陕西省榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年高二上学期1月期末检测数学试题

府谷中学2025~2026学年第一学期高二年级期末检测 数 学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.直线x一3=0的倾斜角为 A.0 B晋 c D.不存在 2.在空间四边形PABC中，BA+AC-BP= A.PB B.PA C.PC D.AC 3已知双曲线号。千-1。>0)的虚轴长是实轴长的3倍，则实数。的值 A司 B c局 D号 4.圆C1:(x-3)2+(y+4)2=4与圆C2:x2+y2=9的位置关系是 A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 5.在等比数列{a.}中，4a5,a,2a6成等差数列，则16一a5= a14 A司 B号 C.2 D.4 6,已知数列a}清足。-中a,=3,则数列(a)的通项公式是 an A.a=3n B.an=n+2 C.a=2n+1 D.a,=3n2 【高二数学第1页（共4页）】 6281B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 1.已知F,R分别是双周线C号-芳=1o>0,6>0)的左，右焦点，P为C上一点，∠R,PE =号，且△F,PF:的面积等于65，则6= A.3 B.6 C.3 D.√6 8.已知点P是抛物线C:y2=12x上的一点，设点P到直线x=一3和x一y+4=0的距离分别 为d,d,则d1十d2的最小值为 9 R名 C.3+22 D.4√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,2,x),b=(2,y,1),若|a=3,a⊥b,则x+y= A.-2 B.1 C.-1 D.0 10,点P是椭圆C:号+y=1上任意一点，R,R:是椭圆的左右焦点，则 A.△PFF:的周长为4+√3 B.△PF1F2面积的最大值为√3 C.IPF1|·IPF2|的最大值为4 D.IPF|·|PF2|的最小值为1 11.已知等差数列{a.}的前n项和为Sn,公差为d,a1<0,若a1十a1g十a2o=0,则下列命题正确 的是 A.数列{a.}是递增数列 B.S12和S13是{Sn}中的最小项 C.a13是数列{an}中的最小项 D.满足Sn<0的n的最大值为25 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.过点(2，一1)且斜率为2的直线方程为 13.等比数列{a,}的各项均为正数，且a·a1g=4,则loga1十loga2十…十log2a15=一· 14,已知点A,B是椭圆C后+芳-10>6>0)上的两点，且直线AB恰好平分圆r2+y=R: (R>0),M为椭圆G上与A,B不重合的一点，且直线MA,MB的斜率之积为一号，则椭圆 G的离心率为 【高二数学第2页（共4页）】 6281B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}的前n项和为S.,a2=3,S,=5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=an-3”,求数列{bn}的前n项和Tm 16.(本小题满分15分) 已知点A(1,2),B(5,6),线段AB是圆C的直径 (1)求圆C的标准方程； (2)若过圆心C的直线L在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P-ABCD的体积为号， AB⊥PD,PA⊥AD,PD=2ED (1)证明：直线PB∥平面ACE; (2)求直线PC与平面ACE所成角的正切值， 【高二数学第3页（共4页）】 6281B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 已知过抛物线y=2px(p>0)的焦点F,斜率为2的直线交抛物线于A,B两点，且 |AB|=10. (1)求抛物线的方程； (2)抛物线的准线与x轴交于点F',过点F的直线l交抛物线于M,N两点，当FM.FN =64时，求直线1的方程. 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且a2=2,a+1-Sn=1(n∈N). (1)求{an}的通项公式； an,n=2k,k∈N" (2)若bn= ,求数列{bn}的前2n项和Tn; log2an,n=2k-1,k∈N" (3)若数列{c,}满足a,c,=n,记(c}的前n项和P.,判断是否存在正整数，使得P,=”十50 2n-1 成立？若存在，则求出所有n值；若不存在，请说明理由。 【高二数学第4页（共4页）】 6281B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP府谷中学20252026学年第一学期高二年级期末检测·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C直线x一3=0即x=3,是一条与x轴垂直的直线，所以直线x-3=0的倾斜角为乏.故选C. 2.CBA+AC-B驴=BC-B驴=PC.故选C. 3.A由题意有Va十=3a,解得a=号，故选A 4.B圆C的圆心为C(3,-4),半径为r1=2,圆C2的圆心为C2(0,0),半径为r2=3,故CC2=m十r2,所 以圆C与圆C2外切.故选B. 5.C设等比数列{an}的公比为q,由4a,a,2a6成等差数列，可得2a=4a:十2a6,即a1q=2a1g十a1q,得 g2-q-2=0,所以a1s一a15=g2-q=2,故选C. a14 6.A由题意得片=号，数列号为首项为3的常数列，则号=3，得a=3m 7.D由余弦定理得EF:P=PEP+PF,P-2PFI·PF,·cos号=PF:+PE-PF,1·IPF: =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1·|PF2=4a2+|PF·|PF2|,.PF11·|PF2|=F1F2|2-4a2=4b, Sae=号·PF·PF1·sn晋=之·46，号-=65,6=6，故选D 8.A抛物线C:y2=12x的焦点F(3,0),准线方程为x=-3,因为点P在 x-y+4=0 抛物线C:y2=12x上，所以d=|PF|,所以d1十d2=|PF十d2.联立方 y2=12x 程组 得：x2-4x十16=0，则△=(-4)2-4×16=-48<0， x-y十4=0 所以直线x-y十4=0与抛物线C:y2=12x无公共点，如图所示，|PF列 十d2的最小值即为点F(3,0)到直线x一y十4=0的距离，所以最小值为 34-22,故选A √2 9.ADa=√/1+4+x2=3,∴.x=士2，又，a⊥b,.a·b=2+2y十x=0, 当x=-2时y=0,则x十y=-2,当x=2时y=一2，则x十y=0. 10.BCD因为C:千十y=1,所以a=4,6=1,所以c2=a2-=3,即a=2,6=1,c=尽，F(-5,0, F2(3,0),因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a=4. 对A,△PF1F2的周长为|PF|十|PF,|+|F1F2=4+2W3,所以A错误： 对B,设P(w),Sam=号FF1·=Fw,因为-1≤<1，所以=1时，即当点P在短 轴端点时，△PFF2的面积取得最大值，且最大值为√，所以B正确： 对C,因为PE+PF=4,所以PF·PF:≤(PEPE)'=4,当且仅当PR=PF,=2 2 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 6281B 时等号成立，所以PF,|·PF2的最大值为4，所以C正确； 对D,因为1PF+|PF2|=4,所以|PF2=4-|PF1,所以|PF|·|PF2=|PF|(4-|PF|),因为a- c≤|PF≤a十c,即2-√3≤|PF≤2+√5，所以当|PF|=2+√5或|PF|=2-√3时，|PF|·|PF2|取 得最小值，最小值为1，所以D正确，故选BCD. 11.AB对于选项A:因为a1十a18十a20=0即a1十a18十a20=3a13=0,所以a1a=0,即a1十12d=0,所以a1= 一12d<0,所以d>0,数列{a}是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B:因为a1<0,a3=0,所以当n=12或n=13时，S取最小值，所以选项B正确； 对于选项C:因为数列{am}是递增数列，所以最小项是首项a1,所以选项C错误； 对于选项D:由不等式S,-%(n一25)<0，可得0<n<25,又因为n∈N,所以满足S,<0的n的最大值 为24，所以选项D错误.故选AB. 12.2x-y-5=0依题意y+1=2(x-2),2x-y-5=0. 13.15由已知得数列{am}是各项均为正数的等比数列， 则a1·a1s=a2·a14=…=a号=a3·a13=4,ag=2. 所以log2a1+log2a2+…+log2a1s=log2a85=15log22=15. 14.5设A(x,),M(),依题意有 停+= 3 两式相减得二玉。一一上 2+=1 因直段AB恰好平分圆x2十y=R(R>0),则B(一x1,-y1), 于是得直线MA,MB的斜率之积为Y二少· x1-x0 二=yi二“=b=1 -x1一x0x-x 、3·解得寻之—、 3 a2-62 所以椭圆G的离心率为e= 3 a1+d=3, a1=5, 15.解：(1)设{an}公差为d,由a2=3,S；=5得， a+-5 解得 …………4分 d=-2, 故an=5-2(n-1)=7-2;…6分 (2)由bn=an一3w得bn=7-2n3”,……8分 故五=S-32=X5+“D×(-2)+ 3+1 3 …13分 1-3 2=-n2+6n 2 2 16.解：(1)，线段AB是圆C的直径，A(1,2),B(5,6), C的坐标为（生空，2生），即(3，… …………2分 圆C的半径r=W(3-1)2十(4-2)=2√2，……5分 所以圆C的标淮方程为(x一3)2十(y一4)=8；………………7分 (2)显然直线（的斜率存在，设直线l的方程为y一4=k(x一3），令x=0,解得y=4一3k,令y=0,解得x=3 冬，又过圆心C的直线1在工箱y轴上的截距相等，所以3一冬=4一3沈，…12分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 6281B 解得k=一1或k=专，所以直线1的方程为x十y-7=0或4红一3y=0.…15分 17.(1)证明：如图，连接BD交AC于点H,连接HE, 因四边形ABCD是正方形，PD=2ED,则H是BD的中点，E是PD的中点，…2分 所以HE∥PB, 由于HEC平面ACE,PB吐平面ACE,… 4分 所以直线PB∥平面ACE;…5分 (2)解：因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AB⊥AD, 又因为AB⊥PD,AD∩PD=D,且AD、PDC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD,AB⊥PA, 因为PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD,故可分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空 间直角坐标系A-xy之； 又底面ABCD是边长为1的正方形，V-ABCD= 号X1X1XPA= ，所以PA=2,“ …7分 B 则A(0,0,0,P00,2),D0,1,0),E(0,号，1），C1,1,0), 则AC=(1,1,0),A它=(0,3,1），C市=(-1，-1,2)， 9分 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z), n·AC=x+y=0 则 n…A花=之y叶=0 令y=2,则n=(-2,2,-1),…12分 设直线PC与平面ACE所成角为B, 则sin0=cosC立，m= 14分 即直线PC与平面ACE所成角的正切值为号 …15分 18.解：(1)由题知，设直线AB的方程是y=2(x-号)，A,B两点的坐标分别为(x),(), 与y2=2px联立，消去y,得4x2-6px十p2=0, 所以x十x=立p: 3 …………………………………3分 由抛物线定义得1ABl=十，十力=子p计力=号=10， 所以p=4,从而抛物线方程是y=8x;…6分 (2)由题知，直线MN的斜率存在且不为0，F(-2,0),设直线MN的方程是y=k(x十2)， [y=k(x+2) 联立方程得。 化简得kx2十(4k2一8)x十4k=0, y2=8x, 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 6281B 由△=64一64k2>0,解得k<1,… 8分 西十x2842 设M(x1y),N(x2,y),则 x1x2=4, Ⅵyg=k2(x1十2)(x2十2)，………………………………………………10分 FM.FN=(x1十2，y)·(+2,y)=(x十2)(x,+2)+n =(k+1)(x,+2)(西十2)=(：+1)[西，+2(x十g)+4幻=16(+1=64，…14分 :16(k+1D=64. k 解得=分6=9满足4>0 3 线的方程为y=士（红十2）.……… 19.解：(1)因为am+1-Sm=1(n∈N*),所以a2-S1=a2-a1=1,又a2=2,所以a1=1;…1分 当n≥2时，an-S。-1=1(n∈N),所以a+1-S。-(an-S.-1)=a+1-2a=0,所以a±=2，…3分 a 又a2=2,所以a出=2，又a1=1,所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a=2-1:…5分 2m-l,n=2k,k∈N* (2)由(1)可得b,= ,…………7分 n-1,n=2k-1,k∈N* 所以T2m=b十b2十…十b2n=(b1十b+…十b2-1)+(b2+b:+…+b2m)=(0+2+4+…+21-2)十(2+23 …十221）=（2n-2）n士2142=1·22+1+n2-n3；…1 2 1-43 ③图为a:=,所以二=产，所以户=立+号+十品，名卫=+会十十会，两式相减得 北中古如 2-1 …13分 由P.-,得4-兴-0所以2-26=0， 2n-1 令dn=2”-n-26,所以dm+1-dn=2+1-(n十1)-26-(2”-n-26)=2”-1>0,所以数列{dn}是递增数 列，………………………15分 又d,=2-4一26=一6，d=2一5-26=1，所以不存在正整数n,使得2-n一26=0，即不存在正整数n, 使得卫=")吧成立，…，l7分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 6281B