专题01 锐角三角函数的运算与应用的中考题型（高效培优专项训练）数学人教版九年级下册

专题01 锐角三角函数的运算与应用的中考题型 题型一：实数的运算中的特殊角的锐角三角函数值 题型二：解直角三角形 题型三：解直角三角形的应用 题型四：解直角三角形在仰角俯角问题中的应用 题型三：解直角三角形在方向角问题中的应用 题型三：解直角三角形在坡度坡角问题中的应用 题型一：实数的运算中的特殊角的锐角三角函数值 1．的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解答】解：原式＝1 ＝1﹣1 ＝0， 故选：A． 2．计算：． 【答案】4． 【解答】解：原式， ＝1﹣1+4， ＝4． 3．计算：． 【答案】3． 【解答】解： ＝212 ． 4．计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝15+22 ＝1+2+52 ＝82 ＝8． 5．计算：（π﹣2）0|﹣6|2cos60°． 【答案】8． 【解答】解：原式＝1﹣3+6+5﹣2 ＝1﹣3+6+5﹣1 ＝8． 题型二：解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【解答】解：如图所示： 在△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴tanA， ∵AC， ∴BCAC． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 【答案】B 【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO， ∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO， ∴△AHO∽△BKA， ∴， ∴∠A＝90°，ta，A（﹣4，3）， ∴OH＝3，AH＝4，， ∴， ∴BK＝8，AK＝6， ∵将△ABO平移， ∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6， ∴E（6，0）， ∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E， ∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G， ∴G（10，﹣3）； 故选：B． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H． ∵∠C＝90°，cos∠CAD， ∴可以假设AC＝12k，AD＝13k，则CD＝5k， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB， ∴DH＝DC＝5k， 设点B到AD的距离为h，则有13k×h26×5k， 解得h＝10． 故答案为：10． 4．四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD，则AC的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F， ∵∠OED＝∠OFB＝90°，∠DOE＝∠BOC， ∴△ODE∽△OBF，则， 设OE＝x，则OF＝2x，EF＝3x， ∵AB＝4，AD＝2， ∴， ∴， ∵∠AED＝∠AFB＝90°， ∴Rt△AED∽Rt△AFB， ∴， ∴AF＝2AE，即AE＝EF＝3x， ∴AO＝AE+OE＝4x， ∵O是AC的中点， ∴CO＝AO＝4x， ∴CE＝CO+OE＝5x， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ADE 中，AD＝2，由勾股定理：AE2+DE2＝AD2， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2． （1）求AB的长； （2）求点C到线段AB的距离． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过点A作AJ⊥BC于点J． 在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°， ∴AJ＝AC•sin60°，CJ＝AC•cos60°＝1， 在Rt△ABJ中，∠B＝45°， ∴AJ＝BJ， ∴ABAJ； （2）过点C作CK⊥AB于点K． 由（1）可知BC＝BJ+CJ＝1， ∵•AB•CK•BC•AJ， ∴CK， ∴点C到线段AB的距离为． 题型三：解直角三角形的应用 1．如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 2．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　1.2　 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数） 【答案】1.2m． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E． 由题意易知四边形CDBE是矩形， ∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE． ∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m． 在Rt△ACE中， ∵tanA， ∴CE＝tanA•AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）． ∴BD＝1.2m． 故答案为：1.2m． 3．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 【答案】（1）10米； （2）5米， 【解答】解：（1）由题意得，BM⊥OM， ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中，（米）， 答：直吊臂OB的长为10米； （2）如图，记旋转后的点B，M的对应点为B′，M′，延长B′M′交OM于点F，过点B作BE⊥B′F于点E， 则∠BEF＝90°， 由题意得B′M'＝BM＝3米，OB′＝OB＝10 米， ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°， 在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos∠OB′M'＝10×0.81＝8.1（米）， ∴M′F＝B′F﹣B′M′＝8.1﹣3＝5.1≈5（米）， ∴货物M上升了5米． 4．如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵由题可知：在Rt△AGM中，AM＝（13分）米，MG＝（12分）米，AG⊥GM， ∴（分米）， ∵AB＝（19分）米， ∴BG＝AB﹣AG＝19﹣5＝14（分米）， ∴MN＝BG＝14（分米）， ∴该连衣裙MN的长度为（14分）米； （2）如图2，过E作EK⊥AB于K， ∵在Rt△AKE中，AE＝（13分）米，∠BAE＝76.1°，AK⊥KE， ∴AK＝AE•cos76.1°＝13×0.24＝3.12（分米）， ∵AB＝（19分）米， ∴BK＝AB﹣AK＝19﹣3.12＝15.88（分米）， ∴BK﹣MN＝15.88﹣14＝1.88≈2（分米）， ∴该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为（2分）米． 5．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示． （1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离． （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.39．1.73，π≈3.14） 【答案】（1）点A处的座舱到地面的距离约为79.6米； （2）该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米． 【解答】解：（1）如图，连接OA，OD，作AE⊥CD，垂足为E， 根据题意可知，OC＝OB+BC＝50+10＝60（米）， ∵在△ODC中，DC＝80米，OC⊥DC， 即∠OCD＝90°， ∴（米）， ∴在Rt△ODC中，， ∴∠ODC≈36.87°， ∵DA与⊙O相切， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵在Rt△OAD中，OA＝50米， ∴， ∴∠ODA＝30°， ∴）， ∴∠ADE＝∠ODA+∠ODC＝30°+36.87°＝66.87°， ∴在Rt△ADE中，AE＝AD•sin∠ADE＝50sin66.87°＝500.92＝≈79.6（米）， 答：点A处的座舱到地面的距离约为79.6米； （2）过点A作AF∥CD，交⊙O于点F，延长CO，交AF于点H，连接OF， 不妨设CH＝85 米， ∵OC⊥CD， ∴OH⊥AF， ∴OH＝CH﹣OB﹣BC＝85﹣50﹣10＝25（米）， ∵OA＝50 米， ∴， ∴∠AOH＝60°， ∵OH⊥AF， ∴∠AOF＝120°， ∴最佳观赏风景的时间为（分钟）， 且的长米）， ∴座舱经过的的长约为104.7米， 答：该座舱中乘客最佳观赏风景的时长为10分钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为104.7米． 题型四：解直角三角形在仰角俯角问题中的应用 1．某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　180　 m．（tan22°取0.4） 【答案】180． 【解答】解：如图： 由题意得：PD∥CB， ∴∠PAC＝∠DPA＝45°，∠DPB＝∠PBC＝22°， 在Rt△PAC中，PC＝120m， ∴AC120（m）， 在Rt△PBC中，∠PBC＝22°， ∴BC300（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝300﹣120＝180（m）， ∴A，B之间的距离约是180m， 故答案为：180． 2．如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　120　 m（结果保留根号）． 【答案】120． 【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 3．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 【答案】博学楼DE的高度约为9米． 【解答】解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 4．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到AD的距离； （2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）点B到AD的距离为20m； （2）高压电塔CD的高度为（10+10）m． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于点E， ∵∠A＝30°， ∴， ∴点B到AD的距离为20m； （2）由（1）得：BE＝20m， ∵∠A＝30°， ∴， 又∵∠DBC＝75°， ∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝75°﹣30°＝45°， ∴∠EDB＝90°﹣45°＝45°， ∴DE＝BE＝20m， ∴， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴． ∴高压电塔CD的高度为（10+10）m． 5．如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 【答案】（1）10米； （2）（1515）米． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AM于E， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴， ∴AE＝3BE， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即（10）2＝BE2+（3BE）2， 解得：BE＝10， 答：平台BN的高度为10米； （2）如图，延长CD交AM于F， 则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF， 设CD＝x米，则CF＝（x+10）米， 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， ∵tan∠CAF， ∴， ∴AF（x+10）米， 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BDx米， 由（1）可知：AE＝3BE＝30米， ∴（x+10）x＝30， 解得：x＝1515， 答：建筑物的高度为（1515）米． 题型五：解直角三角形在方向角问题中的应用 1．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为20nmile． 【解答】解：过C作CH⊥AB于H， ∵∠CAB＝45°，AC＝30nmile， ∴AH＝CH＝15nmile， ∵∠CBH＝60°， ∴BC10（nmile）， 过D作DG⊥AB于G， ∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°， ∴∠BDG＝60°， ∴∠CDB＝60°， ∴CD20（nmile）， 答：C，D间的距离为20nmile． 2．如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 【答案】（1）4km；（2）tanC． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴， ∵，AC＝6km， ∴， 得， 在Rt△ABM中，由， 得AB＝4， 答：岛A与港口B之间的距离为4km； （2）在Rt△ABM 中，， ∵△BDM∽△CDA， ∴， ∴， 在Rt△ADC 中， ． 3．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）30°； （2）景点C与景点D之间的距离为（）m． 【解答】解：（1）如图，由题意点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上， ∴∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM﹣∠ACM＝60°﹣30°＝30°； （2）方法一： ∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°， 由（1）得∠ACB＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵AB＝800m， ∴AB＝AC＝800m， 在Rt△ACM中，， ∴（m）， （m）， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1200m， ∴， ∴景点C与景点D之间的距离为． 方法二： ∵∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°． 设AM＝xm， ∴AC＝2xm， ∴CMAMx（m）， 在Rt△BCM中， ， 即， 解得x＝400， 经检验得x＝400是原方程的解， ∴BM＝BA+AM＝800+400＝1200（m）， ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴BM＝DM＝1200m， ∴． ∴景点C与景点D之间的距离为（）m． 4．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）BD的长度约为26.5千米；（2）甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F， ∴∠AED＝∠BFC＝90°， 由题意得，∠DAE＝30°， 在Rt△ADE中，（千米）， DE＝AD•sin∠DAE＝20•sin30°＝10（千米）， ∵无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C的正西方向上， ∴AB∥CD， ∴AE⊥AB，BF⊥AB， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10千米，千米， ∴DF＝DE+EF＝20千米， ∴（千米）， 答：BD的长度约为26.5千米； （2）如图所示，当甲无人机运动到M，乙无人机运动到N时，此时满足MN＝20千米，过点M作MT⊥CD于T， 由题意得，∠BCF＝90°﹣30°＝60°， 在 Rt△FBC中，千米， 千米， ∴CD＝DF+CF＝30千米， 设 BM＝x千米，则DN＝2x千米，CM＝（20﹣x） 千米， 在 Rt△CMT 中，千米， MT＝CM•sin∠MCT＝（20﹣x）•sin60°＝（x）千米， ∴TN＝CD﹣DN﹣CT＝30﹣2x﹣（10x）＝（20x）千米， 在Rt△MNT中，由勾股定理得MN2＝MT2+NT2， ∴， ∴或（此时大于BC的长，舍去）， ∴（千米）， 答：甲无人机飞离B处3.8千米时，两无人机可以开始相互接收到信号． 题型六：解直角三角形在坡度坡角问题中的应用 1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是　15m ． 【答案】15m． 【解答】解：∵斜坡AB的斜面坡度i＝1：， ∴BC：AC＝1：， ∵BC＝15m， ∴AC＝15m， 由勾股定理得：AB15（m）， 故答案为：15m． 2．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6） 【答案】92米． 【解答】解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，过点B作BD⊥MN，垂足为D， 则BE＝DN，DB＝NE， ∵斜坡AB的坡度i＝3：4， ∴， ∴设BE＝3a米，则AE＝4a米， 在Rt△ABE中，AB5a（米）， ∵AB＝75米， ∴5a＝75， ∴a＝15， ∴DN＝BE＝45米，AE＝60米， 设NA＝x米， ∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米， 在Rt△ANM中，∠NAM＝58°， ∴MN＝AN•tan58°≈1.6x（米）， ∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米， 在Rt△MDB中，∠MBD＝22°， ∴tan22°0.4， 解得：x＝57.5， 经检验：x＝57.5是原方程的根， ∴MN＝1.6x＝92（米）， ∴大楼MN的高度约为92米． 3．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°． （1）求点B离水平地面的高度AB． （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）3m； （2）（69）米． 【解答】解：（1）由题意得：BA⊥AE， ∵斜坡BE的坡度， ∴， 在Rt△ABE中，tan∠BEA， ∴∠BEA＝30°， ∵BE＝6m， ∴ABBE＝3（m），AEAB＝3（m）， ∴点B离水平地面的高度AB为3m； （2）过点B作BF⊥CD，垂足为F， 由题意得：AB＝CF＝3m，BF＝AC， 设EC＝x米， ∵AE＝3米， ∴BF＝AC＝AE+CE＝（x+3）米， 在Rt△CDE中，∠DEC＝60°， ∴CD＝CE•tan60°x（米）， 在Rt△BDF中，∠DBF＝45°， ∴DF＝BF•tan45°＝（x+3）米， ∵DF+CF＝CD， ∴x+33x， 解得：x＝6+3， ∴CDx＝（69）米， ∴电线塔CD的高度为（69）米． 4．某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 【答案】（1）2.50m； （2）36.69m． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵sin∠B， ∴AC＝AB×sin∠B＝AB×sin40°≈21×0.643＝13.503m， ∴AC﹣DF＝13.503﹣11＝2.503≈2.50m， 答：两滑梯高度差为2.50m； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∵cos∠B， ∴BC＝ABcos∠B＝ABcos40°≈21×0.766＝16.086m， 在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，∠DEF＝32°， ∵tan∠DEF， ∴， ∴BE＝BC+CF+EF＝16.086+3+17.6＝36.686≈36.69m， 答：BE长36.69m． 5．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米， 则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m）， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m； （2）如图，过点B作BF⊥CD于F， 则四边形BEDF为矩形， ∴DF＝BE＝56m， ∵CD＝296m， ∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m）， 在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°， 则BC400（m）， 答：车的行驶路线BC的长约为400m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 锐角三角函数的运算与应用的中考题型 题型一：实数的运算中的特殊角的锐角三角函数值 题型二：解直角三角形 题型三：解直角三角形的应用 题型四：解直角三角形在仰角俯角问题中的应用 题型三：解直角三角形在方向角问题中的应用 题型三：解直角三角形在坡度坡角问题中的应用 题型一：实数的运算中的特殊角的锐角三角函数值 1．的值等于（　　） A．0 B．1 C． D． 2．计算：． 3．计算：． 4．计算：． 5．计算：（π﹣2）0|﹣6|2cos60°． 题型二：解直角三角形 1．在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB，A（﹣4，3），则点G坐标为（　　） A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4） 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD，AB＝26，则点B到AD的距离为 　 ． 4．四边形ABCD中，AC与BD交于点O，O是AC的中点，BO＝2DO，已知AB＝4，AD＝2，tan∠ACD，则AC的长为 ． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2． （1）求AB的长； （2）求点C到线段AB的距离． 题型三：解直角三角形的应用 1．如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 2．如图，某公司安装了一个人脸打卡器，AB是高2.7m的门框，某人CD高1.8m，只有当∠CAB＝53°时，他才能开门，那么BD长为　 　 ．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小数） 3．某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果精确到1米） （1）求直吊臂OB的长； （2）直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ 4．如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19分米，CD＞AB．在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13分米，一件连衣裙MN挂在点E处（点M与点E重合），且直线MN⊥l． （1）如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该连衣裙MN的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧），若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米？ （结果保留整数，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04） 5．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示． （1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离． （2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°，sin66.87°≈0.92，cos66.87°≈0.39．1.73，π≈3.14） 题型四：解直角三角形在仰角俯角问题中的应用 1．某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离是　 　 m．（tan22°取0.4） 2．如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 m（结果保留根号）． 3．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 4．某学习小组带着测角仪开展“测量高压电塔高度”的实践活动，绘制了如下示意图．在A处测得塔顶D的仰角为30°，向前行40米，在B处测得塔顶D的仰角为75°，A、B与电塔底部C在同一直线上． （1）求点B到AD的距离； （2）求高压电塔CD的高度（结果保留根号）． 5．如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD．在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1：3，米，CD⊥BD．（点A，B，C，D在同一竖直平面内）． （1）求平台BN的高度； （2）求建筑物的高度（即CD的长）． 题型五：解直角三角形在方向角问题中的应用 1．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 2．如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 3．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m． （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 4．为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，A，B，C，D在同一平面内．A是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处．两无人机同时飞往C处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上． （参考数据：1.41，1.73，2.24，2.65） （1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）； （2）甲、乙两无人机同时分别从B，D出发沿BC，DC往C处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离B处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一位）？ 题型六：解直角三角形在坡度坡角问题中的应用 1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1：（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是 ． 2．在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75米到达B处，在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求大楼MN的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6） 3．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度，BE＝6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°． （1）求点B离水平地面的高度AB． （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）． 4．某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为40°，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为32°，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为3m（点B，C，F，E在同一条直线上） （1）求两滑梯的高度差； （2）两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长．（结果精确到0.01m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839） 5．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $