河北省张家口市第二中学2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

张家口第二中学高三上学期期末数学试卷 副标题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合U=1,2,3,4,5}A={2,3,5},B={2,5,则() A.ACB B.A 0B={3) C.AUB={2,5}D.CuB={1,3,4 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查集合的运算，考查子集、交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 利用子集、交集、并集、补集定义直接求解 【解答】 解：集合U={1,2,3,4,5A={2,3,5B={2,5 对于A,A2B,故A错误： 对于B,A∩B={2,5},故B错误： 对于C,AUB={2,3,5)故C错误； 对于D,CuB={1,3,4,故D正确. 故选D 2.已知复数z= 1 1+i 则z的虚部为 A.-1 B.1 c.-3 D. 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了复数的四则运算和复数的概念，属于基础题. 利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出. 【解答】 解：z=1 a+0=克， 1-i 复数2的虚部为》 故本题选：C 3.已知命题p:Vx>0,x+>4,则p为() 第1页，共10页 A:x≤0，x+t≤4 B.p:3x≤0，x+t≤4 C.p:3x>0,x+4≤4 D.p:3x>0,x+4=4 【答案】C 【解析】解：命题p:x>0,x+>4为全称命题，则：x>0,x+≤4， 故选：C 命题是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化 本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查，注意在写命题的否定时量词的变化，属 基础题， 4已知aER,则“a>是”是“日<2”() A充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】解：由不等式性质，a>}→2a>1→上<2， 2 但<2不能推出a>2例如a=-1, 所以“a>”是“日<2”的充分不必要条件. 故选：B. 根据命题的充分必要性直接判断. 本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题. 5.若实数x,y满足2x+5y=8,则y的最小值是() A.8 B号 C.16 16 D. 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题. 结合已知，直接利用基本不等式即可求解最大值. 【解答】 解：因为2x·5y≤(2，当且仅当2x=5y时等号成立， 又因为2x+5y=8, 第2页，共10页 所以10xy≤16，当且仅当x=2,y=时取等号， 故xy的最大值是 故选：B, 6.在△ABC中，AM=3MB,则CM=() A.ICA+CB B.CA+CB CcA+c丽 D.CA+CB 【答案】A 【解析】【分析】 本题主要考查向量的加法、减法与数乘运算以及平面向量的基本定理的应用. 利用CM-CA+AM,AM=3MB,即AM-AB,即可求解. 【解答】 解：如图所示： M B 因为CM=CA+AM, 又因为AM=3MB,所以AM=子AB, 所以CM-CA+AM=CA+AB=CA+(AC+CB) =CA-cA+c丽-C+c丽. 故选A. 7.已知向量d=(m,3),=(3,-n),若a+2b=(7,1),则mn=() A.1 B.0 C.-1 D.2 【答案】A 第3页，共10页 【解折】解：“a+26=(亿1g-7得m=n=1,mm=1. 故选：A. 由向量相等对应的坐标相同，列出m,n的方程，解方程进而算出结果. 本题考查了平面向量线性运算的应用.属于基础题， 8.若等比数列{an的第3项和第5项分别为48和12，则{an的首项a1=() A.-192 B.192 C.±192 D.-193 【答案】B 【解析】解：根据题意，等比数列{an}中，a3=48,as=12, 又由a1a5=(a3)2,变形可得a1=192. 故选：B, 根据题意，由等比中项的定义有a1a5=(a3)2,变形可得答案. 本题考查等比数列的性质和应用，涉及等比中项的定义，属于基础题 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知复数z1=1+i,z2=1-i,则下列复数为纯虚数的是() A.Z1Z2 B.Z1-Z2 C. D.3 ”Z2 【答案】BCD 【解析】解：因为z1=1+i,22=1-i, 所以z122=(1+)(1-)=2, Z1-z2=2i, z1=(1+)2=2i 21=1+1_(1+02 2五1-i-1-0(1+0=i, 故选BCD. 10.已知平面向量a=(-1,-2),b=(1,-3),与b的夹角为0，则() A.d//B B.dL(-b) C.0=45° D.在让的投影向量为（吃，-多） 【答案】BC 【解析】解：根据题意，平面向量a=(-1,-2),b=(1,-3), 依次分析选项： 第4页，共10页 对于A,向量a=(-1,-2),万=(1，-3)，因为≠子不会成立，则与不共线，故A不正确： 对于B,a-6=(-1,-2)-(1,-3)=(-2,1),a·(d-可=-1×(-2)+(-2)×1=0，所以a1(d-, 故B正确； 对于C,因为os0=a6 =t长-③-受，0e0,,所以-子故C正确： 1ab W5×v10 对于D,6在上的投影向量为码a=1x1+-2)x-》(-1,-2)=(-1,-2),故D不正确. 1a2 5 故选：BC 根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断， 本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行、垂直以及投影向量的计算，属于基础题. I1.己知cos(a+)=-5,cos2a=-急其中a,B为锐角，则() Asin2a=是 B.cos(a-B)=2v5 5 C.cosacosB= 10 D.tanctan=月 【答案】AB 【解析】【分析】 本题考查了两角和与差的三角函数公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题， 由同角三角函数得基本关系可得判定A;由cos(a-B)=cos[2a-(Q-)]可判定B;展开cos(a-B) 和cos(a+B)联立得出cos a cos B和sin&sinB可判定CD, 【解答】 解：4：因为c0s2a=-言(a为锐角)，故sim2a=V1-cos22a=},故A正确； B因为co0s(a+)=-晋cos2a=-专其中，B为锐角，sin(a+)-2 所以cos(a-β)=cos[2a-(a+)] =cos2acos(a+β)+sin2asin(ax+β) =(-争×(-5+是×号V5=号V5,故B正确： C:cos(a-B)=cosacosB+sinasinB=5, cos(a+B)=cosacosB-sinasing- 5 cosacosB=[cos(a+B)+cos(a-B)] 第5页，共10页 =-5+5)= ,故C错误， D:由sinasinB--[cos(a-)-cos(u+1=2S-(-引=品V5, 所以tanctang=sinasing cosacosB =3,故D错误. 故选AB, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知集合A={0,1,2,3,4,B={x-x2+2x+3>0},则AnB中的元素个数为 【答案】3 【解析】【分析】 本题主要考查交集的定义，属于基础题， 求解一元二次不等式解得集合B,再求A∩B,即可求得其元素个数 【解答】 解：由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,所以B={x|-1<x<3}, AnB=0,1,2,故AnB中的元素共有3个. 故答案为：3 13.已知是虚数单位，若复数z满足(1+2)z=3-i,则lz=一 【答案】√2 【解析】【分析】先根据复数的除法算出z,然后用模长公式进行求解 【详解】由题盒，2=0碧=，于是以 (1+20(1-2) 5 ()+(-)-2. 故答案为：√2 14.在等差数列{an}中，a1+3ag+a15=120,则3ag-a11的值为 【答案】48 【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的性质，特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项公式 先根据等差中项的性质根据a1+3ag+a15=5ag=120求得ag,进而根据通项公式，求得答案。 【解答】 解：a1+3ag+a15=5ag=120, ag=24,即a1+7d=24, 第6页，共10页 3ag-a11=2a1+14d=48, 故答案为48. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题15分) 已知向量a=(-1,3),b=(1,-2): (1)求d+2b: (2)若a-b/a+k万，求k的值： (3)求a与2a+2b的夹角6的余弦值. 【答案】V2: -1: 3V10 10 【解析】解：(1)依题意，a+2万=(-1,3)+(2，-4)=(1，-1) 则1a+21=√12+(-1)z=√2， (2)a-五=(-1,3)-(1，-2)=(-2,5) 则a+kb=(-1,3)+(k,-2k)=(k-1,3-2k): 因为a-b/a+kb, 所以(-2)×(3-2k)-5×(k-1)=0, 即-6+4k-5k+5=0, 解得k=-1. (3)2a=2×(-1,3)=(-2,6),2b=(2,-4), 则2a+2b=(-2,6)+(2,-4)=(0,2) a.(2a+2b)=(-1)×0+3×2=6, |a=√(-1)2+32=√10， |2a+2b|=√02+22=2. 所以cos30=a(2a+20_ 6=3V西 al2a+2b1V10×2- 10 (1)根据向量模的运算求得正确答案， (2)根据向量平行列方程，由此求得k。 (3)根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得k 第7页，共10页 (4)根据向量夹角公式求得正确答案。 本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题. 16.(本小题15分) 己知等差数列{an满足ag=3a3,a1十a2=4. (1)求数列{an的通项公式： (②设，=求数列b,的前n项和 【答案】解：(1)由题意，设等差数列{an的公差为d, 因为8+4 所侣a日-a1+20,解侣- 所以数列{an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1: 1 (2)由(1)知bn三anan+1=2-1)02+D 因为b=(2是1-2 所以r=1-+G+…+(品一 即7=1-)=+ 【解析】本题考查了等差数列通项公式，数列求和，考查了运算求解能力，属于基础题. )设等差数列Qn的公差为d,结合024求出首项和公差，即可得到数列@n的通项公式 (2)根据b。=(1一》运用裂项相消法求和即可求出数列0，的前n项和7， 17.(本小题16分) 已知角α终边上一点的坐标为P(-4,3). ①求sina,cosa,tana的值； m求π++2aC号-四的值。 2cos(π-a) 【答案】解：①P(-4,3),r=10P|=5, 则sima=是cosa=-手tana=-景 0四mamt26@=na显-tama-1-x(-3-1=-号 2cos(π-a) -2cosa 【解析】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数基本关 系式的应用，属于基础题. 第8页，共10页 (①)由已知求得引OP|,再由任意角的三角函数的定义求解： (Ⅻ)利用三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 18.(本小题16分) 已知正项等比数列{an}满足a3=9,a4-a2=24. ①求数列{an的通项公式an: (Ⅲ)设bn=n·an,求数列bn的前n项的和Sn: 【答案】解：（①）设数列{an的公比为q. 由a4-a2=24,得9g-号24，即3g2-8g-3=0, 解得q=3或g=-号 又an>0,则q>0, ·q=3, .an=9×3n-3=3n-1」 ()bn=n·an=n×3n-1, Sn=1×30+2×31+3×32+…+n×3n-1 3Sn=1×31+2×32+…+(n-1)3n-1+n×3m, .-2Sn=1+31+32+…+3n-1-n·3n =1-3n 1-3 -n3n=1-2m)3”-1 2 5Sn=(2-)3”+1 4 【解析】本题考查等比数列的通项公式和用错位相减法求数列的前项和. ①)把已知条件用a3和公比q表示建立方程，求出q,即可得到通项公式。 (四)紧紧抓住数列的特点，它是由一个等比数列和一个等差数列对应项相乘而得，此类数列可通过错位相减 法求前n项和. 19.(本小题15分) 已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2V3 sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间. (2)当xe[o,时，求f的最值. 第9页，共10页 【答案】解：(1)函数f(x)=cos2x-sin2x+2v√3 sinxcosx cos2x+3sin2x 1 V3 =2(吃cos2x+2sim2x) =2sin(2x+): fx)的最小正周期为T=红=π： 令2km-≤2x+g≤2km+,kEz, 解得km-于≤x≤kn+g,keZ: ∴f(x)单调递增区间为[km-,km+],k∈Z: (2)当x∈[0，时，2x+君e层，. sin(2x+君e吃，1： ∴x=0时，f(x)取得最小值为1， x=时，f(x)取得最大值为2. 【解析】本题考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题. (1)化函数f(x)为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递增区间； (2)根据x∈[0，]，求出sin(2x+)的取值范围，从而求出f()的最大、最小值. 第10页，共10页张家口第二中学高三上学期期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合U={1,2,3,4,5,A={2,3,5},B={2,5,则( A.A∈B B.AnB={3}C.AUB={2,5}D.CvB={1,3,4 2.已知复数z=1+则z的虚部为 A.-1 B.1 c.- D.月 3.已知命题p:x>0,x+>4,则p为(） A.7p:x≤0，x+4≤4 B.p:3x≤0，x+4≤4 C.p:3x>0,x+4≤4 D.7p:3x>0,x+4=4 4.已知a∈R,则a>”是“日<2”的(） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 5.若实数x,y满足2x+5y=8,则xy的最小值是( A.8 B.号 C.16 D. 16 6.在△ABC中，AM=3MB,则CM=()》 A.CA+C丽B.CA+C丽C.cA+c丽D.cA+CE 7.已知向量d=(m,3),=(3,-n),若d+2=(7,1),则mn=() A.1 B.0 C.-1 D.2 8.若等比数列{an的第3项和第5项分别为48和12，则{an}的首项a1=() A.-192 B.192 C.±192 D.-193 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。 第1页，共4页 9.已知复数21=1+i,z2=1-i,则下列复数为纯虚数的是() A.Z1Z2 B.Z1-Z2 C. D. 22 10.已知平面向量d=(-1,-2),=(1,-3),与b的夹角为0，则() A.a//B B.a L(d-B) C.0=45° D.在上的投影向量为(，-孕 1.已知cos(a+)=-写，cos2a=-手，其中a,B为锐角，则() A. sin2a B.cos(a-B)=2v5 C.cosacosp= 10 D.tanatang= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A={0,1,2,3,4},B={x|-x2+2x+3>0,则AnB中的元素个 数为 13.已知i是虚数单位，若复数z满足(1+2i)z=3-i,则 lzl 14.在等差数列{an}中，a1+3ag+a15=120,则3ag-a11的值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明。 15.(本小题15分) 己知向量d=(-1,3),b=(1,-2): (1)求a+2b: (2)若(d-b)/(a+kb,求k的值： (3)求d与2d+2b的夹角的余弦值. 第2页，共4页 16.(本小题15分) 己知等差数列{an}满足ag=3ag,a1+a2=4. (1)求数列{an的通项公式； 1 (2)设b,n= 一，求数列{bn}的前n项和Tn anan 17.(本小题16分) 已知角α终边上一点的坐标为P(-4,3). (I)求sina,cosa,tana的值； (I)求m+0+2s号-的值. 2cos(n-a) 第3页，共4页 18.(本小题16分) 已知正项等比数列{an}满足a3=9,a4-a2=24. (I)求数列{an}的通项公式an: (II)设bn=n·an,求数列{bn}的前n项的和Sn 19.(本小题15分) 己知函数f(x)=cos2x-sin2x+2V3 sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间. (2)当x∈0，时，求f(x)的最值. 第4页，共4页