精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高三上学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设，向量，，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知点在第三象限，则角在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若函数（且）恒过定点，则函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 8. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 在轴上的截距为2 C. 与圆相离 D. 与直线之间的距离为 10. 若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 13. 已知，则可能取值为______. 14. 双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为__________，其焦距为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 16. 已知函数对于任意实数，都有，且. （1）求的值； （2）令，求证:函数为奇函数； （3）求的值. 17. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 18. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. 中，为锐角，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为3，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设，向量，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个向量平行的坐标表示，列方程求解即可. 【详解】利用向量共线的充要条件求解即可.因为向量，），， 所以==，解得，. 故选：C. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 4. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 5. 已知点在第三象限，则角在第几象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断. 【详解】由题意可知，，则角在第二象限. 故选：B 6. 若函数（且）恒过定点，则函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型函数过定点求出，的值，进而得到的解析式，根据的单调性求值域即可. 【详解】因为对数函数恒过，所以当恒过定点， 即，. 所以. 因为在单调递增，，， 所以函数在上的值域为. 故选：B. 7. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定，，C正确； 【详解】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，， 故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误. 故选：C 8. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解，再根据范围的包含关系判断条件关系. 【详解】即为， 故的解集为， 而为的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 与直线垂直 B. 在轴上的截距为2 C. 与圆相离 D. 与直线之间的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】由两直线斜率乘积即可判断A；求出在轴上的截距即可判断B；计算圆心到直线的距离即可判断C；由两平行线间的距离公式计算即可判断D. 【详解】由题直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，故A正确； 对直线，令，所以在轴上的截距为，故B错误； 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，则， 所以与圆相交，故C错误； 与直线之间的距离为.故D正确. 故选：AD 10. 若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，依题意可得，即可求出参数的取值范围，得解. 【详解】命题“”得否定为“”， 所以命题“”为真命题，即，得. 故选：AB. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数的图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】由概率之和为1以及数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知：随机变量的所有可能值的概率和为1， 即， 则， 则， ∴， 故答案为：. 13. 已知，则可能取值为______. 【答案】或5 【解析】 【分析】利用组合数性质列式求解即可. 【详解】因为， 则或， 解得或5，经检验，均满足题意. 故答案为：或5 14. 双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为__________，其焦距为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可利用中斜率与倾斜角的关系，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，因为， 所以， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为，焦距为， 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 【答案】（1） （2） 证明：设， 分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形， 第二种：直线：，与联立得： ， ， ，，所以， 又因为与异号，或不符合题意， 因为， 所以， 所以△为直角三角形. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）分两类情况第一种：直线垂直于轴，其方程为，与联立得方程，再结合可证明， 第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明， 【小问1详解】 由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点， 以为准线的抛物线. 设的方程为：，则=1. 所以动点P的轨迹E的方程为. 【小问2详解】 略 16. 已知函数对于任意实数，都有，且. （1）求的值； （2）令，求证:函数为奇函数； （3）求的值. 【答案】（1） （2） 当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）令，结合计算可得； （2）通过令，求得，设，则，变形可得，进而判断函数的奇偶性； （3）利用，将式子变形整理，结合函数的奇偶性求得. 【小问1详解】 当时，，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，为奇函数，则 . 17. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 ，故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； 【小问2详解】 ，故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 18. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）通过对递推式变形，构造出常数列，利用首项求出该常数列的数值，进而推导得的通项. （2）由得的表达式后，采用错位相减法计算得. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以数列为常数列， 又，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得， ， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以. 19. 中，为锐角，角所对的边分别为，且． （1）求； （2）若，的面积为3，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到，再利用同角三角函数的基本关系求解即可. （2）利用三角形面积公式建立方程求出，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 由正弦定理得． 则由两角和的正弦公式得． 因为，所以， 则．由于，解得， 又为锐角，故（负根舍去）． 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入， 得，解得． 再由余弦定理， 代入， 得，故解得（负根舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $