1.1～1.3 周期变化、任意角与弧度制（题型专练）高—数学北师大版必修第二册

1.1-1.3 周期变化、任意角与弧度制 题型一 周期现象与函数的周期性 1.C 2．A 3.A 4.A 【详解】，故为一个周期为2的周期函数，且时，， 且为偶函数， 由题意，同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象， 则由图象可得，有个交点， 故选：A． 5. 6./0.2 7.2 8.1 【详解】解：因为是周期为2的奇函数，当时，， 所以， 故，， 因为， 所以， 则． 故答案为：1． 9.(1)答案见解析；(2)；(3)，. 【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：    由上图知：增区间为，减区间为； 零点为共3个；最大值为1，最小值为0. （2）由题设. （3）令且，则， 又，则，即， 综上，在区间上，. 题型二 终边相同的角与象限角 1．C 2．D 3．C 4．D 5．AC 6．D 7．D 8．C 9.630° 10．(1)；(2). 11．（1）；（2）；（3）、、、. 题型三 根据图形写角度的范围 1.B 2.B 3. 4. 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 5.(1)(2) 6.(1)(2) 【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； （2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 题型四 角度与弧度的转化 1.B 2D 3.C 4.B 5.B 6.ACD 7.AD 8./ 题型五 扇形的弧长与面积 1．C 2．C 3．B 4．D 【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为， 选项A：.故A正确； 选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径， 则.故B正确； 选项C：若扇面为“美观扇面”，则， 解得.故C正确； 选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径， 则此时的扇形面积为.故D错误. 故选：D 5. 6． 7．(1)(2) 8．(1)(2)(3) 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 题型一 函数周期性与奇偶性对称性的应用 1．B 2．D 【详解】由题意得，用代替x，得. 两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 因为，所以，又因为，所以. 又因为，即，解得， 所以. 故选：D. 3．B 4.B 【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得， 又 为偶函数，故可得， 则，故以为周期； 故. 故选：. 5.B 【详解】解：是定义域为的奇函数， 的图象关于原点对称， ， 的图象关于对称， 是以4为周期的周期函数， 又， ， ， ， ， 故选：． 6.D 【详解】因为为奇函数，所以， 用代替得， 又为定义在上的奇函数，所以， 所以，是以4为周期的周期函数， 因为，所以. 故选：D 7.C 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 8.0 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即的周期为4. 令，则， 令，则， 令，则， 又因为，所以. 所以. 故答案为：0 9. 10.. 题型二 n倍角与n分角 1.C 2.CD 3.ACD 4.一、二、四 5.（1）一定不是第三、四象限角；（2）是第一、二、三象限角. 6.(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 题型三 扇形弧长与面积的最值问题 1.D 2.2． 3.(1)(2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度 4.(1) (2)，当时，y取得最大值，最大值为 【详解】（1）由题意得，故． （2）花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 题型四 扇形中的内切圆问题 1.B. 2.B． 3.D 4. 1.A 2.B 【详解】，， ，所以是的一个周期， 又，，， 所以. . 故选：B. 3.D 【详解】, ,且， ，且， 又可得, ，是周期的周期函数, ,, , 故选：D 4.C 【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 5.B 【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为， 所以弧长，面积， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B. 6. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 7.②③④ 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 所以，所以④正确； 因为的图像关于直线对称， 所以，所以， 用替换可得， 所以， 所以的周期为 ，所以，所以②正确； 因为的图像关于直线对称, 所以，所以，所以是偶函数； 因为，所以； 所以，是偶函数， 所以，所以①错误； 因为，所以，所以； 因为是偶函数，所以； 因为的周期为，所以； 因为，所以； 所以，所以③正确； 故答案为：②③④. 8.1 【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数， 所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称， 所以，， 所以， 则， 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 则，，，，，，，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 9. 【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为， 故弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故答案为：. 10. 【详解】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E， 设，则，所以， 因为的长为，所以，即正方形的边长为， 所以的面积，扇形的面积为， 由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等， 所以图中阴影部分的面积. 故答案为： 11.（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，图像见解析；（3）的终边在第一象限，的终边在第一或第二或第三象限；的终边在第二象限，的终边在第一或第二或第四象限；的终边在第三象限，的终边在第一或第三或第四象限；的终边在第四象限，的终边在第二或第三或第四象限； 【详解】（1）由角的终边在第二象限，得，则， 当k为奇数时，的终边在第三象限，当k为偶数时，的终边在第一象限. （2）由（1）可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图： 终边在第一象限  终边在第二象限    终边在第三象限   终边在第四象限 （3）当的终边在第一象限时，即，，则， 当时，的终边在第一象限； 当时，的终边在第二象限； 当时，的终边在第三象限； 的终边在第一或第二或第三象限， 推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限； 当的终边在第三象限时，的终边在第一或第三或第四象限； 当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限 12.（1），；（2）. 【详解】（1）由题意可得，与都是的整数倍， 不妨设，， 则，， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，， 即，； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒， 则，即，解得， 所以红蚂蚁爬过的角度为， 因为圆的半径为， 所以红蚂蚁爬过的路程为. 13.（1）；（2）. 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 14.（1）， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1-1.3 周期变化、任意角与弧度制 题型一 周期现象与函数的周期性 1、如果今天是星期三，则2020天后的那一天是星期（    ） A．五 B．六 C．日 D．一 2．假定现在时间是12时整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，则 （    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 4.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 5.已知定义在上的函数满足，则 . 6.函数对于任意实数x满足条件，若，则 . 7.已知函数，则 ． 8.已知是周期为2的奇函数，当时，，若，则等于 9.函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 题型二 终边相同的角与象限角 1．与角终边相同的角是（    ） A．25° B．113° C． D．225° 2．角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．已知角，那么的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．下列说法中，正确的是（    ） A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角 C．是第二象限的角 D．是终边相同的角 7．如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 8．终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 9.已知角与的顶点均在原点，始边均在x轴的非负半轴上，终边相同，且，则 ．（用角度表示） 10．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角； (2)内的角． 11．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． （1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）内的角． 题型三 根据图形写角度的范围 1.集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A．B．C． D． 2.已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A．B．C． D． 3.已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 4.如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    5.如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1)(2) 6.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   题型四 角度与弧度的转化 1.把45°化成弧度是（   ） A． B． C． D． 2.体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 3.将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 4.时针经过四个小时，转过了（    ） A． B． C． D． 5.3rad是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 6.（多选）把表示成的形式，则值可以是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 8.将化为弧度制是 . 题型五 扇形的弧长与面积 1．已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 2．已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 3．已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C．1 D． 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 5.已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为 cm. 6．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形菜田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形菜田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）是扇形周长的一半，则该扇形菜田的面积为 平方米． 7．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 7．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 题型一 函数周期性与奇偶性对称性的应用 1．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．5 B． C．2 D． 3．已知函数对任意，都有 (为常数)，当时，则，则（    ） A． B． C． D． 4.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．50 B．2 C．0 D．-50 6.已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 7.已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．2025 8.已知函数满足，则的值为 ． 9.已知函数满足，且当时，，则 ． 10.函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则 . 题型二 n倍角与n分角 1.若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 2.（多选）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.已知为第二象限角，那么是第 象限角． 5.设是第一象限角，试探究： （1）一定不是第几象限角？ （2）是第几象限角？ 6.已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型三 扇形弧长与面积的最值问题 1.已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2.若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度. 3.已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 4.某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 题型四 扇形中的内切圆问题 1.一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（    ） A．2 B．4 C． D． 2.中心角为的扇形，它的弧长为，则三角形的内切圆半径为 A． B． C． D． 3.已知圆心角为的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为时，该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 4.已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 1.若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．0 D．2024 3.已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（    ） A．3 B．1 C．－1 D．－3 4.2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 5.已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 7.已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有 ． ①    ② ③    ④ 8.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则 . 9.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为 . （9） （10） 10.如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 11.（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置； （2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一､二､三､四象限时，的终边所在的位置； （3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形). 12.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第 14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 13.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 14.如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1-1.3 周期变化、任意角与弧度制 题型一 周期现象与函数的周期性 1、如果今天是星期三，则2020天后的那一天是星期（    ） A．五 B．六 C．日 D．一 【答案】C 【分析】根据题意得到周期为7，进而求解. 【详解】每隔七天循环一次，，故2020天后为周日. 故选：C. 2．假定现在时间是12时整，再过t小时，分针与时针第一次重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由时针1小时转过30°，分针每分钟转过6°求解. 【详解】解：时针1小时转过30°，t小时转过； 分针每分钟转过6°，t小时转过， 所以， 解得． 故选：A 3.已知函数，则（    ） A．-6 B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得，进而求目标函数值. 【详解】由分段函数知：当时，周期， 所以， 所以． 故选：A 4.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是（   ） A． B． C． D．多于 【答案】A 【分析】作出函数的图象与函数的图象，由图象可得交点个数． 【详解】，故为一个周期为2的周期函数，且时，， 且为偶函数， 由题意，同一坐标系内作出函数的图象与函数的图象， 则由图象可得，有个交点， 故选：A． 5.已知定义在上的函数满足，则 . 【答案】 【分析】由函数满足，推得函数是以4为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解. 【详解】因为在R上的函数满足，且， 令，有， 又， 所以函数是以4为周期的周期函数， 所以. 故答案为：． 6.函数对于任意实数x满足条件，若，则 . 【答案】/0.2 【分析】分别令，，，计算即可得答案. 【详解】令，，则. 令，，则； 令，，则. 故答案为: 7.已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】根据，利用函数的周期性和对数运算求解. 【详解】解：因为， 所以当时，函数的周期为， 所以， ， 故答案为：2 8.已知是周期为2的奇函数，当时，，若，则等于 【答案】1 【分析】结合奇函数性质先求出，然后结合周期性及已知区间上函数解析式可求，进而可求． 【详解】解：因为是周期为2的奇函数，当时，， 所以， 故，， 因为， 所以， 则． 故答案为：1． 9.函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值； （2）利用周期性求函数值即可； （3）由，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式. 【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：    由上图知：增区间为，减区间为； 零点为共3个；最大值为1，最小值为0. （2）由题设. （3）令且，则， 又，则，即， 综上，在区间上，. 题型二 终边相同的角与象限角 1．与角终边相同的角是（    ） A．25° B．113° C． D．225° 【答案】C 【分析】利用终边相同角的概念，找到在范围内与角终边相同的角即可． 【详解】因为， 所以角与角终边相同. 故选：C. 2．角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可. 【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 3．已知角，那么的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】利用终边相同角的概念求解判断． 【详解】因为，又， 所以角是第三象限角. 故选：C. 4．“”是“角的终边落在第一或第四象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】通过反例可说明充分性与必要性均不成立，由此可得结论. 【详解】当时，角的终边落在轴的正半轴，不属于第一或第四象限，充分性不成立； 当时，角的终边落在第一象限，但，必要性不成立； “”是“角的终边落在第一或第四象限”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 5．角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】分为奇数、偶数两种情况讨论，分别判断角所在的象限. 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故角的终边落在第一或第三象限． 故选：AC 6．下列说法中，正确的是（    ） A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角 C．是第二象限的角 D．是终边相同的角 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解 【详解】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角， 此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误； 对于C：是第三象限的角，故C错误； 对于D：因为， 所以是终边相同的角，故D正确； 故选：D 7．如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可. 【详解】利用终边相同的角的关系，得，. 则与有关，故AC错误； 又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以. 故选：D． 8．终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的定义即可写出答案. 【详解】终边在第四象限的角的集合是或. 故选：C. 9.已知角与的顶点均在原点，始边均在x轴的非负半轴上，终边相同，且，则 ．（用角度表示） 【答案】630° 【分析】根据题目条件得到，求出，列出不等式组，求出. 【详解】由题意得，， 即， 而， 即， 解得：，， 所以. 故答案为：630°. 10．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角； (2)内的角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在内求出与角终边相同的角，再写出与终边相同的角表示式即可计算得解； （2）利用（1）中的信息即可求出内的角. 【详解】（1）因，则与角终边相同的所有角(连同角在内)可表示为：， 显然，当k取最大负整数-1时，取最大负角，， 所以最大的负角. （2）由(1)知，与角终边相同的所有角(连同角在内)可表示为：， 则在内，，， 所以所求. 11．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． （1）最小的正角； （2）最大的负角； （3）内的角． 【答案】（1）；（2）；（3）、、、. 【分析】先找到与角终边相同的角的表示，在对（1）、（2）、（3）分别取适当的k值，求出待求角. 【详解】 和终边相同 其余的终边相同的角度可以写成 （1）当时是最小的正角，； （2）当时是最大的负角，； （3）当，，0，1时，、、、符合条件． 【点睛】终边相同（对称）的角的表示方法： 1、与β终边相同的角可表示为：； 2、与β终边关于x轴对称的角可表示为：； 3、与β终边关于y轴对称的角可表示为：； 4、与β终边关于原点对称的角可表示为：； 5、与β终边关于y=x轴对称的角可表示为：； 6、与β终边关于角θ对称的角可表示为：. 题型三 根据图形写角度的范围 1.集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 2.已知，则角的终边落在的阴影部分是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】令即可判断出正确选项. 【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 3.已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 4.如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【分析】根据图形分别表示终边为，的角的集合即可得到结果. 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 5.如图，写出终边落在阴影部分的角的集合. (1)(2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可. 【详解】（1）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. （2）由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为. 6.写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【分析】写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角，注意边界的虚实. 【详解】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； （2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 题型四 角度与弧度的转化 1.把45°化成弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的弧度制与角度制的互化即可求解. 【详解】， 所以. 故选：. 2.体操中有“后空翻转体720度”的动作，其中“720度”等于（    ） A．弧度 B．弧度 C．弧度 D．弧度 【答案】D 【分析】根据角度制和弧度制换算关系即可得到答案. 【详解】因为，所以弧度, 因此“720度”即弧度. 故选：D． 3.将化为弧度制，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度与弧度的换算关系可得结果. 【详解】. 故选：C. 4.时针经过四个小时，转过了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为，得出时针经过四个小时旋转的弧度数. 【详解】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为， 则时针经过四个小时，转过了. 故选：B. 5.3rad是第（   ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】把弧度角化为角度，然后根据象限角的概念即可判断. 【详解】，为第二象限角. 故选：B 6.（多选）把表示成的形式，则值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，以及终边相同角的表示，准确运算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得， 再由终边相同角的表示，可得，， 所以与、和的终边相同，与的终边不相同. 故选：ACD. 7.（多选）以下说法正确的有（   ） A．化成角度为 B．化成的形式是 C．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是 D．在半径为的圆中，圆心角为的弧长为 【答案】AD 【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用弧度的定义可判断C选项；利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度是，C错； 对于D选项，在半径为的圆中，圆心角为的弧长为，D对. 故选：AD. 8.将化为弧度制是 . 【答案】/ 【分析】利用角度制与弧度制的互化关系求解. 【详解】. 故答案为： 题型五 扇形的弧长与面积 1．已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 2．已知某扇形的圆心角为，半径为5，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的弧长公式即可求解. 【详解】该扇形的弧长为． 故选：. 3．已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意先求出扇形半径，再求扇形面积即可. 【详解】设扇形的半径为，依题意，，解得， 则该扇形的面积为. 故选：B. 4．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（    ）（参考数据：）    A． B．若，扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】D 【分析】求得判断选项A；求得满足条件的的值判断选项B；求得满足条件的的值判断选项C；求得满足条件的扇形面积的值判断选项D. 【详解】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为， 选项A：.故A正确； 选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径， 则.故B正确； 选项C：若扇面为“美观扇面”，则， 解得.故C正确； 选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径， 则此时的扇形面积为.故D错误. 故选：D 5.已知扇形的面积为9cm2，其圆心角弧度数为2rad，则其周长为 cm. 【答案】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】设弧长为，半径为，圆心角为， 由，可得，则， 故扇形的周长为. 故答案为：. 6．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形菜田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形菜田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）是扇形周长的一半，则该扇形菜田的面积为 平方米． 【答案】 【分析】求出半径即可求解. 【详解】扇形弧长米，径长（两段半径之和）为扇形周长的一半， 扇形周长为弧长加两段半径， 即，因此有， 米， 根据《九章算术》算法，＂以径乘周（弧长）而一＂， 即代入米和米得平方米. 故答案为：. 7．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积. 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． 8．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 题型一 函数周期性与奇偶性对称性的应用 1．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 2．已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A．5 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案. 【详解】由题意得，用代替x，得. 两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数. 因为，所以，又因为，所以. 又因为，即，解得， 所以. 故选：D. 3．已知函数对任意，都有 (为常数)，当时，则，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助可得函数具有周期，借助周期计算即可得解. 【详解】由，则，故， 故以为周期，则. 故选：B. 4.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据题意，求得的周期，结合已知函数解析式，即可代值求得结果. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得， 又 为偶函数，故可得， 则，故以为周期； 故. 故选：. 5.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A．50 B．2 C．0 D．-50 【答案】B 【分析】根据条件可判断函数是以4为周期的周期函数，从而求得． 【详解】解：是定义域为的奇函数， 的图象关于原点对称， ， 的图象关于对称， 是以4为周期的周期函数， 又， ， ， ， ， 故选：． 6.已知为定义在上的奇函数，且也为奇函数，若，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据双对称关系求周期，然后即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以， 用代替得， 又为定义在上的奇函数，所以， 所以，是以4为周期的周期函数， 因为，所以. 故选：D 7.已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．2025 【答案】C 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 8.已知函数满足，则的值为 ． 【答案】0 【分析】首先根据题意得到，即的周期为4，再分别计算出，即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即的周期为4. 令，则， 令，则， 令，则， 又因为，所以. 所以. 故答案为：0 9.已知函数满足，且当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求得函数是周期为4的函数，结合，代入即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 可得，可得函数是周期为4的函数， 又因为当时，， 所以. 故答案为：. 10.函数是定义在上的奇函数，并且满足，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，可求函数的周期性，对称性，以及的值，利用函数函数的周期性，奇偶性进行计算即可. 【详解】解：因为，故，则函数的周期是2， 又函数是定义在上的奇函数，则； 则，， 当时，，则， 则. 故答案为：. 题型二 n倍角与n分角 1.若角是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：C. 2.（多选）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】CD 【分析】根据给定条件，由的范围，求出的范围作答. 【详解】因为是第三象限角，则， 于是，显然终边在x轴上方， 所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角. 故选：CD 3.（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】先写出角的范围，再除以，从而求出角的范围，分析即得解 【详解】是第三象限的角，则，， 所以，； 当，，在第一象限； 当，，在第三象限； 当，，在第四象限； 所以可以是第一、第三、或第四象限角． 故选：ACD 4.已知为第二象限角，那么是第 象限角． 【答案】一、二、四 【分析】结合第二象限角的表示可得，讨论确定其所在选项. 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 5.设是第一象限角，试探究： （1）一定不是第几象限角？ （2）是第几象限角？ 【答案】（1）一定不是第三、四象限角；（2）是第一、二、三象限角. 【分析】根据是第一象限角，得到，再判断即可. 【详解】（1）因为是第一象限角，即， 所以， 所以一定不是第三、四象限角； （2）因为是第一象限角，即， 所以， 当时，，是第一象限； 当时，，是第二象限； 当时，，是第三象限； 当时，，是第一象限； 综上：是第一、二、三象限角. 6.已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 题型三 扇形弧长与面积的最值问题 1.已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 所以扇形的面积为，所以， 又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 2.若有一扇形的周长为60cm，那么当扇形的面积最大时，圆心角的弧度数为 弧度. 【答案】2 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式及基本不等式求出结果． 【详解】设扇形半径为，弧长为，由扇形的周长为60cm ，所以， 故扇形的面积， 当且仅当时，等号成立， 故圆心角的弧度数为． 故答案为：2． 3.已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为. (1)若，，求扇形的周长； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度. 【答案】(1) (2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度 【分析】（1）根据弧长公式计算即可； （1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）， 故扇形的周长为； （2）扇形的周长为20， 则，所以， 则扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度. 4.某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 【答案】(1) (2)，当时，y取得最大值，最大值为 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式； （2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意得，故． （2）花坛的面积为． 装饰总费用为， 所以花坛的面积与装饰总费用的比为． 令，则，则， 当且仅当，即时， y取得最大值，最大值为，此时，． 故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大 题型四 扇形中的内切圆问题 1.一个圆心角为的扇形，它的弧长是，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】设扇形内切圆的半径为，扇形所在圆的半径为，求得，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为，扇形所在圆的半径为，过点作， 在直角中，可得，所以扇形的半径为， 又由扇形的弧长公式，可得，解得， 即扇形的内切圆的半径等于.故选：B. 2.中心角为的扇形，它的弧长为，则三角形的内切圆半径为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为R，则有，解得． 设三角形的内切圆半径为r，则，即 ，解得．选B． 3.已知圆心角为的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切，当圆C面积为时，该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆C面积为，求得其半径，然后连接OC，设圆与OA切于点D，然后在中，由 求得扇形的半径即可. 【详解】设扇形的半径为R， 圆C的半径为r, 因为圆C的面积为，所以，解得， 如图所示：在中， ， 所以 所以扇形的面积为，故选：D 4.已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为 . 【答案】 【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长. 【详解】设扇形所在圆半径为，∴ 如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴, ，故，所以最大的圆周长为.故答案为： 1.若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】根据扇形面积公式， 因为， 所以，解得， 故选：A. 2.已知函数满足，且，则（    ） A． B． C．0 D．2024 【答案】B 【分析】根据题意，求出是的一个周期，利用周期性求解答案. 【详解】，， ，所以是的一个周期， 又，，， 所以. . 故选：B. 3.已知定义在上的函数满足，且当时，，则的值为（    ） A．3 B．1 C．－1 D．－3 【答案】D 【分析】由变形可知原函数是周期的周期函数，利用周期化简结合函数已知的解析式即可求解. 【详解】, ,且， ，且， 又可得, ，是周期的周期函数, ,, , 故选：D 4.2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，求出点到的距离，故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，记旋转前和旋转后的切点分别为，求出矩形的面积，从而得到的面积；求出等边三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积；求出三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积.则可得到阴影部分的面积. 【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 5.已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据弧长和扇形的面积公式，将转化为关于的函数，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为， 所以弧长，面积， 所以， 当且仅当时取等号， 故选：B. 6.如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 【答案】 【分析】取优弧所在圆的圆心，连接，易得，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 7.已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有 ． ①    ② ③    ④ 【答案】②③④ 【分析】利用对称性、奇偶性和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】因为，所以； 又因为，所以； 所以，所以④正确； 因为的图像关于直线对称， 所以，所以， 用替换可得， 所以， 所以的周期为 ，所以，所以②正确； 因为的图像关于直线对称, 所以，所以，所以是偶函数； 因为，所以； 所以，是偶函数， 所以，所以①错误； 因为，所以，所以； 因为是偶函数，所以； 因为的周期为，所以； 因为，所以； 所以，所以③正确； 故答案为：②③④. 8.设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，则 . 【答案】1 【分析】求出函数的图象的对称点，对称直线，周期，求出，求出. 【详解】因为函数的定义域为为奇函数，为偶函数， 所以函数的图象关于点对称，也关于直线对称， 所以，， 所以， 则， 所以函数是周期为8的周期函数， 当时，， 则，，，，，，，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 9.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值. “莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为 . 【答案】 【分析】求出正三角形的面积，圆弧的长度，故一个弓形的面积为圆弧所对的扇形的面积减去正三角形的面积，从而得到“莱洛三角形”的面积. 【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为， 故弓形的面积为， 故“莱洛三角形”的面积为. 故答案为：. 10.如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，，利用弧长公式得到扇形的半径，从而得到等边三角形的面积，阴影部分的面积用扇形面积与等边三角形面积表示即可求解. 【详解】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E， 设，则，所以， 因为的长为，所以，即正方形的边长为， 所以的面积，扇形的面积为， 由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等， 所以图中阴影部分的面积. 故答案为： 11.（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置； （2）由此可否得出在其他几个象限的结论？请画出的终边在第一､二､三､四象限时，的终边所在的位置； （3）类似地讨论的位置(可设在第一象限，讨论终边的位置，并写出其他几个象限的情形). 【答案】（1）第一象限或第三象限；（2）可得出，图像见解析；（3）的终边在第一象限，的终边在第一或第二或第三象限；的终边在第二象限，的终边在第一或第二或第四象限；的终边在第三象限，的终边在第一或第三或第四象限；的终边在第四象限，的终边在第二或第三或第四象限； 【分析】（1）当角的终边在第二象限，得，则，分k是奇数和是偶数进行讨论； （2）确定的终边在第一、二、三、四象限时，得出的范围，进而确定的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可； （3）同理（1）（2），讨论的终边位置. 【详解】（1）由角的终边在第二象限，得，则， 当k为奇数时，的终边在第三象限，当k为偶数时，的终边在第一象限. （2）由（1）可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图： 终边在第一象限  终边在第二象限    终边在第三象限   终边在第四象限 （3）当的终边在第一象限时，即，，则， 当时，的终边在第一象限； 当时，的终边在第二象限； 当时，的终边在第三象限； 的终边在第一或第二或第三象限， 推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限； 当的终边在第三象限时，的终边在第一或第三或第四象限； 当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限 12.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角（其中）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限． （1）求，的值． （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的路程． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）根据题中条件，先设，，再由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，，列出不等式求解，得出和的值，即可得出结果； （2）先设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒，根据题中条件求出，根据弧长的计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得，与都是的整数倍， 不妨设，， 则，， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， 所以，即，所以， 因为，所以，所以，， 即，； （2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针匀速爬行，设它们从点A出发后第一次相遇时，所用的时间为秒， 则，即，解得， 所以红蚂蚁爬过的角度为， 因为圆的半径为， 所以红蚂蚁爬过的路程为. 13.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积； （2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可. 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 14.如图所示，君洪楼门前广场上有一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植绿植和花卉，需要用栅栏围起来进行绿化养护．知米，米，扇形环面区域面积为平方米，圆心角为弧度. (1)求关于的函数解析式； (2)记花卉周围栅栏（由弧、，弧线段、组成）的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】(1)， (2)当时，棚栏长度的最小值为米 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据基本不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，所以， 由可得， 所以，，. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度， 将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $