精品解析：河南省部分地区2025-2026学年上学期八年级数学期末考试卷

八年级数学拓展训练末 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. “冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍 4. 下列计算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一副直角三角板如图摆放，点E落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序．蝴蝶从点出发，先关于轴对称飞到点，再关于轴对称飞到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 若，则的末位数字是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动（ ）时，． A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使分式有意义的值，可以是____________． 12. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为______． 13. 若，的值为_____． 14. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 15. 如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是___________ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： （1）小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”． （1）400是“巧数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？ 19. 如图，，，于点，交的延长线于点． （1）求证：平分． （2）若，，求的长．（用含，的代数式表示） 20. 已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 21. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求四边形的周长． 22. 已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： （1）若代数式的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知，，且的值与x无关，求m，n的值； （3）现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 23. （综合与实践） 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，是的中点，平分，试判断之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点，构造和等腰三角形BCF（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是_________； 【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，点在上且满足，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学拓展训练末 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请按要求把答案写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，分析各选项分母是否含有字母． 【详解】解：A选项：中的分母是常数，不是字母，是整式不是分式，故A选项不符合题意； B选项：是常数，不是分式，故B选项不符合题意； C选项：分母中有字母，是分式，故C选项符合题意； D选项：分母中没有字母，是整式不是分式，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. “冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据1纳米米，将纳米换算成米，并用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米米． 故选：C． 3. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变． 根据分式的基本性质，将 和 同时扩大 3 倍后，代入分式计算即可判断值的变化． 【详解】解：根据题意得：新分式为 ， ∴ 分式的值不变， 故选：A． 4. 下列计算中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算、整式乘法和除法的基本法则， 选项A和B涉及指数运算，选项C涉及乘法分配律，选项D涉及多项式除以单项式． 【详解】解：A选项：根据同底数幂的乘法法则可得：，故A选项计算正确； B选项：根据幂的乘方的法则可得：，故B选项计算正确； C选项：根据单项式乘以多项式的法则可得：，故C选项计算错误； D选项：根据多项式除以单项式的法则可得：，故D选项计算正确． 故选：C． 5. 如图，将一副直角三角板如图摆放，点E落在边上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，根据平行线的性质求出，根据角的和差关系求出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 小亮在学完轴对称后，设计了一只“电子蝴蝶”的飞行程序．蝴蝶从点出发，先关于轴对称飞到点，再关于轴对称飞到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变号．依次应用两次轴对称即可求解． 【详解】解：∵点与B关于x轴对称， ∴点B的坐标为； ∵点与C关于y轴对称， ∴点C的坐标为． 故选：． 7. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法运算转换为乘法运算，然后对括号内的代数式通分化简，利用完全平方公式，最后通过约分得到最简结果. 【详解】解：         ， 化简结果为 ． 故选： C． 8. 如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、点到直线的距离以及动点最值问题．掌握角平分线上点到角两边距离相等的性质，以及“垂线段最短”这一基本原理是解题的关键．首先通过面积公式，解得．再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。因此，过点D作于点E，则．根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，当P与垂足E重合时，取得最小值，且最小值等于垂线段的长度． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 如图，过D作于点E， ∵为角平分线， ∴， ∵点到直线的垂线段最短， ∴当P与E重合时有最短，此时， ∴线段的最小值是4． 故选：B． 9. 若，则的末位数字是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，通过乘以利用平方差公式将简化为，再计算的末位数字并减得到的末位数字. 【详解】解： ， 的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是，的末位数字是， 的末位数字是、、、循环出现， ， 的末位数字是， 的末位数字是． 故选：D． 10. 如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动（ ）时，． A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或5 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在射线上移动时，如图所示： ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在射线上移动时，如图所示： ∴， ∴点E的运动时间为； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使分式有意义的值，可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为0，根据分式有意义的条件得到，即可写出符合题意的答案． 【详解】解：分式有意义，则， ∴， ∴使分式有意义的值，可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，根据即可求解； 【详解】解：∵ 能用完全平方公式因式分解，且，， ∴ ； ∴比较系数得 ； 故答案为： 13. 若，的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，首先根据，可得：，把写成，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：原式，从而可得：结果为． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在Rt直角△ABC中，∠B=45°，AB=AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF，其中正确结论是___________ 【答案】①②③． 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE＝CF，判断出②正确；根据BE＋CF＝AF＋AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE＋CF＞EF，判断出④错误． 【详解】解：∵∠B＝45°，AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点D为BC中点， ∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°， ∴∠CAD＝∠B， ∵∠MDN是直角， ∴∠ADF＋∠ADE＝90°， ∵∠BDE＋∠ADE＝∠ADB＝90°， ∴∠ADF＝∠BDE， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， 故③正确； ∴DE＝DF、BE＝AF， ∴△DEF是等腰直角三角形， 故①正确； ∵AE＝AB－BE，CF＝AC－AF， ∴AE＝CF， 故②正确； ∵BE＋CF＝AF＋AE ∴BE＋CF＞EF， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】 (1) (2) 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、用公式法分解因式． (1)用多项式乘以多项式的法则把多项式各部分展开，再去括号、合并同类项； (2)先用平方差公式分解因式，再用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： （1）小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1） 一；去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母 （2） 无解， 过程：， 去分母得： ， 去括号得： ， 移项得： ， 合并同类项得： ， 系数化为 得：， 检验：当 时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要把方程两边同时乘以公分母化为整式方程，求出的整式方程的解要代入公分母检验是否增根． （1）根据解分式方程的步骤可知小叶在第一步去分母时发生了错误，小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）根据解分式方程的步骤求出方程的解，再把求出的解代入公分母检验是否增根． 【小问1详解】 解：小叶在第一步去分母时发生了错误， 去分母应把等式的两边同时乘以公分母， 小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； 故答案为：一，去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； 【小问2详解】 略 18. 如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”． （1）400是“巧数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？ 【答案】（1） 解：400不是“巧数”，原因如下： 因为，故400不是“巧数”； （2）解：是， 理由： 为正整数 一定为正整数 一定能被4整除 由这两个连续偶数构造的巧数是4的倍数． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解在新定义习题中的应用，能根据“巧数”的定义进行计算，是解题的关键． （1）根据“巧数”的定义进行判断即可； （2）列出这两数的平方差，运用平方差公式进行计算，对结果进行分析即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，，，于点，交的延长线于点． （1）求证：平分． （2）若，，求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据全等三角形性质得出，再根据角平分线的判定进行证明； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 20. 已知某款电动汽车平均每公里的行驶费用比某款燃油车平均每公里的行驶费用少元．当两款车的行驶费用均为100元时，电动汽车可行驶的总里程是燃油车的4倍． （1）求这款电动汽车平均每公里的行驶费用． （2）电动汽车和燃油车每年的其他费用（含保险费、保养费等）分别为7500元和4500元．当两款车每年的行驶里程均为a公里时，电动汽车和燃油汽车的年度总费用之比为，求a的值． 【答案】（1）这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元 （2）13500 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可解答． 【小问1详解】 解：设电动汽车平均每公里的行驶费用为元，则燃油车平均每公里的行驶费用为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元； 【小问2详解】 解：由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴a的值为13500． 21. 如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）四边形的周长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （）由等腰三角形的性质可得，又，从而可证是等边三角形； （）由是等边三角形，则，所以，通过角度和差可得，证明，所以，，又是等边三角形，，则，得，最后通过四边形的周长为即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为 ． 22. 已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： （1）若代数式的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知，，且的值与x无关，求m，n的值； （3）现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【小问1详解】 解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； 【小问2详解】 解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； 【小问3详解】 解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 23. （综合与实践） 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，是的中点，平分，试判断之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长、的相交于点，构造和等腰三角形BCF（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是_________； 【自主探究】（2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，试说明：． 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，点在上且满足，请求出的长． 【答案】（1）； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $