专题01幂的乘除题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习) 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题01幂的乘除题型突破讲义 重难点 重点内容 1.同底数幂的乘法法则及应用 掌握法则核心：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am.a=an(m、n都是正 整数)。 关键是能识别“同底数幂”，熟练直接运用法则计算，比如23.25=23+5-28。 2.幂的乘方法则及应用 牢记法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(a)n=an(m、n都是正整数)。 重点是理解法则的推导过程（基于乘方的意义和同底数幂的乘法），能区分它和同底 数幂乘法的区别。 3.积的乘方法则及应用 核心规则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(b) m=abn(n是正整数)。要会对含系数、多个因式的积进行乘方运算 4.同底数幂的除法法则及衍生规则 基础法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an=a-n(a0,m、n都是正 整数，且m>n)。 必须掌握两个衍生重要规定： 零指数幂：a0-1(a≠0)； 负整数指数幂：ap=寺(a≠0，p是正整数)。 这.+双 1幂的混合运算：分不清同底数幂乘法（指数加）、幂的乘方（指数乘）的规则，记 不住“先乘方，后乘除”的运算顺序。 2.积的乘方运算：负数因式乘方的符号判断失误；系数忘记单独乘方（如误将(2a2)3 算成2a6)。 3.零指数与负整数指数幂：忽略“底数≠0”的前提条件；负指数转化为分数时符号 出错 4.法则逆用：想不到逆用公式解决求值题（如已知am、an的值，不会转化求am 试卷第1页，共3页 m)。 02 题型梳理 1.同底数幂的乘方运算 2.科学记数法的乘法运算 3幂的乘方运算 4.积的乘方运算 基础 5.同底数幂的除法运算 6.零指数幂的运算规则 过关题 7.负整数指数幂的运算规则 8.科学记数法：表示大数 9.科学记数法：表示小数 能力 10.幂的乘方的逆运算 11.同底数幂乘法的逆运算 提升题 12.积的乘方的逆运算 13.同底数幂除法的逆运算 拓展拔高题 14.幂的混合运算 基础过关题 【题型1.同底数幂的乘法运算】 1.下列各式计算结果正确的是() A.(x2)6=x8 B.-(x3)4=x2 C.-(x4)3=-x2 D.x5x6=x30 2.下列计算正确的是() A.a2+a3=a3 B.a2.a=as C.a2÷a3=a D.(b2a')'=b'a 3.当x+2y-4=0,则4.2-2的值为 4.若a,b是正整数，且满足3+3++3=×3××3，则a与b的关系正确的是() 9个3“相加 9个30相乘 A.a+2=b9 B.a+2=9b C.2a-9=b D.2a=9b 5.(1)若2x+5y-3=0,则432"的值为 (2)若2=a2=4,则a+b的值是 【题型2.科学记数法的乘法运算】 试卷第1页，共3页 6.卫星绕地球运动的速度是7.9×10米/秒，那么卫星绕地球运行3×10秒走过的路程是 米。 7.已知光的速度约为3×10km/s,太阳光射到地球上需要的时间约为5×10s,则地球与太 阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为() A.15×10 B.0.15×109 C.1.5×10 D.1.5×108 8.经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完备的国家授时系统，授时 精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数 量级，处于世界领先水平.已知1秒=1000毫秒，1毫秒=10皮秒，则10秒等于() A.102皮秒 B.103皮秒 C.104皮秒 D.105皮秒 9.用四舍五入法把89900000精确到千万位的近似数为 (用科学记数法表示). 计算：（-8×10)×2×10）= (结果用科学记数法表示) 【题型3.幂的乘方运算】 10.如果(3)}2=3，那么的值为( A.1 B.2 C.3 D.4 11.若3y=4-2x,则9*.27的值是 12.若3=4,3=6，则3÷32y的值是() 1 A.9 B.9 c D.3 13.比较8131,271,91的大小（用>连接) 解答题 14.计算： 1) (2)[(x+)4.x2]÷[(x+2)3÷(x2)]. 【题型4.积的乘方运算】 15.若按一定规律排列的单项式为-2a,42,-8a3,16a4,-32a,,则第n个单项式 为() A.（-2)”a”B.(-2"-a C.2"a" D.2-a" 试卷第1页，共3页 l6.m,n均为整数，若(-a）=-a"成立，则() A.m、n必同为奇数 B.m、n必同为偶数 C.m必为奇数 D.n必为奇数 3 专，则m = 18.计算(-4×103)2×(-2×103)3的结果为 【题型5.同底数幂的除法运算】 19.下列计算正确的是() A.2a-a=2B.m6÷m2=m C.x201+x2011=2x201D.t2.f2=6 20.若2ab2÷a=2a"b",则m,n的值分别为() A.4,0 B.4,2 C.5,2 D.5,0 21.若有理数mn满足2m-n-3=0,则9÷3"的值为 22.(ay'÷(aa）+a2=」 解答题 23.计算： 0-+4-202-（ (2a+-2a2）3-a÷a. 【题型6.零指数幂的运算规则】 24. 1)0 的值是() A.0 B.1 c.4 D.4 25.若a=026=2,c（d日八则() A.a<b<c<d.B.b<a<d<c C.a<d<c<b D.c<a<d<b 26.对于a,b两数定义“&”的一种运算：a&b=(a-b)+(其中等式右边的+和-是通常意 义下的加法与减法)，若(2x-1&(x-2)=1,则x的值为 试卷第1页，共3页 27.若等式(x-1)+2=1成立，则整数x= 【题型7.负整数幂的运算规则】 28.计算(-0.12，正确的是() A.0.01 B.-0.01 C.0.2 D.100 29.在数(-2，（·(-2中，最小的数是() B.（-2) c. D.(-2 30.当x= 时，(x+5)2=1成立. 31.己知：|8a-1+b+22=0,则a0.b01=_ 【题型8.科学记数法：表示大数】 32.据国内A1产品榜统计数据，某款A1搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数 (DAU)迅速突破两千万大关，达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为() A.0.2215×107B.2.215×10% C.22.15×106 D.2.215×10 33.中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355 万吨，将数据3550000用科学记数法表示为 34.生物学指出，在生物链中大约只有10%的能量能够流动到下一个营养级，在 H,→H2→H,→H4→H,→H6这条生物链中(Hn表示第个营养级，n=1,2,,6)，要 使H。获得785千焦的能量，那么需要H,提供的能量约为（用科学记数法表示）()· A.785x103千焦 B.7.85×107千焦 C.78.5×106千焦 D.7.85×108千焦 【题型9.科学记数法：表示小数】 35.世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无 花果，质量只有0.000000076g.将数据0.000000076用科学记数法表示为() A.7.6×109 B.7.6×108 C.7.6×109 D.7.6×108 36.石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度0.35nm,1nm=109 m·用科学记数法表示：0.35m=m 试卷第1页，共3页 37.2025年3月13日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际 上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的 二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域.若一根头发丝的直径约为0.1毫米，若用科 学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近()毫米 A.5×10-7 B.5×106 C.2×107 D.2×106 能力提升题 【题型10.幂的乘方的逆运算】 38.若9x.3y=272,则2x+y= 39.若32m=5,3”=10,则34m-2m= 40.若(-a3bm)3=-a2m-b2,则2m-n的值为() A.-1 B.1 C.-3 D.3 41.已知2”=x,5”=y,20=z,则x,y,z之间满足的等量关系式为() A.x+y=z B.xy=z C.xy2=z D.x'y=z 解答题 42.已知5m=4,5”=6,25P=9. (1)求5m+"的值： (2)求5m-2P的值； (3)写出m,n,p之间的数量关系，并说明理由. 【题型11.同底数幂乘法的逆运算】 43.若3=2,3=3，则3+y等于() A.5 B.3 C.6 D.10 44.己知：33×9×81=32021，则m的值为 45.若3m=4,3”=8,则32m-+2的值为（) A.6 B.9 C.12 D.18 46.一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金，第1 个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n(n≥2且n为整数)个月他们募集 到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为 试卷第1页，共3页 （参考数据：1.2≈2.49,1.26≈2.99,1.27≈3.58). 解答题 47.（1)己知xm=5,x”=7,求x2m+"的值 (2)若a=5,a+y=30,求a+a'的值， (3)若x0=3,x=4,x=5,求2xa+b+c的值. 【题型12.积的乘方的逆运算】 A.-1 B.1 C.0 D.2011 50.已知43*=2021,47=2021，则[(x-11-y)]2=() A.1 B.2021 C.-1 D.22021 解答题 51.计算或解方程 w(j6f【引内 @-1m则4-2 x引x-别x别 【题型13.同底数幂除法的逆运算】 52.已知a2m-"=8,am=8,则a的值是（) A.6 B.7 C.8 D.9 53.己知32m=5,32m=10,则9m-+1的值是() A. C.-2 D.4 54.己知x“=2,x2=-3,则x30-2b=（) 试卷第1页，共3页 A. 2-3 B. D. 拓展拔高题 【题型14.幂的混合运算】 55.下列运算正确的是（). A.3m+n=3mn B.（-mn2=-m2n2 C.m23.m23=m D.m8÷m3=m3 56.已知a-2b-3c=2,则2÷4× 的值是」 57.已知a,b,c为自然数，且满足2×3×6=288，则a+b+c可取的值有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 58.计算： --r-) -8-(2a'+(-2ab 试卷第1页，共3页 专题01 幂的乘除题型突破讲义 一、 重点内容 1.同底数幂的乘法法则及应用 掌握法则核心：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 aman=am+n（m、n 都是正整数）。 关键是能识别 “同底数幂”，熟练直接运用法则计算，比如 2325=23+5=28。 2.幂的乘方法则及应用 牢记法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 (am)n=amn（m、n 都是正整数）。 重点是理解法则的推导过程（基于乘方的意义和同底数幂的乘法），能区分它和同底数幂乘法的区别。 3.积的乘方法则及应用 核心规则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 (ab)n=anbn（n 是正整数）。要会对含系数、多个因式的积进行乘方运算. 4.同底数幂的除法法则及衍生规则 基础法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 am÷an=am−n（a≠0，m、n 都是正整数，且 m>n）。 必须掌握两个衍生重要规定： 零指数幂：a0=1（a≠0）； 负整数指数幂：a−p（a0，p 是正整数）。 二.难点内容 1.幂的混合运算：分不清同底数幂乘法（指数加）、幂的乘方（指数乘）的规则，记不住 “先乘方，后乘除” 的运算顺序。 2.积的乘方运算：负数因式乘方的符号判断失误；系数忘记单独乘方（如误将(2a2)3算成2a6）。 3.零指数与负整数指数幂：忽略 “底数a0” 的前提条件；负指数转化为分数时符号出错 4.法则逆用：想不到逆用公式解决求值题（如已知am、an的值，不会转化求a2m+n）。 基础 过关题 1.同底数幂的乘方运算 2.科学记数法的乘法运算 3.幂的乘方运算 4.积的乘方运算 5.同底数幂的除法运算 6.零指数幂的运算规则 7.负整数指数幂的运算规则 8.科学记数法:表示大数 9.科学记数法:表示小数 能力 提升题 10.幂的乘方的逆运算 11.同底数幂乘法的逆运算 12.积的乘方的逆运算 13.同底数幂除法的逆运算 拓展拔高题 14.幂的混合运算 【题型1.同底数幂的乘法运算】 1．下列各式计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加，是解题的关键． 本题需根据规则逐一计算并判断选项正误． 【详解】解：幂的乘方法则：，同底数幂相乘法则：． A、，不符合题意； B、，且负号在外， ，不符合题意； C、， ，与选项一致，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的运算，解题关键是利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方以及幂的乘方依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．当，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方． 将化为，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：由得， ∴ ． 故答案为：． 4．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（1）若，则的值为 ． （2）若，则的值是 ． 【答案】 8 11或 【分析】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方的正用与逆用，求代数式的值； （1）由得，再把4与32分别表示成2为底的幂，利用幂的乘方及同底数幂的乘法得，再整体代入即可求解； （2）由可求得a与b的值，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， 故答案为：8； （2）∵， ∴， 即， ∴，， 即，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为11或， 故答案为：11或． 【题型2.科学记数法的乘法运算】 6．卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 7．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 8．经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 9．用四舍五入法把精确到千万位的近似数为 用科学记数法表示． 计算： 结果用科学记数法表示 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法；熟知“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数”是解题的关键． 先将原数精确到千万位，再用科学记数法表示为的形式即可求解；先计算，然后用科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：用四舍五入法把精确到千万位的近似数为； ． 故答案为：；． 【题型3.幂的乘方运算】 10．如果，那么的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C 11．若，则的值是 ． 【答案】81 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，将变形为，再将整体代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：81． 12．若，，则的值是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法法则，掌握幂的乘方、同底数幂的除法是解题的关键． 根据指数运算法则，将所求表达式转化为已知值的除法运算． 【详解】解：∵，， ∴， 于是． 故选：A． 13．比较，，的大小（用＞连接） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的应用，有理数大小的比较，熟练运用幂的乘方的运算规则是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 解答题 14．计算： (1)． (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的乘除法和幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先化简负指数幂和零指数幂，然后计算乘除，最后算加法即可； （2）先算括号内幂的乘方，再算括号内同底数幂的乘法和除法，最后算同底数幂的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型4.积的乘方运算】 15．若按一定规律排列的单项式为，，，，，…，则第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，单项式的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意知，可推导一般性规律为：第n个单项式为，然后作答即可． 【详解】解： 第1项：， 第2项：， 第3项：， 第4项：， 第5项：， 第n项为． 故选A． 16．均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，掌握算理是解决问题的关键．根据积的乘方可知，由幂的乘方可知，由乘方的性质知当为奇数时，据此解答即可． 【详解】解：， ∴当n为奇数时，． 故选：D． 17．若，则 ， ． 【答案】 2 4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与积的乘方，掌握相应的运算法则是解题的关键． 通过同底数幂的乘法与积的乘方法则化简左边表达式，比较两边指数，建立方程求解即可． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， ． 解得 ，． 故答案为：，． 18．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法的整理，掌握积的乘方、幂的乘方的运算法则是解题的关键． 应用积的乘方法则和幂的乘方法则分别计算两个部分的幂，再根据有理数乘法法则计算乘积． 【详解】解：计算：根据积的乘方法则得：， 计算：同理，， 计算乘积：， 写成科学计数法：， 故答案为： ． 【题型5.同底数幂的除法运算】 19．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂乘除法，根据合并同类项法则，同底数幂相乘法则，同底数幂相除法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 故选：C． 20．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 21．若有理数满足，则的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方，掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，然后将转化成，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：27． 22． ． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 解答题 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）本题可根据乘方的意义、零指数幂的运算法则以及负整数指数幂的运算法则分别计算各项，再进行加减运算． （2）根据幂的乘方、同底数幂的乘除法法则分别化简各项，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算以及整式的运算，涉及乘方的意义、零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的乘除法等知识点．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【题型6.零指数幂的运算规则】 24．的值是（  ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了零指数幂，底数不为0的零指数幂的结果为1，据此可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 25．若，则（　　） A．． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的大小比较．分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ，， ∴； 故选：B． 26．对于a，b两数定义“&”的一种运算：（其中等式右边的和是通常意义下的加法与减法），若，则x的值为 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了新定义运算，幂的乘方，负整数指数幂，零指数幂，根据新定义列出算式是解题的关键． 根据新定义运算可得，分类讨论并列出方程，解方程即可． 【详解】根据定义， ． 化简得． 因为，分以下三种情况讨论： 情况一：底数为时 当，即时，指数 ， 根据的任何次幂都为， ，满足等式． 情况二：底数为时 当，即时，指数 ， ，不满足等式，舍去． 情况三：指数为时 当，即时，底数 ，根据非零数的次幂为， ，满足等式． 综上，x的值为0或1． 27．若等式成立，则整数 ． 【答案】或2或0 【分析】本题考查幂的运算．考虑等式 成立的条件，分三种情况讨论：指数为零且底数不为零、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：要使 成立，需考虑以下情况： 1. 当指数时，即，此时底数，故，成立． 2. 当底数时，即，此时指数，故，成立． 3. 当底数时，即，此时指数为偶数，故，成立． 其他情况均不满足等式，故整数的值为． 故答案为：或2或0． 【题型7.负整数幂的运算规则】 28．计算，正确的是（    ） A． B． C． D．100 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，利用负指数幂的定义，将原式转化为其倒数的正指数幂形式，再计算平方值即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 29．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，计算各数的值并比较大小即可． 【详解】∵ ． ． ． ． 又 ∴ 最小的是． 故选： C． 30．当 时，成立． 【答案】或/或 【分析】本题可根据负整数指数幂的运算法则，将转化为常规方程，进而求解的值．本题主要考查了负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的运算法则“（，为正整数）”是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 当时，； 当时，． 故答案为：或． 31．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，幂的运算，涉及负整数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识点． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零则每项均为零，由此求出a和b的值，再代入，根据幂的相关运算法则计算． 【详解】解：由， 因为， 所以，， 解得， 则 ． 故答案为：． 【题型8.科学记数法:表示大数】 32．据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 33．中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将3550000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 34．生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【详解】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 【题型9.科学记数法:表示小数】 35．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 36．石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 【答案】 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 37．年月日，中国科学院物理研究所的科研团队成功为金属“重塑金身”，在国际上首次实现大面积二维金属材料制备，创造出单原子层超薄金属，其厚度仅为头发丝直径的二十万分之一，有望开创二维金属研究新领域．若一根头发丝的直径约为毫米，若用科学记数法表示，该超薄金属的厚度最接近（   ）毫米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示一个较小的数、有理数的除法，已知头发丝直径为毫米，超薄金属厚度为其二十万分之一，首先通过有理数的除法计算出超薄金属的厚度，再用科学记数法表示． 【详解】解：头发丝直径为毫米， 超薄金属厚度为：． 超薄金属的厚度用科学记数法表示为毫米． 故选：A． 【题型10.幂的乘方的逆运算】 38．若，则 【答案】6 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握各运算法则是解题关键．先由已知，结合幂的乘方的逆运算得到，再根据同底数幂乘法的逆用法则计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 39．若，则 ． 【答案】/0.75 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，解题的关键是掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘除法的逆应用，幂的乘方的逆应用对原式进行变形，然后代数求值即可． 【详解】解：， 将代入上式得， 原式， 故答案为：． 40．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 41．已知，，，则x，y，z之间满足的等量关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算，关键是将分解质因数后利用幂的乘方和积的乘方进行变形． 利用指数运算法则，将 分解为 ，再结合已知条件代入． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 且，， ∴． 故选：D． 解答题 42．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【题型11.同底数幂乘法的逆运算】 43．若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 44．已知：，则m的值为 ． 【答案】1007 【分析】这道题考查的是指数的运算性质．需要将不同底数的幂转换为相同底数的幂，通过等式两边的指数相等来求解未知数 的值．本题主要考查了指数的运算性质，熟练掌握指数运算性质和等式两边指数相等的解题方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 解得， 故答案为： ． 45．若，，则的值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法的逆运算以及幂的乘方逆运算，解题的关键是熟练掌握相关计算法则，根据同底数幂的乘法和除法逆运算、幂的乘方逆运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 46．一批志愿者组成了一个爱心团队，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第1个月他们募集到资金1万元，随着影响力的扩大，第n（且n为整数）个月他们募集到的资金比上个月增加20%，则当某月募集的资金首次突破10万元时，相应的n的值为 （参考数据：，，）． 【答案】14 【分析】根据募集资金每月增长，第个月资金为万元，需解不等式，利用参考数据计算幂次，确定最小整数． 本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第个月募集到的资金，再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：第1个月募集资金为1万元，每月增长，则第个月募集资金为万元． 由题意得． 参考数据：，，． 计算得， ， 故，． 故答案为：14． .解答题 47．（1）已知，，求的值． （2）若，，求的值． （3）若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法运算法则变形，然后代入运算即可； （2）先逆用同底数幂的乘法运算法则求出，然后代入运算即可； （3）逆用同底数幂的乘法运算法则进行代值求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，则， ∴； （3）∵，，， ∴． 【题型12.积的乘方的逆运算】 48．计算（   ） A． B．1 C．0 D．2011 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，逆用积的乘方，即进行计算即可． 【详解】解∶ ． 故选：A． 49．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将原式化为，再逆用积的乘方计算即可； 【详解】解：原式 ． 50．已知，则（   ） A．1 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是幂的乘方逆运算、积的乘方的逆运算的应用及代数式求值，先得出，进而求出，再整体法代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 解答题 51．计算或解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，幂的乘方的逆用，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）逆用幂的乘方简便计算即可； （3）先去中括号，再移项合并化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 解得． 【题型13.同底数幂除法的逆运算】 52．已知，，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，根据同底数幂的除法，幂的乘方的法则进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 53．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方和同底数幂的乘除法逆运算等知识； 先根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘除法逆运算法则将原式变形为，再代入已知数据计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：A. 54．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．对幂的乘方和同底数幂的除法的公式进行逆应用解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 【题型14.幂的混合运算】 55．下列运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 56．已知，则的值是 ． 【答案】4 【分析】利用幂的运算将转化为：，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了幂的运算，掌握幂的混合运算法则是解题的关键． 57．已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 【详解】解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 58．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，涉及了零指数幂、负指数幂、单项式的乘除法等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． （1）按顺序先分别进行乘方运算、零次幂运算、负指数幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）按顺序进行单项式乘除法运算、积的乘方运算，然后再进行整式的加减法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： . ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $