江苏省盐城市2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·盐城） （共27小题 考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列命题中，真命题的个数是(　　) ①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90°的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等． A．5 B．4 C．3 D．2 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（   ） A． B． C． D． 3．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，准备在数学课上随机选取其中一位进行分享，选到赵爽的概率是（    ） A． B． C． D． 4．点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．如图，的直径与弦交于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的图象与轴的交点是　　 A． B． C． D． 7．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ）        A． B． B． C． D．点A到直线的距离是2 8．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ． 10．如图，点A在以为直径的内，且，以点A为圆心， 长为半径作弧，得到扇形，剪下扇形围成一个圆锥（和重合），若，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 11．抛物线 的对称轴为直线 ；顶点坐标为 ． 12．如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接，为的中点，连接分别与、交于点、．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 13．如图，点、是以为直径的半圆上的点，与相交于点，，，，则图中阴影部分的面积等于 ． 14．在中，，如图①，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间变化的关系图象如图②所示，则的长为 ． 15．如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为 ． 16．一组数据1、3、4、6、x、9的众数和中位数相同，那么x的值是 ； 三、填空题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 (1)； (2)． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 19. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： (1)根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 ________ ________ 路线二 ________ ________ (2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由． 20. 若是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的值； (2)求出此方程的另一个根． 21. 如图，，于点，，，求的长．    22. 如图，AB是的直径，平分，过点E作直线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求阴影部分面积． 23. 某大型电子商场销售某种空调，每台进货价为元，标价为元． (1)若电子商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到元，且顾客得到优惠，则每台空调应降价多少元？ 24. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E． (1)求证：直线DC是⊙O的切线； (2)若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 25. 已知，在中，，于点，点在线段上，且，点在线段上，且 (1)如图1，求证： (2)如图1，若，且，求的面积 (3)如图2，若点是的中点，求的值． 26. 【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(4，0)，与y轴交于C(0，﹣4)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·盐城） （共27小题 考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列命题中，真命题的个数是(　　) ①平分弦的直径垂直于弦；②圆内接平行四边形必为矩形；③90°的圆周角所对的弦是直径；④任意三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据垂径定理、圆内接四边形的性质、圆周角定理、过不在同一直线上的三个点定理即可对每一种说法的正确性作出判断． 【详解】∵平分弦(不能是直径)的直径垂直于弦，①故错误； ∵圆内接四边形对角互补，平行四边形对角相等， ∴圆的内接平行四边形中，含有90°的内角，即为矩形，②故正确； ∵有圆周角定理的推论可知：90°的圆周角所对的弦是直径，③故正确； ∵经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，④故错误； ∵有圆周角定理可知：同弧或等弧所对的圆周角相等．⑤故正确， ∴真命题的个数为3个， 故选C． 2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解及其解法，整理方程，把代入，结合可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵关于的一元二次方程有实数根， 整理得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，准备在数学课上随机选取其中一位进行分享，选到赵爽的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求概率． 总共有5位数学家，随机选取一位，选到赵爽的概率为． 【详解】解：∵总共有5位数学家，每位被选中的可能性相同， ∴选到赵爽的概率为． 故选：C． 4．点，，均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解题的关键是利用对称性求解．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为，开口向下， ∵，，， ∴． 故选：D． 5．如图，的直径与弦交于点B，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等边对等角，圆的基本性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由三角形外角的性质和等边对等角得到，求出，然后利用等边对等角求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 6．二次函数的图象与轴的交点是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算自变量为0时的函数值即可求得交点坐标． 【详解】解：当时，， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故选：． 7．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（   ）        A． B． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案． 【详解】解：A．，故选项A正确，不符合题意； B．∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，故选项B正确，不符合题意； C．，故选项C错误，符合题意； D．点A到直线的距离，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 8．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法，也可以直接代入顶点坐标公式． 利用配方法化成顶点式求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．除颜色外完全相同的3个红球、3个黄球、2个绿球，任意摸出一球，摸到红球的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握其相关公式．根据随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，用红球的个数除以总个数，即可求解． 【详解】解：袋子中共有个球，其中3个红球， 任意摸出一球，摸到红球的概率是， 故答案为：． 10．如图，点A在以为直径的内，且，以点A为圆心， 长为半径作弧，得到扇形，剪下扇形围成一个圆锥（和重合），若，则这个圆锥底面圆的半径是 ． 【答案】 【分析】连接AO，根据，可得，，再由，可得，然后设圆锥的底面半径为r，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接AO， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设圆锥的底面半径为r， ∴，解得∶， 即这个圆锥底面圆的半径是． 故答案为． 11．抛物线 的对称轴为直线 ；顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点式的性质解答即可. 【详解】解：由抛物线的性质可得： 的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2,3）， 故答案为：x=-2，（-2,3）. 12．如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接，为的中点，连接分别与、交于点、．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【分析】①由正方形的性质得到，，，，，求得，，根据全等三角形的定理得到，故①正确； ②根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到；故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，推出，得到，故③错误； ④根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论是否正确． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ，， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长交于，如图所示： 四边形是矩形， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②④． 13．如图，点、是以为直径的半圆上的点，与相交于点，，，，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】连接OC、BC、AD，过C作CG⊥AB于点G，根据全等三角形的判定和性质以及圆周角定理求得∠CAB =∠EBC=30，∠BOC=60，利用特殊角的三角函数值求得，，进而求得和，即可求得答案． 【详解】连接OC、BC、AD，过C作CG⊥AB于点G， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90， 在Rt△ACB和Rt△BDA中，AC=BD，AB=AB， ∴Rt△ACBRt△BDA(HL)， ∴∠CAB=∠DBA=30， ∠CBA=90-30=60，∠EBC=60-30=30， ∠BOC=2∠CAB =230=60， ， 在Rt△ABC中，∠CAB=30，AB=4， ∴， 在Rt△EBC中，∠EBC =30，BC=2， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：． 14．在中，，如图①，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间变化的关系图象如图②所示，则的长为 ． 【答案】 【分析】由图象，推得AD=7，DC+BC=6，经过解直角三角形求得BC、DC及BD．再由勾股定理求AB． 【详解】过点B作BD⊥AC于点 由图象可知，BM最小时，点M到达D点． 则AD=7 点M从点D到B路程为13-7=6 在△DBC中，∠C=60° ∴CD=2，BC=4 则BD=2 ∴AB= 故答案为： 15．如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次不等式及其解法 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元二次不等式，结合图象分析即可求解． 【详解】解：∵与一次函数的交点的坐标分别为1,7, 由图象可知， 当 ，时， ； 当， 二次函数图象在一次函数图象下方，即 ； 当时 二次函数图象在一次函数图象上方， 此时， 也即， ∴不等式的解集：或． 故答案为：或． 16．一组数据1、3、4、6、x、9的众数和中位数相同，那么x的值是 ； 【答案】4 【分析】众数是数据中出现次数最多的数，中位数是数据从小到大排列后，中间的数（或中间的两数的平均数）就是中位数． 【详解】解：数据共有6个，中位数应是从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数， 由题意知，第4个数可能是4或6， 当是4时，中位数是4， 当是6时，中位数是5， 由题意知，x只能是4时，才能满足题意． 故答案为：4． 三、填空题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）先去括号整理，再根据公式法解方程； （2）利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ， 或， ∴． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；2 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 19. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： (1)根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 ________ ________ 路线二 ________ ________ (2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)路线一，理由见解析． 【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、众数、中位数、方差与极差，解决本题的关键是根据折线统计图中提供的数据计算出平均数、众数、中位数、方差与极差，再根据这些数据作出决策． （1）根据平均数、众数、中位数、方差与极差的定义求出这些数据； （2）由（1）中计算出的数据可知：路线一的平均数，中位数和众数相同均比路线二的高，极差为，路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小，路线一的用时比较稳定． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，上班路上走路线一所用的时间为：，，，，，，，，，， 上班路上走路线一的平均时间为， 上班路上走路线一的个数据中出现次数最多的是，共出现了次， 路线一的众数是； 由折线统计图可知，上班路上走路线二的数据排序为：，，，，，，，，，， 这组数据的中位数为：，极差为； 故答案为：，，，； （2）解：张老师应选择路线一， 理由如下：路线一的平均数，中位数和众数相同， 路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小， 路线一的用时比较稳定． 20. 若是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的值； (2)求出此方程的另一个根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可求解； （2）把（1）中求出的m的值代入，再求解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，， ∴该方程为， ， 解得：， ∴该方程另一个根为． 21. 如图，，于点，，，求的长．    【答案】 【分析】由勾股定理得，由三角形面积求出的长，由相似三角形对应边成比例算出，由得到，即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 根据面积法，可知，解得． 又，， 可得． ，代入可得：． ， ， ， ． 代入得：． 22. 如图，AB是的直径，平分，过点E作直线，交的延长线于点D (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质和判定、扇形的面积，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）若要证明是的切线，只需证明与半径垂直，故连接，证明即可； （2）先证明是等腰直角三角形，再利用三角形和扇形的面积公式得到和扇形的面积，即可得到阴影部分面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：由（1）得，， 又， ， ， ，， 阴影部分面积． 23. 某大型电子商场销售某种空调，每台进货价为元，标价为元． (1)若电子商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每台售价为元时，平均每天能售出台，当每台售价每降元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种空调的销售利润平均每天达到元，且顾客得到优惠，则每台空调应降价多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设每台空调的降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为． 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率为． （2）设每台空调的降价元， 依题意得： 整理得：， 解得：，． 又∵要顾客得到优惠， ∴． 答：每台空调降价200元． 24. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E． (1)求证：直线DC是⊙O的切线； (2)若BC＝4，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠DAO＝90°，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠CAB＝60°，根据等边三角形的性质得到OC＝OB＝BC＝4，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC，如图所示： ∵直线l与⊙O相切于点A， ∴∠DAB＝90°， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA， ∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC， 即∠DCO＝∠DAO＝90°， ∴OC⊥CD， ∴直线DC是⊙O的切线； （2）解：∵∠CAB＝30°， ∴∠BOC＝2∠CAB＝60°， ∵OC＝OB， ∴△COB是等边三角形， ∴OC＝OB＝BC＝4， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 25. 已知，在中，，于点，点在线段上，且，点在线段上，且 (1)如图1，求证： (2)如图1，若，且，求的面积 (3)如图2，若点是的中点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，证明，即可得证； （2）设，则，利用三角形内角和定理得，继而得到，，再利用面积公式可得答案； （3）过作于点，连接，可得，设，证明和，继而得到，，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 设，则， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）过作于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 由（2）及是的中点可知：， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∵是的中点， ∴， ∴． 26. 【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【分析】（1）延长到点，使得，连接．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算即可求解； （2）延长到点，使得．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】如图所示，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ． 在和中， ， ． ， ． （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图所示，延长到点，使得． ，， ． 在和中， ， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(4，0)，与y轴交于C(0，﹣4)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】(1)；(2)；(3)当x=2时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为：(2，﹣6)，四边形ABPC的面积的最大值为18． 【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； (2)由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； (3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 【详解】(1)将B、C两点的坐标代入得： ， 解得：； 所以二次函数的表达式为：y=x2﹣3x﹣4； (2)存在点P，使四边形POP′C为菱形， 如图1，连接PP′，设PE⊥CO于E，    ∵C(0，﹣4)， ∴CO=4， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=2 ∴y=﹣2； ∴x2﹣3x﹣4=﹣2 解得：x1=，x2=(不合题意，舍去)， ∴P点的坐标为(，﹣2)； (3)如图2，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，   设P(x，x2﹣3x﹣4)，设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=x﹣4， 则Q点的坐标为(x，x﹣4)； 令，则0=x2﹣3x﹣4， 解得：x1=﹣1，x2=4， ∴A点坐标为(-1，0)， ∴AO=1，AB=5， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB•OC+QP•BF+QP•OF =AB•OC+QP•OB =×5×4+4 [x﹣4﹣(x2﹣3x﹣4)] =﹣2x2+8x+10 =﹣2(x﹣2)2+18， 当x=2时，四边形ABPC的面积最大，最大值为18． 此时P点的坐标为：(2，﹣6)，四边形ABPC的面积的最大值为18． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $