精品解析：黑龙江省大庆市第四中学2025-2026学年高二上学期第三次检测数学试题

大庆四中2025~2026学年第一学期高二年级第三次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为1，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 已知函数的导函数为，且满足，则 A. B. C. D. 3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 4. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2 8. 已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A. B. C. 存在，使得 D. 当时，最小 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时， D. 时n的最小值为10 10. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. △PF1F2面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 当时，恒成立 C. 若恰有一个零点，则 D. 若恰有两个零点，则 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前n项和，则____________. 13. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 14. 已知函数，对任意的，且，恒有，则实数的取值范围是_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆，长轴长为4，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 16. 已知数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 17. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 18. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 19. 设函数 ，其中 . （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程; （2）若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆四中2025~2026学年第一学期高二年级第三次检测 数学学科试题 考试时间：120分钟分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处的导数为1，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义即可得结果. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 2. 已知函数的导函数为，且满足，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案. 【详解】由题意，函数，则， 令，则，解得，即， 令，则，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3. 定义，已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 3 B. ±3 C. 9 D. ±9 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据行列式的定义计算出关于等比数列项的等式，再利用等比数列的性质求出的值. 【详解】根据行列式的定义，对于，可得，即. 因为数列是等比数列，根据等比数列的性质：所以. 由，可得，则. 又因为，等比数列奇数项符号相同，所以. 故选：C. 4. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求曲线的切线方程，再求两平行线间距离. 【详解】 如图所示，设曲线上一点，且在该点处切线斜率为， ，所以斜率， 解得，故切点为， 切线方程为，即， 两直线间距离为， 故选：B. 5. 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，再表示出，两式作比即可解题. 【详解】解：∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即， ∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即， ∴ ， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前项和公式与等差数列的通项公式的性质，是基础题. 6. 已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 7. 已知函数在处有极大值，则c的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令求出或2，检验后得到. 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 8. 已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A. B. C. 存在，使得 D. 当时，最小 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由定义结合题设可判断选项正误；对于B，注意到，则，据此可判断选项正误；对于C，注意到数列是单调递增数列，结合B分析可判断选项正误；对于D，注意到，结合B分析，可得，结合数列是单调递增数列可判断选项正误． 【详解】因为，所以． 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，则，故B错误 对于C，因，可知数列是单调递增数列.又，则当时，，所以，故C错误. 对于D，注意到，则， 从而，又，故.当时，；当时，；所以当时，最小，选项D正确； 故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列是递增数列，公差为d，前n项和为，满足，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时， D. 时n的最小值为10 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而根据单调性可得时，，当时，即可结合选项逐一求解. 【详解】由可得，故， 由于是递增数列，故，因此，故A正确，B错误， 进而可得当时，，当时， 因此取得最小值时，或，C错误， 由于， 故当时，，因此时n的最小值为10，D正确， 故选：AD 10. 设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. △PF1F2面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 的最小值为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，， 所以左､右焦点分别为，，离心率，故选项A错误； 对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大， 所以面积的最大值为，故选项B正确； 对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，由圆心到直线的距离， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确； 对于D：设，， ，则的最小值为，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 当时，恒成立 C. 若恰有一个零点，则 D. 若恰有两个零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD. 【详解】对于A，当时，，，则，, 故切线方程是，即，故A正确； 对于B，当时，，， 当单调递增，当单调递减， 故，故B正确， 对于CD，令，则，记，则， 当单调递增，当单调递减， 故，又，而， 故当时，此时直线与有两个不相等的交点， 当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前n项和，则____________. 【答案】40 【解析】 【分析】根据数列前n项和的定义即可得出． 【详解】由可得， 故答案为：. 13. 设为定点，动点满足，则动点的轨迹方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件知，点的运动轨迹是以为焦点的双曲线，从而可求得轨迹的方程. 【详解】， 动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 且，.， 双曲线的方程为. 故答案为：. 14. 已知函数，对任意的，且，恒有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为，将问题转化为在区间上单调递增，进而转化为问题，然后参变分离转化为求函数最值问题可得. 【详解】对任意的，且，恒有， 等价于对任意的，且，恒有， 等价于在区间上单调递增， 等价于，即在区间上恒成立， 记，则， 易知，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆，长轴长为4，离心率为 （1）求椭圆的方程； （2）过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式求得. 【小问1详解】 由题意可得，，则， 又， 则， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 ∵直线l过点倾斜角为 ∴直线l的方程为即， 联立，得， 设， 则， ∴ . 16. 已知数列的首项，且． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由递推关系构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； （2）求出，再由裂项相消法求解. 【小问1详解】 由得，且 则数列是以1为首项，以2为公比的等比数列， 可得，从而 . 【小问2详解】 ， 故 ， 故 . 17. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当函数有最大值，且最大值小于时，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，对参数进行分类讨论即可； （2）由（1）知a的初步范围，求得最大值，利用导数解不等式即可. 【小问1详解】 由，知，定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，则在上单调递增； 令，则在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，若有最大值，则，且， 因为的最大值小于， 所以，即， 设，问题转化为解不等式， 因为恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 故的取值范围为. 18. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）知，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以 因为，所以，因此， 所以单调递增，因此 综上所述， 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的求和公式和等比中项的定义，建立关于的方程，解方程求出，进而得出数列的通项公式； （2）由错位相减法求出，由>0可得出；然后再根据的单调性得出，从而得证. 【小问1详解】 在数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 19. 设函数 ，其中 . （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程; （2）若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【答案】（1） （2） （i）由，令，又， 易知在上递减， 又，， ∴在上有唯一零点，即在上唯一零点， 设零点为，则， ∴，，递增；，，递减； ∴是唯一极值点，且为极大值， 令且，则，故在上递减， ∴，即， ∴，又， 根据零点存在性定理知在上存在零点，又∵在单调递减； ∴在存在唯一零点， 又∵，在上单调递增；， ∴在上的唯一零点为1， 故恰有两个零点； （ii）由题意，，即， 则，即， 当时，，又，则， ∴，得， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）先，再求，由点斜式即可求解； （2）（i）求导得，构造并应用导数研究单调性，进而判断符号确定单调性，可求极值点所在的区间为，再证上，由此得，结合零点存在性定理即可证结论； （ii）由①结合题设可得，结合上，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，且，则， 所以，又， 所以切线方程为，即：. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $