精品解析：天津市咸水沽第一中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

天津市咸水沽第一中学2025-2026学年上学期第二次月考 高二数学试卷 本试卷共计150分，考试时长120分钟 一、选择题（本题共9小题，每题5分） 1. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出数列的前项的值，可知数列是周期为的周期数列，结合数列的周期性可求得结果. 【详解】因为数列满足，且，则， ，，，， 以此类推可知，对任意的，，故数列是周期为的周期数列， 所以. 故选：C. 2. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线方程求出其焦点坐标，由双曲线方程求出其渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由抛物线方程可得，解得，故该抛物线的焦点为， 双曲线的渐近线方程为，即， 故点到直线的距离为. 故选：B. 3. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的片段和的性质可得出、、成等比数列，可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则 ，与题意矛盾， 因为为等比数列的前项和，所以、、成等比数列， 所以， 又因为，，则，整理可得， 解得或（舍去）， 故选：A. 4. 已知直线：，直线：，则下列结论错误的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程得横截距可判断A；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断B；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断CD． 【详解】对于A，令时，，则在轴上的截距为，故A正确； 对于B，直线，当时，所以直线恒过，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，等价于，解得，故D正确. 故选：C 5. 在等差数列中，，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，化简的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 6. 已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由及等差数列前n项和的性质判断①④；应用等差数列前n项和公式可得，并结合可判断②③.. 【详解】由题意可得，所以，，故①②对； 由，可知， 所以满足成立的最小的值为18，③对； 由可知，等差数列的前项为正，从第10项开始为负，所以使得取得最大值时的为9.故④对.综上，正确命题的序号为①②③④. 故选：D 7. 已知等比数列满足：，.设，记数列的前项和为，则（ ） A. 149 B. 153 C. 82 D. 77 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等比数列基本量运算得出通项公式，再应用对数运算化简，最后应用分组求和及等差数列求和、等比数列求和公式计算求解. 【详解】因为等比数列满足：，， 所以，所以，所以， 所以，所以， 则 . 故选：C. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，则，由中位线的性质可得出，结合双曲线的定义可得出，利用勾股定理可得出、的关系，即可得出该双曲线的离心率的值. 【详解】不妨设直线与圆相切于点，连接，则， 因为，则， 因为为的中点，所以为的中点，所以， 由双曲线的定义可得，所以， 由勾股定理可得，即，可得， 故该双曲线的离心率为. 故选：A. 9. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由椭圆的定义和余弦定理结合面积公式求出，再由双曲线的定义和椭圆定义找到a，的关系，代入目标式化简可得，再用基本不等式可求解. 【详解】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、， 双曲线的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、，设，， 则由椭圆和双曲线定义可得①，②， 两式分别取平方再相减整理得， 记，则由余弦定理得③， ①2③得④， 由面积公式可得，即， 代入④整理得，即， 所以，即， 因为，所以，所以，得， 所以，，即， 所以，即， 所以， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分） 10. 已知数列的前项和，则数列的通项公式是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 不满足，所以. 故答案为：. 11. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用等比数列及等差数列的下标和性质得出，，再代入结合特殊值的三角函数值求解. 【详解】因为数列是等比数列，数列是等差数列，又，， 则，，所以，， 则. 故答案为：. 12. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由P是抛物线上的动点，设点P的坐标为， ∴点P到直线的距离， 令，由， 且，则，即； 点P到直线的距离， 由此可得两个距离之和为 ， ∴当时，的最小值是4，即所求两个距离之和的最小值是4． 故答案为：4． 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质计算求解. 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 14. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为、、、、，以此类推，第个图形对应的圆点数为_____；若这些数构成数列，则_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】通过观察法结合等差数列的求和公式求出数列的通项公式，可得出的值，推导出数列为等差数列，结合等差数列的求和公式可求出的值. 【详解】由题意可得，，，， 以此类推可知， 故第个图形对应的圆点数为，且， 因为，故数列为等差数列， 所以. 故答案为：；. 15. 已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先应用得出等差数列，得出，再代入结合裂项相消法计算得出，最后把恒成立转化为最值关系求解. 【详解】数列前项和分别为，且，又， 当时，，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，令，所以，即， 所以， 则， 所以， 所以，又因为，所以，所以， 对任意的，恒成立，则， 则的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的标准方程； （2）过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，其中，利用勾股定理定理求出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心坐标，进而可得出圆的标准方程； （2）由已知得出，利用三角形的面积公式可求出点到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 根据题意，不妨设圆心坐标为，其中， 由题意可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得， 因为，解得，故圆心为，故圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为过圆心的直线与圆交于、两点，则， 设点到直线的距离为，则，解得， 若直线的斜率不存在，此时直线的方程为，则原点到直线的距离为，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由点到直线的距离公式可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 17. 如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 【答案】（1） 证明：取中点，连接，，则， 又，，， ，则，， 所以为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，1 【解析】 【分析】（1）取中点，可证为平行四边形，进而证明平面. （2）分别求出平面与平面的法向量，再由面面角的向量公式计算求解； （3）先设，再由线面角的正弦公式确定，进而求出的长. 【小问1详解】 取中点，连接，，则， 又，，， ，则，， 所以为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，为的中点，所以， 又因为侧面底面且交线为，侧面， 所以平面， 因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以， 分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. ，，，，，， ， 设平面的一个法向量， 则，令，得. ，， 设平面的一个法向量， 则，令，得. 设平面与平面夹角为， 所以，因此平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，设， 则， 平面的一个法向量， 设与平面所成角为 所以， 解得或（舍），所以存在，满足，使与平面所成角的正弦值为， 所以，. 18. 已知椭圆的焦距为，为椭圆的左顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆的左焦点，且 （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为坐标原点），且，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于的方程，解方程可得椭圆方程； （2）联立直线方程与椭圆方程确定点的坐标，从而可得的斜率，然后利用斜率公式可得的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，，. 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意，设. 设直线的斜率为， 又，则直线的方程为， 与椭圆方程联立， 整理得，可得， 代入得， 进而直线的斜率， 在中，令，得. 由得，所以直线的斜率为. 由，得， 化简得，从而. 所以，直线的斜率为或. 19. 设正项等比数列，，且、的等差中项为 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项为，数列满足，数列的前项和为，求. （3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质求出数列的公比，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得的表达式，然后利用裂项求和法可求得； （3）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由题意可知， 因为、的等差中项为，则， 对任意的，，所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以数列是公差为的等差数列，所以， 故， 所以. 【小问3详解】 因为，所以①， 可得②， ①②得 ， 故. 20. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为的正三角形. （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为.记直线的斜率为，直线的斜率为. ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值. 【答案】（1） （2）①；② 或1 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定、，即可求解 （2）①根据直线与椭圆相切于第一象限内的点，求出，再根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，由此可求；②根据已知条件与平行关系确定，由平行四边形确定，再结合，得，分两种情况求解即可. 【小问1详解】 由题意，从而，， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 ①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：， 解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为A，C两点关于原点对称，所以， 所以， 所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形， 则还需，即， 由①可知：，所以． 又，， 所以， 由可得：， 又，所以，即， 当时，； 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市咸水沽第一中学2025-2026学年上学期第二次月考 高二数学试卷 本试卷共计150分，考试时长120分钟 一、选择题（本题共9小题，每题5分） 1. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，直线：，则下列结论错误的是（ ） A. 在轴上的截距为 B. 过定点 C. 若，则或 D. 若，则 5. 在等差数列中，，，求（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 7. 已知等比数列满足：，.设，记数列的前项和为，则（ ） A. 149 B. 153 C. 82 D. 77 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线左支上位于第二象限的一点，且满足，若直线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，为曲线、在第一象限的交点，且的面积为，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分） 10. 已知数列的前项和，则数列的通项公式是_____. 11. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是_____. 12. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____. 13. 已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为_____. 14. 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为、、、、，以此类推，第个图形对应的圆点数为_____；若这些数构成数列，则_____. 15. 已知数列与前项和分别为，，且，，对任意的，恒成立，则的取值范围是_____. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知圆的半径为，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的标准方程； （2）过圆心的直线与圆交于、两点，且的面积是（为坐标原点），求直线的方程. 17. 如图，四棱锥中，侧面底面，，，，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由. 18. 已知椭圆的焦距为，为椭圆的左顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆的左焦点，且 （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为坐标原点），且，求直线的斜率. 19. 设正项等比数列，，且、的等差中项为 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项为，数列满足，数列的前项和为，求. （3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 20. 已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为的正三角形. （1）求椭圆方程； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为.记直线的斜率为，直线的斜率为. ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $