精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ） A. B. 28 C. 4 D. 16 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 5. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 6. 已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成（简称为步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则满足上述条件的椭圆，其方程可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 如图，在三棱锥中，，，，分别是的中点，则（ ） A. B. 的长为 C. 三棱锥外接球的半径为 D. 异面直线所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，则在轴上的截距为______，坐标原点到的距离为______. 13. 直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 14. 在平行六面体中，，且交平面于点，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）若直线：，：，求的倾斜角及与之间的距离； （2）设直线：，其中为常数，证明过定点并求该定点的坐标. 16. 已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 17. 已知焦距为10的椭圆C：过点. （1）求椭圆C的标准方程和离心率； （2）若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程. 18. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点． （1）若点到直线的距离为，，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，又点，则的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，则（ ） A. B. 28 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而得椭圆的值，从而根据椭圆方程求解的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆的，且焦点在轴上， 则. 故选：B. 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 4. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 5. 已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则⊥ D. 若，，⊥，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定，，C正确； 【详解】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，， 故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误. 故选：C 6. 已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 7. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成（简称为步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，则所有可能的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算规则进行逆向运算推导即可. 【详解】若，则或； 若，则或； 当时，或； 当时，或； 若，则或； 当时，； 当时，； 故所有可能的取值集合， 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的方程为，且离心率与双曲线的离心率互为倒数，则满足上述条件的椭圆，其方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由离心率的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】双曲线的离心率， 因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为， 所以，故A正确、B错误； 选项C化为一般方程可得，错误； 选项D化为一般方程可得，正确. 故选：AD. 10. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 11. 如图，在三棱锥中，，，，分别是的中点，则（ ） A. B. 的长为 C. 三棱锥外接球的半径为 D. 异面直线所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求证线线垂直判断A；根据坐标求解线段长度即可判断B；根据补形可确定三棱锥的外接球的半径即可判断C；利用线线夹角与空间向量坐标运算得关系即可判断D． 【详解】三棱锥中，，， 将三棱锥补形为长方体，如图所示： 则有，解得， 以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 点，分别是的中点， 则有，， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 所以，则三棱锥的外接球的半径为，故C不正确； 对于D，因为， 所以， 故异面直线，所成的角的余弦值是，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线：，则在轴上的截距为______，坐标原点到的距离为______. 【答案】 ①. ##； ②. 【解析】 【分析】根据轴上截距的定义可求解第一空；利用点到线的距离可求第二空. 【详解】令，得，则在轴上的截距为. 坐标原点到的距离. 故答案为：； 13. 直线经过点，且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍，求直线的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14. 在平行六面体中，，且交平面于点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，根据平面的基本性质得到，并求出，平方后，由向量数量积公式得到，，从而得到答案. 【详解】根据题意，连接交于点，连接与交于点， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）若直线：，：，求的倾斜角及与之间的距离； （2）设直线：，其中为常数，证明过定点并求该定点的坐标. 【答案】（1）30°（或），3； （2）令，得， 所以过定点，且定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据直线一般式方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角，根据平行直线间距离公式计算可得与之间的距离； （2）由题意列方程组求解. 【详解】（1）因为的斜率为，所以的倾斜角为30°（或）， 因为与平行， 所以与之间的距离为； （2）略 16. 已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. （1）求动点的轨迹的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线交于两点，求证：是直角三角形. 【答案】（1） （2） 证明：设， 分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形， 第二种：直线：，与联立得： ， ， ，，所以， 又因为与异号，或不符合题意， 因为， 所以， 所以△为直角三角形. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）分两类情况第一种：直线垂直于轴，其方程为，与联立得方程，再结合可证明， 第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明， 【小问1详解】 由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点， 以为准线的抛物线. 设的方程为：，则=1. 所以动点P的轨迹E的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知焦距为10的椭圆C：过点. （1）求椭圆C的标准方程和离心率； （2）若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程. 【答案】（1）椭圆的标准方程：，离心率为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，列方程组，求的值即可. （2）利用椭圆的定义，判断的形状，再求其外接圆方程. 【小问1详解】 由题意：. 所以椭圆的标准方程为，其离心率为. 【小问2详解】 如图： 因为点在椭圆上，所以，又， 所以，，又， 因为，所以为直角三角形. 所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆， 其方程为. 18. 设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点． （1）若点到直线的距离为，，求的最小值； （2）若，求的最小值． （3）已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，又点，则的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，利用两点间的距离公式进行求解即可． （2）根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为到准线的距离，进行求解即可． （3）由椭圆的定义得到，进而将转化为，经分析当，，三点共线时，最小，从而可求出结果． 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标， 到准线的距离，则， 则，当、、共线时，取等号， 所以的最小值为． 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当垂直于直线时，取等号，所以最小值为4． 【小问3详解】 设椭圆左焦点为. 由椭圆的定义知，所以， 因此， 所以，当，，三点共线时，取等号， 又，因此， 所以，因此的最小值为6. 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取棱的中点，连接， 因为为的中位线，所以，且， 因为四边形为正方形，为的中点，所以，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，通过构造中位线、平行四边形的方法，先证得，进而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取棱的中点，连接，则. 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以直线两两垂直，以为原点， 直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $