精品解析：云南省曲靖市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

曲靖市2025-2026学年秋季学期期末考试 八年级数学试题卷 注意事项： 1．全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，交回答题卡． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 2. 小明妈妈购买的家用一次性医用口罩，其过滤层的厚度约为米，这种厚度的过滤层能有效阻挡空气中的细小颗粒物，保障日常防护效果．请将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为负整数．对于，需将小数点向右移动5位得到，所以，故． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选B． 3. 以下列各组数为长度的线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，5， C. 3，4，6 D. 5，6， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件，熟练掌握“三角形中，任意两边之和大于第三边”是解题的关键．用两条较短的线段相加，如果和大于最长那条就能够组成三角形，据此即可判断． 【详解】解：A.，不能组成三角形； B.，不能组成三角形； C.，能组成三角形； D.，不能组成三角形； 故选：C． 4. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，因此需判断选项是否从左到右变形为乘积形式． 【详解】解：根据因式分解的定义是将多项式转化为整式的乘积， A．，左边为乘积，右边为多项式，是整式乘法，不是因式分解； B．，右边为平方和，不是乘积形式； C．，右边为乘积与常数的差，不是纯乘积； D．，右边为两整式的乘积，符合因式分解定义； 故选D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方法则及完全平方公式逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 6. 将一副三角板按如图所示摆放，使，则的度数为（ ） A. 105° B. 110° C. 115° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查垂线的定义，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据垂直的定义得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 7. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三条中线的交点， 故选：A． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则以及积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将化为，然后利用积的乘方逆运算进行计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 9. 湖边一根芦苇被风吹断，折断处距水面，此时芦苇折断部分与水面成角，则芦苇顶部原来距水面的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了所对的直角边为斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据所对的直角边为斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵折断处距水面，此时芦苇折断部分与水面成角， ∴折断处距芦苇顶部距离为， ∴芦苇顶部原来距水面的长度为， 故选：B． 10. 小明在做一个角等于已知角时，做法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线． 由此可得，其依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握不同三角形全等的判定条件是解决本题的关键． 由基本作图得到，，根据“”可证明，然后根据全等三角形的性质得到，即． 【详解】解：由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选D． 11. 如图，垂直平分，若，，则的周长是（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得出，由此可得出结论． 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴， ∴的周长 ． 故选：D． 12. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 13. 杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法的应用，找出本题的数字规律是解题的关键． 根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和，据此计算求值． 【详解】解：， 的系数是， 故选：D． 14. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键，将给定方程展开并变形，得到的值，然后代入代数式求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. ∴. 故选：C 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的性质定理及点P的坐标，过点P分别作轴、轴，垂足分别为D、E，证明即可． 【详解】解：如图所示，过点P分别作轴、轴，垂足分别为D、E， 点在第一象限的角平分线上， ， , ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ,， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 若分式有意义，则实数取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 解得， 故答案为：． 17. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据指数运算法则，系数相除，同底数幂相除，指数相减． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 19. 如图，在等腰中，，于点，于点，点为上的动点，若，当的值最小时，的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质． 连接，根据等腰三角形三线合一得到，，垂直平分，即，可知点P在上时，的值最小时，设此时点P为，则当的值最小时，，连接，得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，，于点， ∴，，垂直平分， ∴， 即点P在上时，的值最小时，设此时点P为， 则当的值最小时，， 连接， ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握乘方运算、二次根式、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质是解题的关键．直接利用乘方、二次根式、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质和绝对值的性质分别计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分并利用平方差公式化简所求式子，再将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 22. 如图，已知网格上最小的正方形的边长为1，位置如图所示． （1）作关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）延长，交于点，请直接写出点的坐标以及，所在直线的位置关系． 【答案】（1） 如图， （2） 如图， ，与所在直线的位置关系为垂直 【解析】 【分析】本题考查的是作图-轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，两条直线的位置关系． （1）先确定点的位置，再连线可得，然后写出点的坐标即可； （2）根据题意画出图形，然后结合图形解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴与所在直线的位置关系为垂直． 23. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明： 即 在与中 ． ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，由利用线段和推出，再利用易证得，即可得到答案． 【详解】略 24. 曲靖非物质文化遗产“陆良棕草编织”传承人制作了一批棕编手提篮文创产品，在本地非遗文创店销售．已知某商场准备购进A，B两种款式的棕编手提篮，每个A种棕编手提篮进价是B种棕编手提篮进价的1.2倍，用1200元购进A种棕编手提篮的个数比用同样多的钱购进B种棕编手提篮个数少20个．求A，B两种棕编手提篮每个进价各是多少元？ 【答案】，两种棕编手提篮每个进价各是12元和10元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设种棕编手提篮的进价为元，则每个A种棕编手提篮进价是元，根据用1200元购进A种棕编手提篮的个数比用同样多的钱购进B种棕编手提篮个数少20个，列出方程，解方程即可，注意验根． 【详解】解：设种棕编手提篮的进价为元， ， 解得． 经检验：是原分式方程的解且符合题意， 此时的进价为（元）， 答：，两种棕编手提篮每个进价各是12元和10元． 25. 如图，在中，，，过点作于点，延长至点，使得． （1）若，试判断的形状，并说明理由； （2）求证：． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， 又， ， 又， 是等边三角形； （2） 证明：过点作，垂足为，则 又 在与中 ． 又， 是的中点 ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，即，再根据得到，结合即可证明是等边三角形； （2）过点作，垂足为，则，证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知与为伴侣数，，求的值； （2）已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据伴侣数的定义和完全平方公式解答即可求解； （）根据伴侣数的定义和完全平方公式分别求出的值，进而求出的值，再与比较即可求解； 本题考查了新定义运算，完全平方公式的应用，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：与为伴侣数， ， ， ， ∵， ； 【小问2详解】 解：与为伴侣数， ， ， ， ， 又， ， 即， 又， ， 即， ∴ ， ． 27. 阅读并完成下面的问题． 专题学习：等积法与角平分线综合运用 【初步探究】利用三角形面积相等求解的方法称为等积法，等积法是解决几何问题的常用方法之一． （1）如图1所示，在中，，，的高与的比是多少？ 【拓广探索】在解题时，多次使用等积法，可以起到意想不到的效果． （2）如图2，在中，平分，求证：； 【迁移应用】请利用（2）的结论，解答如下题目． （3）如图3，过等边的顶点作射线，在线段上取一点，在射线上取一点，使得，连接、、，且交于点．若，，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：过点分别作，，垂足分别为，，过点作，垂足为， ∵， ， ， ∵， ， ， 平分，且，， ， ，即． （3）． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）利用等积法求解即可； （2）过点分别作，，过点作，在中，利用等积法得出，在中，利用等积法得出，根据角平分线的性质得出，即可得出结论； （3）根据平行线的性质及等边三角形的性质得出，利用证明，得出，，进而证明是等边三角形，得出，根据平分，结合（2）中结论，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ， ， （2）略 （3）解：是等边三角形， ，， ∵， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ∴平分， 在中，由的结论可得， ，，， ， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖市2025-2026学年秋季学期期末考试 八年级数学试题卷 注意事项： 1．全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，交回答题卡． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明妈妈购买的家用一次性医用口罩，其过滤层的厚度约为米，这种厚度的过滤层能有效阻挡空气中的细小颗粒物，保障日常防护效果．请将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为长度的线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，5， C. 3，4，6 D. 5，6， 4. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示摆放，使，则的度数为（ ） A. 105° B. 110° C. 115° D. 120° 7. 用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，则这个支点一定是三角形的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高的交点 D. 三条角平分线的交点 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 湖边一根芦苇被风吹断，折断处距水面，此时芦苇折断部分与水面成角，则芦苇顶部原来距水面的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 小明在做一个角等于已知角时，做法如下： （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，； （2）作一条射线，以点为圆心，为半径作弧，交于点； （3）以点为圆心，为半径作弧，与上一步作的弧相交于点； （4）过点作射线． 由此可得，其依据是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，垂直平分，若，，则的周长是（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 12. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”（如右图），因此我们把这个图中的三角形叫作“杨辉三角”或“贾宪三角”．杨辉三角解释了二项式的乘方规律，其两腰上都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如，此三角形中第六行的6个数1，5，，，5，1，恰好对应着展开式中的系数，则的展开式中的系数是（ ） A. 7 B. C. D. 14. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（本题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 若分式有意义，则实数取值范围是_____． 17. 计算：_____． 18. 因式分解：2a2﹣8=_____． 19. 如图，在等腰中，，于点，于点，点为上的动点，若，当的值最小时，的度数为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算： 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，已知网格上最小的正方形的边长为1，位置如图所示． （1）作关于轴的对称图形，并写出点的坐标； （2）延长，交于点，请直接写出点的坐标以及，所在直线的位置关系． 23. 如图，已知，，，求证：． 24. 曲靖非物质文化遗产“陆良棕草编织”传承人制作了一批棕编手提篮文创产品，在本地非遗文创店销售．已知某商场准备购进A，B两种款式的棕编手提篮，每个A种棕编手提篮进价是B种棕编手提篮进价的1.2倍，用1200元购进A种棕编手提篮的个数比用同样多的钱购进B种棕编手提篮个数少20个．求A，B两种棕编手提篮每个进价各是多少元？ 25. 如图，在中，，，过点作于点，延长至点，使得． （1）若，试判断的形状，并说明理由； （2）求证：． 26. 我们规定：若两个非零实数与满足，则称这两个数为“伴侣数”，并定义（为正整数）． 例：已知与为伴侣数，且，求的值． 解：与为伴侣数 即 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知与为伴侣数，，求的值； （2）已知与为伴侣数，，试比较与的大小． 27. 阅读并完成下面的问题． 专题学习：等积法与角平分线综合运用 【初步探究】利用三角形面积相等求解的方法称为等积法，等积法是解决几何问题的常用方法之一． （1）如图1所示，在中，，，的高与的比是多少？ 【拓广探索】在解题时，多次使用等积法，可以起到意想不到的效果． （2）如图2，在中，平分，求证：； 【迁移应用】请利用（2）的结论，解答如下题目． （3）如图3，过等边的顶点作射线，在线段上取一点，在射线上取一点，使得，连接、、，且交于点．若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $