】(25-26高一上·广西‘’贵百河·)已知是第一象限角，，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】利用三角函数符号及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【分析】若是第一象限角，则； 若，是第一或第二象限角； 故是的充分不必要条件. 故选：B. 【变式1】(25-26高三上·天津西青区张家窝中学·期中)若为第四象限角，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求所在象限，再由三角函数在各象限符号求解. 【详解】由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：B 【变式2】(24-25高一下·湖南长沙雅礼教育集团·期中)的值（   ） A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【答案】A 【分析】判断弧度2，3表示的角的范围，判断的正负，即可得答案. 【详解】，，． 故选：A 【变式3】(24-25高一下·陕西多校·月考)“”是“角为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的符号法则判断. 【详解】当角为第二象限角时，，则； 反之，当时，或， 则为第二象限角或为第四象限角， 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B 【变式4】(23-24高一上·江苏淮安涟水县第一中学·月考)当x为第四象限角时，则（     ） A．1 B．0 C．2 D．－2 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义确定符号即可. 【详解】当x为第四象限角时， ，. 则. 故选：D. 题型07 利用诱导公式求三角函数值 【典例1】(25-26高一上·吉林长春东北师范大学附属中学·)（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值得到答案. 【详解】. 故选：A 【变式1】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B 【变式2】(25-26高一上·天津南开区天津大学附属中学·月考)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值求解，即得答案. 【详解】， 故选：B 【变式3】(24-25高三下·甘肃多校·)已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 【变式4】(19-20高一上·福建仙游第一中学·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】解析， ， 故选：C. 题型08 利用诱导公式化简、求值 【典例1】(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以. 故选：D 【变式1】(25-26高二上·贵州新高考协作体·月考)已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 又，且， 所以，所以， 所以. 故选：D 【变式2】(24-25高一下·贵州遵义南白中学·)已知. (1)化简； (2)若角的终边经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的定义，求得，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：由三角函数的诱导公式，可得： （2）解：因为角的终边经过点，可得， 则. 【变式3】(23-24高一上·山东淄博·期末)已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【详解】（1）由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点， 则点到原点的距离， 则； （2） ． 【变式4】化简． 【答案】 【分析】利用诱导公式进行化简求值. 【详解】，， 故原式． 1．(22-23高一下·浙江衢州第三中学·月考)已知角的终边与单位圆的交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用三角函数的定义，可得结果. 【详解】由三角函数的定义可得. 故选：A. 2．(22-23高一上·吉林长春实验中学·期末)点P从点出发，绕以坐标原点为圆心的单位圆顺时针旋转到达点Q，则点Q的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得为终边的一个角为， 设，根据三角函数的定义可求出结果. 【详解】根据题意得为终边的一个角为， 设， 根据三角函数的定义可得，，则，， 所以. 故选：C 3．(21-22高一·5.2.1三角函数的概念-·)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边分别与单位圆交于点和，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，角的终边与单位圆分别交于点和， 由题意三角函数的定义，可得， 所以. 故选：B. 4．(23-24高一上·内蒙古包头·期末)在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角终边经过点，所以， 故. 故选：C. 5．(22-23高一下·四川达州万源中学·月考)若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义求值即可. 【详解】设，则点到原点的距离为， 则. 故选：D. 6．(23-24高二上·云南大理大理白族民族中学·开学考)已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数得定义求解即可得出结论. 【详解】设直线上任意一点P的坐标为（）， 则（O为坐标原点）， 根据正弦函数的定义得：， 时，； 时，， 所以选项D正确，选项A，B，C错误， 故选：D. 7．(24-25高一上·广东惠州第一中学·月考)“是锐角”是“”成立的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若是锐角，则，故充分性成立； 若，不一定得到是锐角， 如，满足，显然不是锐角，故必要性不成立； 所以“是锐角”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 8．(25-26高一·山东泰安新泰中学·月考)下列各选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合角的象限即可根据三角函数的正负逐一求解. 【详解】由于为第四象限角，所以，故A错误， ，所以，故B错误， ，故C正确， 由于为第三象限的角，所以，故D正确， 故选：CD. 9．若角是第三象限角，则点所在象限为（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题可知：角是第三象限角，所以 所以点所在象限为第四象限 故选：D 10．点所在的象限是（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】根据的象限可判断的正负即可得出. 【详解】在第三象限， ，点在第三象限. 故选：C. 11．(23-24高一上·安徽六安第一中学·期末)是的（    ）条件 A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值判断充分性，通过举反例说明不满足必要性即可. 【详解】若，故可得，满足充分性； 若，显然满足，但无法推出，故必要性不成立； 故是的充分不必要条件. 故选：C. 12．(23-24高三上·安徽·)已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据终边相同角的定义即可求解. 【详解】已知角终边上有一点，即点， ， 为第三象限角. 故选：C. 13．(22-23高一下·新疆乌鲁木齐第三十六中学·期中)的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】根据特殊角的三角函数值可得. 故选：B 14．(20-21高一·4.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数定义4.2单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质课后习题·)如图所示，直线l的倾斜角为，且与单位圆交于P，Q两点，则点P的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义求解，即可得出答案. 【详解】设，由三角函数的定义可得，. 故选：B 15．(25-26高三上·黑龙江龙东十校联盟·开学考)的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式求特殊角的正弦值. 【详解】. 故选：D 16．(22-23高一下·山西大同平城中学校·)=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简计算即可. 【详解】. 故选：A 17．(25-26高一上·山东烟台招远第二中学·期末)的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 18．(25-26高一上·江苏苏州工业园区苏州大学附属中学·月考)的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用诱导公式将转化为锐角三角函数，再根据特殊角的三角函数数值求解. 【详解】 故选： 19．(25-26高一上·北京第十二中学·)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 20．(25-26高三上·山东沂源县第一中学·期中)已知点是角终边上的一点，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式求出，再根据角终边上点的坐标计算，代入即可. 【详解】由诱导公式可知，又因为是角终边上的一点， 所以，所以. 故选：D 21．(25-26高一上·江苏锡山高级中学锡西分校·)已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式进行求解即可. 【详解】 ， 故选：B 22．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式化简得解． 【详解】原式 故选：B. 23．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：C 24．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以 . 故选：B 25．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $