17.1等腰三角形同步练习题 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

2025-2026学年冀教版八年级数学上册《17.1等腰三角形》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．等腰三角形一个角为，则顶角的度数可能为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是，，则的周长为（　 ） A．9 B．15 C．21 D．24 4．如图，在中，，分别垂直平分，垂足分别为E、G，且，则下列结论不正确的是（） A． B． C．的周长为40 D．的周长为20 5．“三等分角”大约是在公元前五世纪提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7．如图，和都是等边三角形且点A，C，E在一条直线上，相交于点O，与相交于点F，与相交于点G，连接，则①；②；③；④平分；⑤，正确的是（） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①③④ 二、填空题 8．已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为 ． 9．如图，，，，点在四边形的边上，若是等腰三角形，则的度数是 ． 10．翻折，常常能为问题解决提供思路和方法．如图，在中，，，垂足为，若，，则 ． 11．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 度． 12．如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 ． 13．如图所示，点，分别为等边的边，上的点，连接，于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，若，，则的长为 ． 14．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④H为中点；⑤．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 15．如图，在中，，．请将这个三角形分成两个等腰三角形． 16．如图，在中，，． (1)尺规作图：在上找一点P，使得点P到点B，C的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求的度数． 17．（1）如图1，在中，，，平分交于点E，交延长线于点D．求证：． （2）如图2，海岸边上一观测点B与码头C相距3.6海里近海域内一灯塔D与观测点B相距1.2海里，且．某科考船从码头C出发，沿方向（），以10海里/小时的速度行驶到点A处时，测得，求科考船从码头C行至A处所用的时间． 18．如图1，已知是等边三角形，点在内部，连接，，在的右侧构造等边三角形，连接． (1)求证：； (2)如图2，当，，三点共线时，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取中点，连接，，试判断与之间的数量关系并证明． 19．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1．在和中．，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为，请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数． 20．【问题初探】 （）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，且，点在的延长线上，连接，．求证：． ①小明的解题思路：如图，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，其中，，请直接写出的面积． 【类比分析】 （）如图，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，请直接写出的面积． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 等腰三角形中，已知角可能为顶角或底角，分两种情况讨论顶角度数即可． 【详解】∵等腰三角形有两个角相等， ∴若为顶角，则顶角为； 若为底角，则另一底角也为，顶角为：； ∴顶角为或， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又 ， ， ， ， ， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形周长的计算，通过证明等腰三角形，将的周长转化为即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查三角形的内角和，垂直平分线的性质，等边对等角，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的内角和，得到，求出，，推导出，得到，则，， 从已知条件无法求出的周长，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，故A正确； ∴， ∵分别垂直平分，垂足分别为E、G， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴，故D正确， 从已知条件无法求出的周长，故C错误． 故选C． 5．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用等腰三角形的性质是本题关键． 根据等腰三角形的性质设，由性质得，，由外角性质可得，即可求解． 【详解】解：设， ， ． ． ， ． ． ． ． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，利用“”可证即可判定①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，即可判定②；利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，进而可得，即得，又由全等三角形的性质得，即得到，由三角形的边角关系可得，即得到，即可判定③④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵，， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③错误； ④由③知，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故选：． 7．C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识， 证明，可判断①，由得到 ，即可得到，可判断②，证明，得到，因为，可判断③，过点分别作于点两点，证明，得到，可判断④，证明为等边三角形，进一步得到，可判断⑤，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴ ，故①符合题意； 又∵， ∴，故②符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不符合题意； 过点分别作于点两点，如图： ，， ， 在和中， ， ， ， 又∵在的内部， ∴平分，故④不符合题意； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①②⑤， 故选：C． 8． 2 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，两条腰相等，利用周长公式求出底边长，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为4， ∴两腰之和为：， ∴底边长为：， ∵， ∴此时能够构成三角形， 故答案为：2． 9．或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是关键，注意分类讨论；分三种情况考虑，利用等腰三角形的性质、三角形内角和、平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，当时，此时点E在边上时， ∴； 当时，此时 点E与点C重合时， ∴， 当重合时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 10．3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．把沿着折叠得到，根据折叠的性质得到，，，，再证明进而可得出答案． 【详解】解：把沿着折叠得到， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 11．45 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等三角形是解题的关键． 利用网格得出，，再利用全等三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可得，，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：45． 12．4 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又 ，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 13． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，过作的平行线交于点，所以，又是等边三角形，得，，，然后证明，故有，因为，是等边三角形，所以，，设，则，，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作的平行线交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 14．①②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质及多边形的内角和定理的应用．设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；通过角度计算得出，证明，可得③符合题意；通过角度计算得出从而证明出H不是中点，可得④不符合题意；过G作交于I，截取，连接，而，证明，可得⑤符合题意，从而可得出答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵为等边三角形， 要使H为中点， 则需垂直平分，即， 而，， ∴， ∴H不是的中点，故④错误； 过G作交于I，截取，连接， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 15．见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质．利用等腰三角形的性质和三角形内角和作图． 【详解】解：如图，、和、为所作． 16．(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了尺规作图作线段垂直平分线，等边对等角，三角形外角的性质． （1）根据题意可知，作线段的垂直平分线，交于点P即可； （2）根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）解：如图： ∵， ∴， ∴． 17．（1）证明见解析；（2）0.6小时 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）延长，至点F，证明，推出，再证明，得到，即可得出结论； （2）延长交至点E，同（1）法可得，得到，根据三角形的外角的性质，结合已知条件推出，进而得到，进而求出的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，延长，至点F， 平分，， ， 又 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， 又 ，， ， ， ； （2）解：如图，延长交至点E， 同（1）可证， ， ， ， ， ， ． ∴科考船从码头C行至A处所用的时间为（小时）． 答：科考船从码头C行至A处所用的时间为0.6小时． 18．(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，找出等量条件证明三角形全等以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，求证即可； （2）由（1）中全等，得出，结合角度计算即可； （3）首先根据中点的性质，准确添加辅助线，属于倍长中线模型，即可得，结合前两问中的等量关系，证明出，故可得，即可证出． 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴，，且， ∵，， ∴，结合，， ∴， ∴． （2）解：若，，三点共线， 则 由（1）中， ∴， ∵，， ∴． （3）解，延长至点，使得，连接，如下图所示： ∵点为中点， ∴，又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）中， ∴，结合，， ∴， ∴，∵， ∴． 19．(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得到，再由三角形内角和定理可得； （2）先由等边三角形的性质得到，再证明，并求出；进一步证明，得到，则． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， 又， ； （2）解：和均为等边三角形， ， ，即， ， ， 在和中， ， ， ， ． 20．（）证明见解析； （）的面积为； （）的面积为． 【分析】（）选择小明或小涛的解题思路，按照其思路逐步推理即可得证； （）过点作于点，则，证明可得，，再证明 可得，，根据线段的和差求出后即可求解； （）过作于点，则，证明得到，再证明可得，，进而得到即可求解． 【详解】（）小明的解题思路证明如下： 证：此时， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ； 小涛同学的解题思路证明如下： 证：在线段上截取， 则是等腰直角三角形， 得，， ， ， 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （）解：如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ． （）如下图，过作于点，则， ， 。 ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $