精品解析：云南省昆明市盘龙区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025-2026学年上学期 八年级数学期末试题 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平分，于点C，于点D，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 我国制造强国建设取得新进展，科技创新与产业创新深度融合，0.0000028厘米光刻机现已完成产线验证，数据0.0000028用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，作的边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，6，10 D. 2，3，7 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的内角和等于 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D. 日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 11. 小芸为体育节活动设计了班级加油彩旗，如图所示，，，点A在上，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 12. 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速沿江顺流航行50千米所用的时间，是以最大航速逆流航行60千米所用时间的一半．设江水的流速为x千米/时．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 下列命题，逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形的三边都相等 C. 若，则 D. 全等三角形的对应角相等 14. 若，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 8 D. 6 15. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（ ） A. 重心，即三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高所在直线的交点 D. 内部任意一点 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 计算∶______． 17. 分解因式：=____． 18. 分式的值为0．则x的值为_____． 19. 数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算∶ （1）； （2）． 21. 解方程：． 22. 如图，交于点E，、．求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； （2）在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 24. 如图，在中，，D为中点，连接，垂直平分交于点E，交于点O，交于点F，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 25. 科技赋能乡村振兴，智能装备助力高效采收．某智慧农场近期投放使用了一批新型采收机器人用于采收某种农作物，实践中发现其优势如下： 单位采收量更大 每台新型机器人比每台旧型机器人每天多采收40千克 工作效率更高 每台新型机器人采收1200千克所用时间与每台旧型机器人采收880千克所用时间相等 求每台新型机器人每天的采收量． 26. 一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． （1）计算：； （2）按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 27. 【模型初探】 （1）如图1，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【正向迁移】 （2）如图2，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，分别以和为边作等腰直角三角形．在中，，；在中，，；连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期 八年级数学期末试题 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐项分析判断如下： A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的判断，根据形如，且中含有字母的式子叫做分式，进行判断即可. 【详解】解：A、是分式，符合题意； B、是整式，不符合题意； C、分母中不含字母，是整式，不符合题意； D、是常数，不是字母，式子为整式，不符合题意； 故选A 3. 如图，平分，于点C，于点D，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选：B． 4. 我国制造强国建设取得新进展，科技创新与产业创新深度融合，0.0000028厘米光刻机现已完成产线验证，数据0.0000028用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行作答即可. 【详解】解：； 故选C. 5. 如图，作的边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高线，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点C出发，引向对边的垂线段，据此，符合题意的是； 故选D． 6. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，6，10 D. 2，3，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，判断时只需验证两个较小边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成三角形，故本选项符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选C． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质作图即可求解． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：A． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的内角和等于 B. 有两个角互余的三角形是直角三角形 C. 若等腰三角形一边长为2，一边长为5，则它的周长为9或12 D. 日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的定义，三角形的三边关系以及三角形的稳定性，根据相关知识点，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、三角形的内角和等于，正确，不符合题意； B、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，不符合题意； C、若等腰三角形一边长为2，一边长为5，当腰长为2时，，不能构成三角形， 当腰长为5时，，能构成三角形，则周长为，原说法错误，符合题意； D、日常生活中，工程建筑常采用三角形的结构，因为三角形是具有稳定性的图形，正确，不符合题意； 故选C. 11. 小芸为体育节活动设计了班级加油彩旗，如图所示，，，点A在上，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．先求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，根据所对的直角边等于斜边的一半求出的长度即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵，．  故选：C． 12. 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它以最大航速沿江顺流航行50千米所用的时间，是以最大航速逆流航行60千米所用时间的一半．设江水的流速为x千米/时．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据顺流和逆流的速度关系，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，再根据时间关系列出方程即可． 【详解】解：设江水流速为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时． 顺流航行50千米所用时间为小时， 逆流航行60千米所用时间为小时， ∵顺流时间是逆流时间的一半， ∴， 故选A． 13. 下列命题，逆命题成立的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形的三边都相等 C. 若，则 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，再判断命题的真假即可． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角是对顶角，相等的角不一定是对顶角，故逆命题不成立，不符合题意； B、逆命题为：三边都相等的三角形是等边三角形，成立，符合题意； C、逆命题为：若，则，当时，，故逆命题不成立，不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的两个三角形为全等三角形，逆命题不成立，不符合题意； 故选B． 14. 若，，则（ ） A. 14 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 15. 如图，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡，此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的（ ） A. 重心，即三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高所在直线的交点 D. 内部任意一点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心的概念和性质，熟练掌握数学知识在实际生活中的应用是解题的关键．支点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答． 【详解】解：能使三角形保持平衡的支点是重心，而三角形的重心是三边中线的交点． 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 计算∶______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，利用负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：原式； 故答案为：3． 17. 分解因式：=____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 18. 分式的值为0．则x的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意可得|x|-5=0且x+5≠0， 解得x=5． 故答案是：5． 【点睛】考查了分式的值为零的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 19. 数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和，等边三角形的判定和性质，两点间的距离；由得，由三角形内角和得，证得是等边三角形，再根据两点间的距离即可解答． 【详解】解：由图可知， ∴， ∵直角三角板中， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E，F表示的刻度分别为2，6， ∴， ∴， 故答案为4． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）根据幂的运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 21. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键：去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根，舍去； ∴原方程无解． 22. 如图，交于点E，、．求证：． 【答案】 证明：∵在和中， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，对顶角相等；由证，即可得结论． 【详解】略 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，内任意一点H的坐标为． （1）请在图中作出关于x轴对称的图形，并写出内与点H对应的点的坐标； （2）在y轴上找一点P，使得是以点A为顶角顶点的等腰三角形，则点P的坐标是______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，网格中画等腰三角形，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的定义是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出点的坐标即可； （2）根据等腰三角形的定义和网格特点确定点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点H的坐标为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如（1）图，点． 24. 如图，在中，，D为中点，连接，垂直平分交于点E，交于点O，交于点F，连接，． （1）若，求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）； （2） 证明∵，D为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； （2）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； 【小问1详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，D为中点，， ∴平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 25. 科技赋能乡村振兴，智能装备助力高效采收．某智慧农场近期投放使用了一批新型采收机器人用于采收某种农作物，实践中发现其优势如下： 单位采收量更大 每台新型机器人比每台旧型机器人每天多采收40千克 工作效率更高 每台新型机器人采收1200千克所用时间与每台旧型机器人采收880千克所用时间相等 求每台新型机器人每天的采收量． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，通过设旧型机器人每天采收量为x千克，新型机器人每天采收量为千克，根据采收时间相等的条件建立方程，求解得到x的值，进而求出新型机器人的采收量即可． 【详解】解：设每台旧型机器人每天的采收量为x千克，则每台新型机器人每天的采收量为千克，由题意，得： ， 解得； 经检验，是原方程的解且符合题意． 每台新型机器人每天的采收量为（千克）； 答：每台新型机器人每天的采收量为150千克． 26. 一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． （1）计算：； （2）按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能全部倒完，理由如下： 第1次倒出的水量是：； 第2次倒出的水量是：； 第3次倒出的水量是：； 第4次倒出的水量是：， 第n次倒出的水量是：； 前n次总共倒出水量是： ∵， ∴容器中的这1升水最终不能全部倒完． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律； （1）先通分再计算即可； （2）计算前n次总共倒出水量与1比较即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 27. 【模型初探】 （1）如图1，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【正向迁移】 （2）如图2，在中，，点A，D，E在直线l上．若，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，分别以和为边作等腰直角三角形．在中，，；在中，，；连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵， ，， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∴； （3），理由如下： 如图，延长至点G，使，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，平行线的判定和性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）同角的余角得到，利用证明即可； （2）证明得出，，即可得解． （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，推出，等量代换得到，再证明，得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $