第1章勾股定理期末综合复习达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》 期末综合复习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 3．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 5．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，小李在钓鱼时，发现鱼线没入水中的长度为米，在与鱼线水平距离为米（米）、水下距离为米（米）的处有一条鱼，发现了处的鱼饵，于是鱼以米／秒的速度向处游去，则这条鱼从游到需（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 7．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，F是延长线上的一点，过点F作，交的延长线于点E，D是的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．7 B． C．6 D． 二、填空题（满分24分） 9．若一个直角三角形的周长为，面积为，则这个直角三角形的斜边长为 ． 10．如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为9、5．则的长为 ．    11．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 12．如图，已知在中，是上一点，且，，，，则的面积为 ． 13．如图，在中，，平分，于点，如果，，那么的周长为 ． 14．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米． 15．如图，圆柱高为，底面周长为，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从点A爬到点B处觅食，要爬行的最短路程是 cm． 16．如图，在中，，E是上一点，，P是上一动点，则的最小值是 ． 三、解答题（满分72分） 17．在中，，、、的对边分别是，，． (1)已知，，求； (2)已知，，求． 18．如图，直线l是一条河，两地到的距离和分别为，，且，欲在上的某点M处修建一个水泵站，向两地供水，求铺设最短的管道长． 19．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 20．一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21．为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图）进行绿化，经测量米，米，米，米． (1)求证：． (2)求空地的面积． 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，娄底市某中学八年级学生学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的学生的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果该学生想让风筝沿方向下降12米到点M，则他应该往回收线多少米？ 23．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 参考答案 1．C 【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可． 【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意； C．，，，故该选项是勾股数，符合题意； D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构造直角三角形是解题的关键．先作辅助线构造直角三角形，结合已知条件确定直角边长度，再用勾股定理求斜边的长度，最后根据时间=路程÷速度计算鱼游到处的时间． 【详解】解：如图，过点作于． 米，米，米， 米，米， 是直角三角形， ∴由勾股定理：米， 鱼游到处的时间秒， 故选：B． 7．A 【分析】该题考查了勾股定理的应用，根据题意，乙向东行走距离为，甲先向南走10步，然后斜向北偏东行走，总路程为，故斜行距离为．利用勾股定理建立方程． 【详解】解：设甲、乙从出发到相遇所花时间为，则乙向东行距离，甲先向南行步，再斜行步与乙会于点． 在中，∵， ∴， 即． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 延长交于点G，证明，可得，，然后在中，利用勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故选：B 9．13 【分析】设直角三角形的两条直角边长为和，斜边长为，根据勾股定理、周长和面积条件，建立关系式并求解即可． 本题主要考查了勾股定理，熟练掌握并运用勾股定理是解决此题的关键． 【详解】解：由题意，，， 因此， 又由勾股定理， 由 两边平方得， 即 代入和， 得 化简得， 即， 解得 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． 11． 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 12．150 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：150． 13．6 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键是得． 先证明，可得，再利用勾股定理求得，进而利用三角形的周长和等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， ∵在中，，，， ∴， ， ∴的周长为, 故答案为：6． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 15．13 【分析】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题的关键是画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，连接， 根据两点之间，线段最短，可得就是蚂蚁爬行的最短路线． 由题可得：， 由勾股定理得： ， 故答案为：13． 16．10 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，作点B关于直线的对称点D，连接，根据线段的和差关系求出的长，由轴对称的性质得到，则可证明当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长，求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点B关于直线的对称点D，连接， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：10． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意是斜边． （）由勾股定理求出直角边即可； （）由勾股定理求出斜边即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴． 18． 【分析】本题考查了最短问题以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作点关于直线的对称点，连接，延长，作，交的延长线于，则线段的长度即为所求． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长，作，交的延长线于，则线段的长度即为所求. 由题意可知，，， ∴， 故铺设最短的管道长是． 19．(1)是从村庄C到河边的最近路，说明见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 在中，，，， ，，， ， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）解：设，则， ， 在中，， ， 解得：， 即的长为千米． 20．(1)这个梯子的顶端距地面 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理列式运算即可； （2）求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， 在中，， ∴这个梯子的顶端距地面； （2）根据题意，得，， ∴， 在中，， 所以， 即梯子的底端在水平方向滑动了． 21．(1)见解析； (2)空地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形； （2）由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形； （2）解： ． 答：空地的面积是． 22．(1)风筝的垂直高度为米 (2)他应该往回收线米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出垂直高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， （负值已舍去）， （米）． 答：风筝的垂直高度为米． （2）解：由题意得，米， （米）． 在中， 由勾股定理得，（米）， （米）． 他应该往回收线米． 23．（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 学科网（北京）股份有限公司 $