第28章 三角函数 单元检测卷 2025-2026学年人教版九年级数学下册

保密★启用前 2025-2026学年人教版九年级数学下册单元检测卷答案解析 第28章 三角函数 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据，直接判断即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（本题3分）如图，在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边的比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键． 根据正弦的定义解得即可． 【详解】解：． 故选：C 3．（本题3分）在中，各边都扩大3倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不能确定 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】本题考查了正切值．锐角三角函数值仅与角的大小有关，与边的长度无关，当各边扩大相同倍数时，扩大后的三角形与原来的三角形相似，故角不变，因此正切值不变，即可作答． 【详解】解：∵在中，各边都扩大3倍， ∴扩大后的三角形与原来的三角形相似， 即角不变， 因此正切值不变， 故选：A 4．（本题3分）在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据正弦定义，在直角三角形中，的正弦值等于其对边与斜边的比值，已知，因此，即可求解． 本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】∵在中，，， ∴， 故选:A． 5．（本题3分）如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，理解坡度的概念是解题的关键． 根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：∵堤高，坡比是， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标、求角的正切值 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据位似图形的性质得出相等的角，根据点坐标确定直角边的长度，然后根据锐角三角函数比求解即可． 【详解】解： ∵与关于原点O位似， ∴， 又∵轴， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， 故选：B． 7．（本题3分）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握正弦的定义是解题的关键；因此此题可根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8．（本题3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据，列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， ∴米． 故选：C． 9．（本题3分）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了折叠的性质及矩形的性质和勾股定理．先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ∵矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处， ， 在中，， 则， 设，则， 在中，， 解得：， ， ， 故选：C． 10．（本题3分）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的余弦值、根据正方形的性质求线段长、以弦图为背景的计算题、全等三角形的性质 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 11．（本题3分）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三线合一 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由“三线合一”的性质可得，，再根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：设与相交于点E， ∵，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，的度数为， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 12．（本题3分）如图，菱形中，，点E是边上的点，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连接．当点F在直线上运动时，线段的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 法一：由动点可识别瓜豆模型，构造，进而再证，所以可知，进而求出最小值即可． 法二：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答． 【详解】解：法一：如图，过E作，过A作的垂线交于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过E作于点H，则， ∵点F是上的一点， ∴时最小，此时， ∴最小值为； 法二：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）已知为锐角，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】∵为锐角，，， ∴ 故答案为． 14．（本题4分）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：过A作于H，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（本题4分）海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是 m．（参考数据：） 【答案】42 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点C作，延长交于，易证得四边形是矩形，则，在中，根据求出的值，进而得到，根据进行求解即可． 【详解】解：过点C作，延长交于，如图： ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：42． 16．（本题4分）如图，在正方形中，，把边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】考查正方形性质、旋转的性质、等边三角形判定、三角函数的应用、三角形面积计算．关键识别为等边三角形，利用三角函数求，作高确定的高．易错旋转角度与等边三角形的关系判断错误，或作高时线段长度计算失误． 首先由旋转得，结合，证为等边三角形；再利用三角函数求，得的长度；过点作，分别交于点，点F，计算的长度；代入三角形面积公式计算的面积． 【详解】 正方形中，，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴． 在中，， ∴． 过点作，分别交于点，点F，由正方形的性质可得：四边形是矩形， ∴． ∴的面积为： 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）计算：． 【答案】 2 【知识点】实数的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算及特殊的三角函数．掌握实数的混合运算法则及熟记特殊三角函数值是解题关键．根据实数混合运算法则及三角函数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．（本题10分）在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由得， 由得； 由得， 综上，，，． 19．（本题10分）如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、已知正切值求边长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的计算、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，设，，利用勾股定理可得，解方程求出，从而可知； （2）由可知，根据正弦的定义求出． 【详解】（1）解： ， ， 设，， 在中，， ， ， 解得：或(负值舍去)， ； （2）解：由（1）可知， ，， ． 20．（本题10分）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1) (2)这艘船继续向东航行安全，见解析 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）过点C作于点D，先得到，然后解即可； （2）由求解得到的与进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D    由题意可知， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴灯塔到航线的垂直距离为； （2）解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全． 21．（本题10分）一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，． (1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)旋转的角度为 (2)点D到直线EF的距离为 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质可求出，从而求出； （2）过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 答：旋转的角度为； （2）如图③，过点D作，垂足为G，过点E作，垂足为H， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点D到直线的距离为． 22．（本题12分）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 【答案】(1)， (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）延长交于点，延长交于点，根据平行线的判定和性质以及邻补角求角度即可； （2）利用矩形的判定得出四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵⊥，， ∴，∴∠， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴四边形是矩形，∴=． ，，， 在中，，， ， ， ， ，， 在中，，， ， 答：此时伸缩杆的长度约为． 23．（本题12分）项目式学习 项目主题：无人机撒播种子研究 项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性． 建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）先根据速度和时间得到路程，再解即可得到长度； （2）先根据速度和时间即可得到路程，再利用矩形的性质及解求出的长度． 【详解】（1）解：由题知， ∴在中，， ∴， 答：故无人机的高度是； （2）解：如图，过点作于点，由题意得四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 答：的长度约为． 24．（本题12分）图1是我国古代提水的器具桔槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，， ） 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、平行线的性质在生活中的应用、线段中点的有关计算 【分析】(1)过点作，垂足为，可得，根据可以求出，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出的长度； (2)根据，可知，根据余弦的定义可以求出，点上升的高度即为． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ， 由题意得：， ， ， ， 为的中点， （米）， 在△中， （米）， （米）， 此时支点到小竹竿的距离约为3.5米； （2）解：设交于点， 由题意得： ，，米， ， ， 在△中，（米）， 米， （米）， 点上升的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、线段中点的有关计算、平行线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 25．（本题12分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务 米，;米；任务小明会被照射到 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①由可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2025-2026学年人教版九年级数学下册单元检测卷 第28章 三角函数 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题3分，共36分） 1．（本题3分）的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（本题3分）如图，在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）在中，各边都扩大3倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不能确定 4．（本题3分）在中，，如果的正弦值是，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高，坡比是，则坡面的长度为（   ） 第5题图 第6题图 第7题图 A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 7．（本题3分）九宫格起源于河图洛书，被认为是中华文明的起源，宇宙的魔方．它是由9个正方形组成的图案．如图，点、、在正方形网格的格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若米，则树高度为（   ） 第8题图 第9题图 第10题图 A．米 B．米 C．米 D．米 9．（本题3分）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（    ） A． B． C． D． 11．（本题3分）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） 第11题图 第12题图 A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，菱形中，，点E是边上的点，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连接．当点F在直线上运动时，线段的最小值是（　　） A．2 B． C． D．4 二、填空题（每题4分，共16分） 13．（本题4分）已知为锐角，，则的度数是 ． 14．（本题4分）如图，在中，，，，则的长为 ．    第14题图 第15题图 第16题图 15．（本题4分）海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是 m．（参考数据：） 16．（本题4分）如图，在正方形中，，把边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交于点，连接，则的面积为 ． 三、解答题（共9个大题，共98分） 17．（本题10分）计算：． 18．（本题10分）在中，，a，b，c分别为，，的对边，，，解这个直角三角形． 19．（本题10分）如图，在中，，，． (1)求； (2)求的值． 20．（本题10分）一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 21．（本题10分）一酒精消毒瓶如图①，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图②，，，． (1)当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图③）．求旋转的角度； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 22．（本题12分）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空：______°，______°； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，) 23．（本题12分）项目式学习 项目主题：无人机撒播种子研究 项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性． 建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，） 24．（本题12分）图1是我国古代提水的器具桔槔（），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图2，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，， ） 25．（本题12分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $