精品解析：江西省多校联考2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题（人教A版）

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知点在圆内，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 154 B. 164 C. 186 D. 196 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知等比数列的前n项和为，若，且，则（ ） A. 17 B. 18 C. D. 8. 已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 11. 已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率 B. 若，则 C. D. 直线与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则________. 13. 已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 17. 如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，. （1）证明：； （2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值. 18. 已知数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推公式求解. 【详解】由题知，. 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程转换成标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为， 所以，的焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积求解. 【详解】向量是直线l的一个方向向量， 向量是平面的一个法向量，， ， ，解得. 故选：D. 4. 已知点在圆内，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在圆内，将点坐标代入圆方程列出不等式，求解即可． 【详解】由题知，解得， 故选：A． 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 154 B. 164 C. 186 D. 196 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列片段和的性质有成等差数列，再由等差中项的性质列方程求值. 【详解】由题知成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，是上一点，，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义与已知联立，求出、，再由结合勾股定理得到与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为，不妨设点在第一象限， 则，解得，又， 所以，即，所以的离心率. 故选：B 7. 已知等比数列的前n项和为，若，且，则（ ） A. 17 B. 18 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的公比为q，根据等比数列的片段和的性质，求得公比即可求解． 【详解】设的公比为q，则， 所以，又， 所以，解得或（舍）， 所以， 故选：A． 8. 已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将整理成，利用累加法求出，从而得到， 对，恒成立，即，将整理为，利用基本不等式即可求出实数m的取值范围. 【详解】，， 当时，， 即， 当时也满足，， 对，恒成立，， ， 当且仅当时，等号成立，，即， 实数m的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）已知直线，，若，则与间的距离可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据直线平行，求出的值，再求两平行线间的距离得解. 【详解】由，得，解得或. 当时，的方程为，即，，则与间的距离为； 当时，，，则与间的距离为. 故选：BD. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. 中最大 C. 使得的的最大值为13 D. 数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可得，求得判断A；根据等差数列的前n项和的定义及项的符号判断B；根据等差数列前n项和公式和性质判断C；根据数列单调性定义判断D. 【详解】由，，知，所以，A正确； 由知中最大，B正确； 由，， 知使得的的最大值为14，C错误； 因为，所以， 所以数列是递减数列，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆的右焦点为，分别为的左、右顶点，，动点在直线上，直线与交于另一点，过点作轴的垂线与直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率 B. 若，则 C. D. 直线与相切 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意求出，即可判断A；当时，求出Q点坐标，继而结合三角形的相似，即可求出，判断B；分别求出点到直线的距离和点到轴的距离，结合角平分线性质即可判断C；表示出直线的方程，联立椭圆方程，可得，结合判别式等于0可判断D. 【详解】设，其中，由，得， 解得，所以， 故的方程为，离心率，A错误； 由A的分析可知，当时，将代入，得， 可得点的坐标为.设直线与轴交于点，则，，而， 即得，解得，B正确； 设，则，又， 所以直线的方程为，令，得点的坐标为； 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离. 又点到轴的距离也为，所以，C正确； 直线的方程为，令，得点的坐标为， 直线的方程为，整理得， 联立方程，消去后整理， 结合，即，即得，， 即得，所以直线与相切，D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知3是a与b的等差中项，1是a与b的等比中项，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差中项得到的值，利用等比中项的值，则代入数值得到求解. 【详解】是a与b的等差中项，，， 是a与b的等比中项，， . 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为F，点，P是C上任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和三角形中，两边之和大于第三边，当且仅当三点共线时等号成立这些知识求解. 【详解】设点P到抛物线C的准线的距离为d， 则（当AP与准线垂直时取最小值）， 故的最小值为5. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，P是线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，建立适当空间直角坐标系，设，依次求出和平面的一个法向量，接着由空间角的向量法公式计算，再结合一元二次函数性质即可求解. 【详解】设，以D为坐标原点，直线DA，DC，分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设，则. 设平面的一个法向量， 则，取，得，，故. 设直线与平面所成角为，则， 又，所以，故， 即直线与平面PEF所成角的正弦值的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知各项均为正数的等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，结合与前8项和列方程组，求解首项与公差，得到数列的通项公式. （2）将裂项为，利用裂项相消法对数列的前项和进行累加计算. 【小问1详解】 设的公差为， 由题知，解得或（舍去）， 所以， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知， . 16. 已知椭圆的焦距为2，点在上. （1）求的方程； （2）若直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，和椭圆焦距为2，列出等式求解即可； （2）联立椭圆和直线方程，由韦达定理、中点坐标公式及两点间距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题知 解得 所以的方程为； 【小问2详解】 设的坐标分别为， 联立方程消去后整理得， 则，， 所以，， 所以. 17. 如图，在几何体中，四边形为矩形，平面，，，，. （1）证明：； （2）求平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值. 【答案】（1） 四边形为矩形，平面， 则AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点， 直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 所以，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）由四边形为矩形，平面可得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出点的坐标，求出向量，的坐标，利用数量积求出，从而得到. （2）求出平面PBC的一个法向量和平面PQC的一个法向量，利用数量积公式求出，代入数据计算即可得到平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面PBC的一个法向量， 由（1）知，. 则取，得，， 所以平面BPC的一个法向量. 设平面PQC的一个法向量， 由（1）知，， 则取，得，， 所以平面PQC的一个法向量， 所以， 所以平面BPC与平面PCQ夹角的余弦值为. 18. 已知数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）若，，成等差数列，其中p，q，r为正整数且，证明：，，是数列中连续的三项. 【答案】（1）； （2）； （3）证明: 由，，成等差数列，得，即，，整理得. 又因为p，q，r为正整数且，得，，所以，. 而为偶数，故必有，即，. 再由，所以，故，，是数列中连续的三项. 【解析】 【分析】（1）直接根据前n项和与的关系可得数列为等比数列，进而可得通项公式； （2）直接用错位相减法求数列的前n项和可得； （3）由条件可得，再结合，及等式两边的奇偶性可得，从而可证明结论. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时，，则，即. 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以， 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，所以，，记. 所以——①，——②. 由得，即. 故. 【小问3详解】 略. 19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. （1）求的方程； （2）设为的右顶点，直线与交于两点，且. ①证明：直线过定点； ②若都在的左支上，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：由（1）知，设的坐标分别为. 当直线的斜率为0时，，则，， 当时，，解得，则中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为0； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则， 由，知 解得或2， 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. ②9 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和双曲线上点的坐标确定的值，可得双曲线的标准方程. （2）①分直线的斜率是否为0分类讨论.当直线斜率不为0时，设直线方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合，可得的关系，确定直线过定点. ②结合①的结论，利用表示出的面积，利用函数的单调性求其最小值. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②解：由①知当时，， 由，得， 的面积为 ， 又， 设，则，， 因为在上单调递减，，， 所以. 即， 所以，当时，等号成立， 所以面积的最小值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $