第一章 勾股定理（单元自测）数学新教材北师大版八年级上册

第一章 勾股定理 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 2．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，则的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C，D均在格点上，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 7．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（ ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 8．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为________米． 12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为________． 13．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为________尺．（1丈尺） 14．如图，两树相距，一棵树高，另一棵树高．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行了________． 15．如图，在四边形中，，，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 17．（9分）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 18．（9分）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． （1）求两点之间的距离； （2）若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 19．（9分）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． （1）经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ （2）已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 20．（9分）拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数． （2）学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ （3）若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 21．（10分）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． （1）游客服务中心应建在距点A多少千米处？ （2）求的度数． 22．（10分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 23．（10分）综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； （2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．以下列长度的三条线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．6，8，10 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的计算是解题的关键． 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法计算即可求解． 【解析】A、∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选B ． 2．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，则的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可得． 【解析】由图可知，， ， ， ∴， ∴是直角三角形， 故选B． 3．在下列各组数中，是勾股数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义逐项排除即可． 【解析】A. ，不是勾股数． B. ，不是勾股数． C. ，是勾股数． D. ，不是勾股数．故选C． 4．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C，D均在格点上，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接．由勾股定理，得，，，所以，，所以，是等腰直角三角形，所以．因为，所以．故选A． 5．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答． 【解析】∵， ∴， ∵ ∴阴影部分的面积 ． 故选B． 6．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【解析】根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选A． 7．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（ ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【解析】设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺．故选A． 8．如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，数学家邹元治利用该图验证了勾股定理．则其验证思路可用等式表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大正方形的面积4个全等直角三角形的总面积小正方形面积，列式解答即可； 【解析】图中大正方形的边长为直角三角形两条直角边的和，因此大正方形的面积可表示为， 以斜边为边的小正方形面积是， 4个全等直角三角形的总面积为， ∴， 展开化简后可得， 其余选项：A是错误的边长关系； B是勾股定理的最终结论，不是该图的验证过程等式； C是另一种勾股定理验证图的面积等式，和本题图形不符； D符合题意．故选D． 9．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【解析】 ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是．故选D． 10．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（ ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【解析】∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选C． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．新情境  某中学在大门口的正上方离地米的点处装着一个红外线激光测温仪（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温，一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离为________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理．过点作，则米，在中，根据勾股定理即可得． 【解析】过点作， 由题意知，米，米，米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得，米， 故答案为． 12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，且，若梯子的顶端沿墙下滑到点处，这时梯子的底端也向右移动到点处，则的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求解． 【解析】设， 由题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为． 13．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为________尺．（1丈尺） 【答案】4.55 【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可． 【解析】设折断处离地面的高度为尺， ， 解得， 故答案为． 14．如图，两树相距，一棵树高，另一棵树高．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行了________． 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解析】如图，过点作于点，连接， ∵两树相距，一棵树高，另一棵树高． ∴，， ． 则小鸟至少飞行了．故答案为10． 15．如图，在四边形中，，，，，则的长为________． 【答案】25 【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理求得的长度即可． 【解析】在中，由勾股定理可得， ， 在中，由勾股定理可得， ， ∴．故答案为25． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（ ），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【解析】是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 17．（9分）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【解析】∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 18．（9分）如图，某海军正在进行军事演习，两艘军舰同时从港口O出发，一艘军舰以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘军舰以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘军舰分别到达点，此时要求两军舰沿航线相向而行． （1）求两点之间的距离； （2）若从港口派一艘补给舰在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】（1）400海里 （2）该轮船行驶的最短距离为192海里 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知，，根据“路程速度时间”分别得出，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等面积法求解即可． 【解析】（1）解：两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以32海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以24海里/时的航速沿正北方向航行，10小时后两艘轮船分别到达点 ， ， 答：两点之间的距离为400海里． （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ， ， 答：该轮船行驶的最短距离为192海里． 19．（9分）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． （1）经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ （2）已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】（1）两赛车之间的距离是30米 （2）当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 20．（9分）拖拉机在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一辆拖拉机沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A、B的距离分别为和，，拖拉机周围以内为受噪声影响区域． （1）求的度数． （2）学校C会受拖拉机的噪声影响吗？为什么？ （3）若拖拉机的行驶速度为每分钟，则拖拉机的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？ 【答案】（1） （2）会受噪声影响， 理由如下： 如图，过点作于点． ， ． 拖拉机周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； （3）分钟 【分析】（1）依据勾股定理判定是直角三角形，然后得到度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出拖拉机噪声影响该学校持续的时间． 【解析】（1）解：， ， 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：如图，在上取一点，使，连接， ， 当拖拉机在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在Rt中，， （分钟）． 答：拖拉机产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 21．（10分）如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． （1）游客服务中心应建在距点A多少千米处？ （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【解析】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 22．（10分）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中， ，，，，，连接． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中， ，，， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）元 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度，进而根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）求出总面积乘以100即可求得总花费． 【解析】（1）略 （2）解：∵， ∴， 费用为：（元）； ∴铺满这块空地共需花费3600元． 23．（10分）综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． （1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； （2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 【答案】（1） ，且， 即， 则． （2）该飞镖状图案的面积是24 （3） 【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，得出答案即可． 【解析】（1）略 （2）， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该飞镖状图案的面积是24． （3）将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，， 由图得出， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出，再利用求出是解决问题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $