精品解析：安徽省宣城市第二中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是 A. B. C. D. 2. 从数字1，2，3，4中随机抽取1个，下列事件中与事件“抽到2的倍数”对立的是（ ） A. 抽到奇数 B. 抽到偶数 C. 抽到 2 D. 抽到 1 3. 在1与25之间插入4个数，使这6个数成等差数列，则该数列的公差为（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 4. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则（ ） A. 1或3 B. 3 C. 1或9 D. 9 5. 记等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不重合的直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列不是常数列，且有无穷多项，其前项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若为等差数列，且恒成立，则为递增数列 B. 若为递减的等差数列，且，则在时取得最大值 C. 若为等比数列，则恒成立 D. 若为正项等比数列，且，，则公比 11. 已知抛物线 的焦点为，点，和是上互不重合的三个点， 且直线和的斜率互为相反数，则（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 存在点，满足 C. 直线的斜率为定值 D. 点总在以为直径的圆外 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人独立地做同一道题，若甲、乙做对该题的概率分别为 ，则两人中只有甲做对该题的概率为_____. 13. 过点作圆的切线，切点为，则的最大值为_____. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上在第一象限内的一点，过原点作的平行线，分别与 的平分线交于点 ，若，则 _____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. （1）若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； （2）若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求. 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 . （1）证明:平面 平面 ； （2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 . （1）求 的方程. （2）过点 且斜率为 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点. ( i ) 设 的中点为 ，证明:直线 与 的斜率之积为定值; (ii)求 面积的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，点，为直线上的动点，过点作的垂线， 该垂线与线段的中垂线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若正项数列满足点在曲线上， （i）求数列的前项和； （ii）证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化成直线方程的斜截式，得到直线的斜率. 【详解】由题得4y=-2x-3,所以， 所以直线的斜率为. 故选:B 【点睛】本题主要考查直线方程的斜截式方程和直线的斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2. 从数字1，2，3，4中随机抽取1个，下列事件中与事件“抽到2的倍数”对立的是（ ） A. 抽到奇数 B. 抽到偶数 C. 抽到 2 D. 抽到 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断即可. 【详解】由题可知， “抽到2的倍数” 即抽到2或4， 其对立事件是抽到1或3，即抽到奇数. 故选：A 3. 在1与25之间插入4个数，使这6个数成等差数列，则该数列的公差为（ ） A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式直接计算求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为，则，解得. 故选：B 4. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则（ ） A. 1或3 B. 3 C. 1或9 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的夹角列方程，由此求得的值. 【详解】设双曲线的一条渐近线与轴正半轴的夹角为, 则其斜率. 由于两条渐近线关于轴对称,它们的夹角为或. 由题意,夹角为,故或. 当时,,则,解得. 当时,,则,解得. 综上,或9. 故选：C 5. 记等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质列式求解. 【详解】在等比数列中，由，得，则，所以. 故选：B 6. 已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 故选：B 7. 一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【详解】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 . 反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 8. 若椭圆上存在点，使得点到椭圆两个焦点的距离之比为，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合条件先表示出点到两焦点的距离，再结合到焦点的距离与，的关系可求解出的范围. 【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离分别为 ， 则，解得， 因为点到椭圆焦点的距离范围是， 则，即，得， 所以，又，故 ， 所以该椭圆的离心率的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知不重合的直线的方向向量分别是，平面的法向量分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项判断得解. 【详解】A，由，得，，而直线不重合，则，A正确； B，由，得，不垂直， 与 不平行，B错误； C，由，得不共线， 与 不垂直，C错误； D，由，得，，则，D正确. 故选：AD 10. 已知数列不是常数列，且有无穷多项，其前项和为，下列结论正确的是（ ） A. 若为等差数列，且恒成立，则为递增数列 B. 若为递减的等差数列，且，则在时取得最大值 C. 若为等比数列，则恒成立 D. 若为正项等比数列，且，，则公比 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A根据等差数列的前项和公式可得即可得解，对于B利用等差数列的性质求解，对于C利用等比数列的通项公式和前项和公式代入即可得解，对于D当公比可得与已知矛盾即可判断. 【详解】A：因为等差数列不是常数列，且恒成立， 所以恒成立，则， 解得，则为递增数列，A说法正确； B：因为为递减的等差数列，所以，又，故，， 所以在时取得最大值，B说法正确； C：因为为等比数列，且公比，所以，， 因为，所以恒成立，所以恒成立，C说法正确； D：当时，由，可得，， 所以，与已知条件矛盾，所以，D说法错误； 故选：ABC 11. 已知抛物线 的焦点为，点，和是上互不重合的三个点， 且直线和的斜率互为相反数，则（ ） A. 以为直径的圆与轴相切 B. 存在点，满足 C. 直线的斜率为定值 D. 点总在以为直径的圆外 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线过点可得抛物线方程为，设.由的中点到轴的距离为2可判断A；若得，设直线，直线与抛物线联立方程，由可判断B；由两点间斜率公式计算可判断C；结合C，设，直线与抛物线联立方程组，由得，根据数量积坐标运算可得，可判断D. 【详解】由过点，可知，所以，故抛物线的方程为，点. 设 . 对于 A，因为，所以以为直径的圆的半径为 2， 因为的中点到轴的距离为2， 所以以为直径的圆与轴相切，故A正确; 对于B，若，则， 又，不妨取，则直线， 由， 得， 此时直线与相切，不符合题意，故B错误; 对于 C，因为互不重合， 所以，由，得，整理得， 所以，所以，故C正确; 对于 D，因为的斜率恒为 ， 设，由题意，该直线不经过点，所以 ， 由，得， 则，得，且， 则 ， 因为，所以，即为锐角， 所以点总在以为直径的圆外，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人独立地做同一道题，若甲、乙做对该题的概率分别为 ，则两人中只有甲做对该题的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算. 【详解】设甲、乙做对该题分别为事件A、B，则有，， 两人中只有甲做对该题为事件C，则 . 故答案为： 13. 过点作圆的切线，切点为，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的轨迹为一条直线，再利用直角三角形中正弦函数的定义，将角的最大值转化为线段长度的最小值，最后通过点到直线的距离公式求出最小值，从而得到角的最大值. 【详解】易知点在直线上， 如图，在中，， 要使最大，只需最小， 的最小值即为点到的距离， 则，. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为为上在第一象限内的一点，过原点作的平行线，分别与 的平分线交于点 ，若，则 _____. 【答案】40 【解析】 【分析】由题意可得，由是 的平分线结合可得，再根据双曲线定义计算即可求解. 【详解】由题意可得， 如图所示， ，为的中点， 为的中位线，则， ，在点两侧， 是的平分线， ，，， ， ，，. 故答案为：40 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. （1）若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； （2）若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用古典概型的概率公式，直接根据“红球数量/总球数=给定概率”建立方程，即可求解未知的红球个数. （2）利用不放回抽样和等可能样本点的计数原理，通过列出所有可能的两次抽球结果并统计第二次抽到绿球的样本数，根据古典概型的概率公式进行计算. 【小问1详解】 从盒子中随机抽取1个球， 抽到红球的概率为，解得. 【小问2详解】 设3个绿球分别为，个红球分别为， 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球， 不同情况有， 共20种， 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， 故第二次抽到的球是绿球的概率为. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）求； （2）证明：是等比数列； （3）求. 【答案】（1），； （2） 因为，， 当时，则，， 两式相减得，即，整理可得， 且，所以是以首项为3，公比为3的等比数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题中递推公式令，运算求解即可； （2）根据与的关系可得，整理可得，结合等比数列的定义分析证明； （3）根据等比数列通项公式可得，利用等差、等比数列求和公式结合分组求和法运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，则，可得； 当时，则，即，可得； 综上所述：，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知 ，即， 可得， 所以 . 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 . （1）证明:平面 平面 ； （2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面与平面垂直的判定定理证明即可； （2）先证明，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，用向量法求即可求解. 【小问1详解】 因为 平面 平面 ，所以 ， 又 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以平面 平面 . 【小问2详解】 在 中， ， 所以 . 又 ，所以 . 在 中，由余弦定理可得 ， 则 ，所以 ，从而 . 以 为坐标原点，直线 分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，所以 . 设平面 的法向量为 ， 则 即 取 . 易知平面 的一个法向量为 ， 所以 ， 故平面 与平面 夹角的余弦值为 . 18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 . （1）求 的方程. （2）过点 且斜率为 的直线 与 交于 两点， 为坐标原点. ( i ) 设 的中点为 ，证明:直线 与 的斜率之积为定值; (ii)求 面积的最大值. 【答案】（1） （2）( i ) 由题可知 的方程为 . 由 消去 可得 ， 由 ，可得 . 设 ，则 . 因为 为 的中点，所以 ， 显然，故 ，所以 ，为定值. (ii) 【解析】 【分析】（1）由题意直接求得的值，从而求得椭圆的方程； （2）(i)写出直线方程，与椭圆方程进行联立，利用韦达定理表求出直线 与 的斜率，计算可得其为定值；(ii) 利用韦达定理，将 面积表示成的函数，根据基本不等式可得其最大值. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为 . 由题可知 所以 的方程为 . 【小问2详解】 (i) 略 (ii) 因为直线 与 轴的交点坐标为 ， 所以 ， 令 ，则 ， 所以. 当且仅当 ，即 ，即 时等号成立， 所以 面积的最大值为 . 19. 在平面直角坐标系中，点，为直线上的动点，过点作的垂线， 该垂线与线段的中垂线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若正项数列满足点在曲线上， （i）求数列的前项和； （ii）证明:. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知，结合抛物线的定义即可得曲线的轨迹方程； （2）（i）根据题意可得，，利用裂项相消法求；（ii）利用放缩法可得，利用裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 因为点在线段的中垂线上，则， 根据抛物线的定义，可知点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）因为点在曲线上， 则，可得， 所以； （ii）因为数列是正项数列，且，则， 先证左边：因为， 所以； 再证右边：因为， 所以； 综上所述， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $