《第2章实数》期末综合复习试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》期末综合复习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．实数（两个1之间依次多一个0），其中无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列根式是最简二次根式的是（      ） A． B． C． D． 3．若x，y为实数，且，则的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2025 4．已知的算术平方根是，的立方根是，则的值为（    ） A．3 B．5 C．3或7 D．5或7 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．把根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．81的平方根为 ，的立方根为 ，算术平方根是 ． 10．的相反数是 ，绝对值是 ． 11．计算： ． ． 12．如果的整数部分是a，小数部分是b，那么= ． 13．若一个正数的两个平方根是和，则 ． 14．已知：，则的值为 ． 15．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 16．小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的27倍，则小夏制作的正方体的棱长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 18．计算： (1)． (2)； (3)； (4)． 19．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 20．某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球，已知球的质量公式为．其中，表示球的质量，表示球的半径，为大理石的密度．如果球的质量m为，大理石的密度为，那么这个大理石球的半径r是多少？（取，结果精确到） 21．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 22．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 23．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的矩形舞台，其面积为平方米，长为米． (1)求这个舞台的宽（结果化为最简二次根式）； (2)为了增加舞台效果，准备在舞台的中央建造一个边长为米的正方形升降台，舞台的剩余部分（图中阴影部分）铺设地板，已知地板的价格为每平方米200元，求铺设地板需花费的总费用． 24．小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 参考答案 1．解：，是有理数； 是有理数； 中是无理数，所以是无理数； ，是有理数； 是分数，是有理数； 中是无理数，所以是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 无理数有3个：、、． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，根据定义判断即可. 【详解】解： A选项，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项，，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项， ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项，，13是质数，无平方因数，是最简二次根式． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”． 根据绝对值和算术平方根的非负性，由和为0推出每个部分为0，求出、后计算代数式的值． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的意义． 先计算的值，再求其算术平方根得到；计算的值，再求其立方根得到；最后求． 【详解】解：∵， ∴， ∵的算术平方根是， ∴． ∵的立方根是，， ∴． ∴． 故选B． 5．D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式． 先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简． 【详解】解：∵， ∴． ∴= ． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 9． 【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根．根据平方根，立方根，算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴81的平方根是． ∵， ∴的立方根是． ∵，5的算术平方根是， ∴算术平方根是． 故答案为：，，． 10． / / 【分析】本题考查了实数的性质，相反数的定义，绝对值的意义，根据相反数的定义和绝对值的定义即可得答案，实数的相反数与有理数的相反数相同，实数的绝对值与有理数的绝对值相同． 【详解】解：的相反数是， ∵， ∴绝对值是， 故答案为：，． 11． 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算；根据二次根式的性质以及二次根式的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解： ，   ， 故答案为：，． 12．8 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，进而得到的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为：8． 13． 【分析】此题考查了平方根，由一个正数的两个平方根是和，得，然后求出的值即可，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，设，，则，利用平方差公式，，计算的值，再代入已知条件求解即可． 【详解】解：， 设，，则． ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可． 【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并， 所以。 解得， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了正方体体积公式的应用及立方根的运算，解题的关键是根据体积关系建立方程，利用立方根定义求解棱长． 先由正方体体积公式得小华正方体的体积，再求出小夏正方体的体积，通过体积公式建立棱长的方程，开立方得小夏正方体的棱长． 【详解】解：小华正方体的体积为，则小夏正方体的体积为， 设小夏正方体的棱长为，由体积公式得， 即，故． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根与立方根求未知数，掌握平方根与立方根的概念是关键； （1）方程化简为，利用平方根求解即可； （2）方程化为，利用立方根求解即可． 【详解】（1）解：变形为， 即； （2）解：变形为， 即， ∴． 18．（1）解：原式． （2）解： ； （3） ； （4）解： ． 19．（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 20．解：∵m为，大理石的密度为，， ∴米， ∴这个大理石球的半径是米． 21．（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 22．（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 23．（1）解：这个舞台的宽为（米）， 答：这个舞台的宽为米； （2）解：阴影部分的面积平方米， 铺设地板需花费元． 24．（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $