精品解析：河北省秦皇岛市抚宁区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期终期学业质量调研 八年级数学 （满分120分时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一条边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 一个锐角对应相等 D. 两个锐角对应相等 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、高线、角平分线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 或0 6. 因式分解“”得，则“？”是（ ） A. B. C. D. 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少 小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，点 是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形， 边上的高， 是 上的一个动点， 是边 的中点，在点 运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列结论中正确的个数是（ ） ①AD是的平分线；②；③；④点D在的垂直平分线上；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为 的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. 19 C. 21 D. 28 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 14. 若，则分式的值为______． 15. 中国科学院研发出的新型工业纳米机器人，大小约为，已知，则用科学记数法可表示为___________． 16. 已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 分解因式 （1） （2） 19. 解分式方程 （1） （2） 20. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）若点A、B、C关于x轴的对称点分别为、、，则 ， ， ，并在图中画出． （2）求的面积； （3）在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图求出P点的坐标． 21. 如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； （2）若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 22. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 23. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 24. 综合与探究 已知中，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，若，满足，则点坐标为_________，点 坐标为_________，点 坐标为_________； （2）如图2，当点 在第一象限时，过点 作轴于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若轴恰好平分，且，过点 作轴于点 ，与轴交于点 ，请直接写出点 的坐标（用含，的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期终期学业质量调研 八年级数学 （满分120分时间120分钟） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列可使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一条边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 一个锐角对应相等 D. 两个锐角对应相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、一边一角无法得到两个直角三角形全等，不符合题意； B、利用可以得到两个直角三角形全等，符合题意； C、一个锐角对应相等，则另一个锐角也对应相等，无法得到两个直角三角形全等，不符合题意； D、无法得到两个直角三角形全等，不符合题意； 故选B． 3. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、高线、角平分线 B. 角平分线、高线、中线 C. 中线、角平分线、高线 D. 高线、中线、角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：B． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查对于整式运算的理解和应用，解题时应注意幂指数的运算法则． 通过指数运算规则检查每个选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：与指数不同，不是同类项，无法合并，故A错误，不符合题意； 选项B：，故B错误，不符合题意； 选项C：，故C正确，符合题意； 选项D：，故D错误，不符合题意； 故选：C． 5. 若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. 4 C. D. 或0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为0．这两个条件缺一不可． 分式的值为0，需分子等于0且分母不等于0，进行求值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子且分母， 解， 得， 即或， 又∵，即， ∴， 故选：C． 6. 因式分解“”得，则“？”是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用平方差公式分解因式与计算，解题的关键是熟悉平方差公式．先用平方差公式展开，根据对应项相等即可求出． 【详解】∵， ∴“？”是， 故选D． 7. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 8. 如图，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相应知识是解题的关键． 由垂直平分，可得，从而，由，可求得，利用即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 10. 如图，在等边三角形，边上的高， 是 上的一个动点，是边 的中点，在点运动的过程中，的最小值是 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质、轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线；先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得的长，即为的最小值． 【详解】连接， 等边中，是边上的高 ∴垂直平分 ， 当，， 三点共线时，， 等边中，是边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ， 的最小值为， 故选：B． 11. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列结论中正确的个数是（ ） ①AD是的平分线；②；③；④点D在的垂直平分线上；⑤ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由作图可知平分，判断①，三角形的内角和定理，结合角平分线求出，进而求出，判断②，等角对等边判断③和④，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，判断⑤． 【详解】解：由作图可知：平分，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，，，故②③正确； ∴点D在的垂直平分线上，，故④正确，⑤错误； 故选C． 【点睛】本题考查尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. 19 C. 21 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，， ， ， 点为的中点， ， 图的阴影部分面积， ， ， 图的阴影部分面积 . 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：__________． 【答案】80800. 【解析】 【详解】原式=. 14. 若，则分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的减法计算得到，再整体代入即可得到答案．熟练掌握分式的减法和整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故答案为： 15. 中国科学院研发出的新型工业纳米机器人，大小约为，已知，则用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法以及单位之间的换算，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 科学记数法的形式为，其中，为整数，将转换为米时，需利用进行单位换算，并表示为科学记数法形式． 【详解】解：由， 得， 故答案为：． 16. 已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据长方形的周长和面积，可以得到和的值，然后将所求式子因式分解，即可求得所求式子的值． 【详解】解：，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为， ，， 即， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式及零次幂、负指数幂，熟练掌握多项式除以单项式及零次幂、负指数幂是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式可进行求解； （2）根据零次幂、负指数幂及有理数的乘方可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据平方差公式可进行分解因式； （2）根据提公因式及完全平方公式可进行分解因式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后求解方程即可； （2）先去分母，然后再求解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 经检验：当时，， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴原方程的解为． 20. 如图，三个顶点的坐标分别是． （1）若点A、B、C关于x轴的对称点分别为、、，则 ， ， ，并在图中画出． （2）求的面积； （3）在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图求出P点的坐标． 【答案】（1），画图见解析 （2） （3）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是画关于轴对称的三角形，坐标与图形，求网格中三角形的面积，利用轴对称的性质确定三角形周长最小时点的位置与坐标，熟练的运用轴对称的性质进行解题是关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点可得、、的坐标，再顺次连接、、作三角形即可； （2）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）如图，连接交轴于点，则的周长最小，再根据图形可得的坐标． 【小问1详解】 解：∵． ∴点、、关于轴的对称点、、的坐标为： 如图，即为所画的三角形， 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：如图，连接交轴于点， 则， ， 此时的周长最小． 由作图可得：． 21. 如图，某市一小区为了居民有更好的生活环境，丰富居民的业余生活，决定重新修建一块长为米，宽米的长方形地块，计划在中间留下一个“口”型的图形，其余部分（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含，的式子表示阴影部分的面积并化简； （2）若，，预计修建文化广场每平方米的费用为元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算在几何面积中的应用，正确表示阴影部分的面积并进行整式的化简计算是解题的关键． （1）用长得方形面积减去中间空白部分正方形即阴影部分的面积，去括号合并同类项即可化简； （2）把，代入（1）中代数式得文化广场面积，用“单价数量总价”即可求得所需要的费用． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； 【小问2详解】 解：当，时，原式（平方米）， （元）． 答：修建文化广场需要元． 22. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：． （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：为的中点， ． ； 在和中， ； （2） 证明： 垂直平分， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 （1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； （2）在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】（1）单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 （2）小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. 【小问2详解】 解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 24. 综合与探究 已知中，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，若，满足，则点坐标为_________，点坐标为_________，点坐标为_________； （2）如图2，当点在第一象限时，过点作轴于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若轴恰好平分，且，过点作轴于点，与轴交于点，请直接写出点的坐标（用含，的式子表示） 【答案】（1），， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形． （1）先根据非负数的性质求出，，作轴于，如图1，得，根据，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，得到，所以； （2）与（1）一样的方法可证明，得到，则可得； （3）如图3，和的延长线相交于点，先证明得到，再利用对称性质得，则，根据（2）可知，则，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：， ∴，， 作轴于，如图1，    ∵点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 故答案为：，，； 【小问2详解】 证明：如图2， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图3，和的延长线相交于点， ， 轴， ， ∵， ， 在和中 ， ， ， ∵轴平分轴， ， ， 根据（2）可知， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $