三角恒等变换期末培优复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学三角恒等变换期末培优复习讲义通过表格梳理与知识解析构建系统知识体系，将和差公式、倍角公式等核心内容按“公式原理-应用场景”逻辑呈现，用对比表格归纳公式结构，清晰展示公式间内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，例题与变式涵盖单选、多选等题型，精选不同年级考题，结合配凑角技巧、万能公式步骤等方法指导，培养数学思维与运算能力。基础题巩固公式应用，综合题提升变换技巧，助力学生自主复习，为教师精准分层教学提供支持。

三角恒等变换期末培优复习讲义 三角恒等变换期末培优复习讲义 考点目录 和差公式及其应用 倍角公式及其应用 辅助角公式及其应用 积化和差与和差化积公式及其应用 给角求值、给值求值与给值求角问题 三角恒等变换中的化简与恒等式证明问题 考点一 和差公式及其应用 【知识点解析】 1.和差公式 两角和 两角差 正弦 sina+β=sina cosβ+cosa sinβ sina-β=sina cosβ-cosa sinβ 余弦 cosa+β)=cosa cosβ-sina sin B cos(a-B)=cosa cos B+sina sin B 正切 tana tan B tand-tanβ tan(a+B）= tan(a+B)= 1-tano.tanβ 1+tana.tan B 【例题分析】 例1.(2025·内蒙古赤峰·模拟预测)sinl5°cos45°-cos165°sin45°=() A月 B.-3 2 c. D.3 2 【答案】D 【详解】sinl5cos45°-cosl65sin45°=sinl5°cos45°-cos180°-15）sin45 =snl5cos45°+cos15'sin45°=sin1s°+45）=5 2 故选：D :as26高1国据)2江aa+号引2，为c,习 2sina+sina+π) () A3 B.3 D.-3 【答案】C 三角恒等变换期末培优复习讲义 tand+tan 【详解】由tana+ =2台 4 =2 tand+1=2, I-tanax tan元 1-tana 4 解得：tana=3' 2sina +sin(+2sina-sina=-tan 所以 3π -cosa 3, sin a+ 2 故选：C 例3. (25-26高三上山西晋城月考·多选)已知sinacosB= 36 65·则() 65'sin(a+B)=-16, A.cosasinB=13 B.sin(a-B)=-56 5 tand=_5 576 C. tanβ9 D.sin2asin2B=- 845 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为sin(a+B)=sin+cosasinB=-16 ’sinacosB= 36 65, 所以cosa sin}，,故A正确： 对于B选项，sin(a-B)=sin-cosa sinB=-36-4.-56 651365,故B正确 36 对于C选项， tana sina cos B65 tanβcosa sin B 4 5,故C错误， 13 sin2asin2β=2 sinacosa2sinβcosB=4 sina cosβcosa sinβ=4× 36×4=-576 65X13845,故D正确 故选：ABD. 例4.(25-26高三上，湖北荆州月考)若tana tan阝=-1，则cos(a-B)= 【答案】0 【详解】因为antan=-l,所以sina sin=-l, cosa cos B 则sina sin阝=-cosa cos B,得到cos a cos阝+sina sin阝=0， 由两角差的余弦公式得cos(a-)=cosa cos B+sina sin B=0 故答案为：0 例5.(2526商二上黑龙江齐齐哈尔开学考试)tane tanB=2.cosa+B)-则osa-卧)= 【答案】 31.0.6 2 三角恒等变换期末培优复习讲义 【i详解】因tan@tan=sinasin=2,则sinsi=2 cosacoB(, cosa cosβ 由cos(a+B)=写，可得cosacosB-sinsin=:(*)。 5 路C)代入上式，c0sac0sB-2c0sac0sB,即c0sac0sB- 代入(*)，可得sinasinB=2 cosa cosB=- 故oa-=aoB+naa=引-号 放答案为： 5 【变式训练】 变式1.(25-26高一上·浙江宁波期末)sin36°cos24°+sin54°sin24°=() A.司 C. 3 D. 2 2 【答案】C 【详解】sin54°=sin90°-36)=cos36, .sin36cos24°+sin54°sin24°=sin36cos24°+cos36sin24 =sin36+249)=sin60三)，故C正确 故选：C. 变式2.2526商三：黑龙I齐齐哈尔期未)已uBe0孕，sma-coB-分osa-5如B=怎，则 1 3 tan(a+B)=() A.-2 B. 7N2 8 C.-32 D. 8 8 【答案】B 【详】解因为sm2a-2 2.inccoB+-cosB=g0,cos2a-2 coin+-smp-号@. i0-@g,2-24snmo3+oinp列-号所以sna+1-号 因为sina-cosB>0,所以sina>sn2B, 因为e0引，所以0-B<， 又函数y=si血x在0，)上单调递增，所以u>子-P,即<a+B<元， 三角恒等变换期末培优复习讲义 所以cosa+)=--sin(a+B=-45,所以amla+f=-75 9 8 故选：B 变式3.2425商-下-江苏连云海月考多选)己知a,B为锐角，osa+例-号，tandta-子则（） 3 A.sina sin= 4 B.cos(a-B)=1 C.tana+tanβ=4 D.sina cos B= 【答案】BD 3 1 sina sinβ 【详解】对于A,因为cosa+B例-=亏osp-sin sinB,tana tanB=4 4 cosa cos B' cosacos B-sina sin B-4sina sin B-sina sin B-3sinasiB, 5 1 4 解得sina sin B行，cosa cos p=行，故A错误； 对于B,cosa-B)=cosa cos B+sina sin B= +51，故B正确， 41 对于C,因为a,B为锐角，所以a+Be(0,π)， 又四方a+-0,所以a8色写引两uma+卧号 tana+tan B=sinasinB=sin a cosB+sin B cosa cosa cos B cosa cos B sina+B=l,故C错误： cosa cosβ 对于D,因为a,B为锐角，所以a-B(及引 又因为cosa-B=l,所以只能sin(a-β=sina cosβ-cosa sin B=0, 因为sina+B=sina cos+cosasin=,解得sincs-号，放D正0 故选：BD 变式4.(2026山东模拟预测)若tan(a+B)=3,tana-B)=2,则tan2B=一 【答案】 【架】mga+月-a-02-片 故答案为：7 1 变式.(2526商三上吉林四平月考》已0<a<子且coa+看)-号则aa 【答案】33+4 10 三角恒等变换期末培优复习讲义 【弹解1因为0a号所以a+名行又oa+引号引 6 65 所如a+引em-m[e}引oe+后e8mg-g9}5 故答案为： 3V3+4 10 5 三角恒等变换期末培优复习讲义 考点二 倍角公式及其应用 【知识点解析】 1.二倍角公式 二倍角 公式 正弦 sin 2a =2sina cosa 余弦 cos 2a cos2 a-sin2a =2 cos2 a-1=1-2sin2a 2tano 正切 tan 2a= 1-tan2a 1 ①sina cosa=-sin2a. 2 变形 ②sin2a= 1-c0s20=1-c0s20: 2 (降幂公式) ③c0s2a= 1+cos2a 2 _=1-sin2a. 3.三倍角公式（拓展） 三倍角 公式 正弦 sin 3a =3sin a-4sin'a 余弦 cos3a =4cos a-3 cosa 正切 3tana-tan'a tan 3a= 1-3tan2a 【例题分析】 列1，(2526高-上青海海东期末)若am9三6，则am0 B.2 e号 D.12 5 【答案】A 0 1-m201-62=-35. 【详解】由tan0= 2 6 三角恒等变换期末培优复习讲义 故选：A 例2.(25-26高二上陕西汉中.月考)设00， 3 2 若cos0= 则sin20等于() 4 24 A.5 B. 12 5 C. 25 D. 5 【答案】C 【详解】因为9∈0，刀 2 COS0=3 所以sin0=V-cos9=4, 则sin20=2sin0cos0=2× 4.324 5525 故选：C 例3.(24-25高一下·海南三亚·月考·多选)下列化简正确的是(） A.cos82°sin52°-sin82cos52°=} B.sinl5°cosl5°= C. tan48°+tan72°=-5 1-tan48°tan72° D.2cos215°-1= 2 【答案】CD 1 【详解】对于A:cos82sin52°-sin82c0s520=sim(520-82）=5in(-30)=-5in30°=2，A错误： 对于B:sn159cosl5-号n30-号B错误： 对于C: tan48°+tan72° =tan(48°+72)=tanl20°=-√3，C正确； 1-tan48°tan72° 对于D:2cos15-1=c0s30°-5，D正确， 2 故选：CD 1+tan 例4.（25-26高一上吉林长春期未)若c0sa=- α为第三象限角，则一 2 1-tan 2 【答】 【详解】因为cosa= 行，且a为第三象限角，所以sina=-V-cos'a:-4 3 义 a 1+tan cos 2 l+tan&】 2 2 2+sin a cOS- 2 1-tan 1-tan cos sin- 2 2 2 c062 2 7 三角恒等变换期末培优复习讲义 a 3 2 2 cosa 5 ）2 3 2-sin 1-sina coS 2 5 1 故答案为： 3 例5.(25-26高三上云南楚雄月考)已知V3sina=sin(a-乃)，则sin2a+5cos'a= 61 【答案】 4 【详们由V店snu=na-君.得5sna=原masu,解得na 1 6 2 3 sin 2a+cosa-2sina cosa+coa 2tana 25+55 sin2a+cos2a tan2a+1 5y+14 3 故答案为： 3 4 例6.（as26商-上浙江宁放期未)已知aB为悦角，cma-oa+倒- 3 (1)求cos2a的值； (2)求sin(2a+B)的值. 【答案】0)25 (②)4+3V5 10 3 【详解】(1)：cosa= ∴.cos2a=2cos2a-1=2× 3)2 25 (2):0,B为锐角， :0<a+B<π， 1 又：cosa+β)= 0+B= 3 3 :cosa=行，a为锐角， .sin a =v1-cos2 a 3)2 8 三角恒等变换期末培优复习讲义 六sn2a+Bl=sm[a+a+]-sna+骨}=ino骨+si 3 3 41,3V34+33 5252 10 【变式训练】 变式1.(25-26高一上·福建莆田月考)已知a为任意角，则“cos2a= 是ma= 的() 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】：cos2a=}→1-2sin2a=}sima=士5 3 3 :cos2a=写推不出sina=5, 1 3 1 反之，sina= 3 L→c0s20=3' :“c0s2a=3 是“sina= 的必要不充分条件， 3 故选：B 变式2.(2025·吉林长春·模拟预测)已知tana=√2，则cos2a-2sin2a=() B. 1 C.3 D.3 【答案】A 【详解】因为tana sina=√2，所以cosa≠0，又sina+cos'a=l, cosa cos2a-2sin'a=cos'a-sin'a-2sin'a=cos'a-3sina sin'a cos'a cos'a-3sin'a cos'a 1-3tam2a_1-3x(V25 sin a +cos a tan2a+1 (2+1 3 cos'a 故选：A 变式3.242s高=下-河北：期末多选)若ae0}ana=2,则（) A.sina=25 B.n2a=号 C.cos2a=5 3 D.sin2a= 【答案】ABD 【详解】对于A,因为a∈ 0 sina=2 tana=2,所以{cosa 2W ,→sina= 5,cosa 5 ，A正确： sin2a+cos2a=1 2tana2×2 对于B,tan2a= 1-tan2a1-22 3B正确： 三角恒等变换期末培优复习讲义 对于C,cos2a=2cos2a-1=2× 5 3 1=- 5 ,C错误； 对于D,sin2a=2 sinacosa=2× 2554,D正确： X J 55 故选：ABD 7 变式4.(25-26高三上内蒙古呼和浩特期末)已知x∈ 0, sinx= 25’ 则tan- 2 【答案】月 7 2 【详解】由题意可得，cosx=V-sin2x= 24 25 则tanx=sinr=Z 25 c0sx24’ 2tan 2 1 则tanx= ,2x=24’则7tan22+48tan-7=0，得tam2=3 =-7, =或tan2 x I 因为xe0 π ,所以 4则an=1 27 1 故答案为： 7 变式5,2526高上·上海：期中D若第二象限角a满足snc则an2aE 【答案】- 24 94 详解)】因为sina且a为第三象限角，所以cosa--sim2a753 (3 2× sina 3 2tan a 4 24 tana= tan 2a= cosa 4=-4' 1-tan'a 3 5 故答案为： 4 7 变式6.(25-26高一上山西长治期末)已知a∈(0，)，且sina+cosa=- 5 5 (1)求sina cosa+cos2a的值； ②若anla+j=-分求an12a+的值 【答案】0四号 (2)-1 【详解】(1)因为sina+cosu= 5 ,所以1+2 sinacosa= 5 5 10三角恒等变换期末培优复习讲义 三角恒等变换期末培优复习讲义 考点目录 和差公式及其应用 倍角公式及其应用 辅助角公式及其应用 积化和差与和差化积公式及其应用 给角求值、给值求值与给值求角问题 三角恒等变换中的化简与恒等式证明问题 考点一 和差公式及其应用 【知识点解析】 1.和差公式 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 【例题分析】 例1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A． B．3 C． D． 例3．（25-26高三上·山西晋城·月考·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·湖北荆州·月考）若，则 . 例5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），则 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·江苏连云港·月考·多选）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·山东·模拟预测）若，，则 ． 变式5．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知，且，则 . 考点二 倍角公式及其应用 【知识点解析】 1.二倍角公式 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 （降幂公式） ①. ②. ③. 3.三倍角公式（拓展） 三倍角 公式 正弦 余弦 正切 【例题分析】 例1．（25-26高一上·青海海东·期末）若，则（   ） A． B． C． D．12 例2．（25-26高二上·陕西汉中·月考）设，若，则等于（　　） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·海南三亚·月考·多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·吉林长春·期末）若， 为第三象限角，则 例5．（25-26高三上·云南楚雄·月考）已知，则 ． 例6．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·福建莆田·月考）已知为任意角，则“”，是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·河北·期末·多选）若，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知，，则 ． 变式5．（25-26高三上·上海·期中）若第二象限角满足，则 ． 变式6．（25-26高一上·山西长治·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 考点三 辅助角公式及其应用 【知识点解析】 1. 辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 2.常见三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 不存在 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·甘肃酒泉·月考）求值：（    ） A．0 B． C．2 D． 例3．（25-26高一上·西藏林芝·月考） ． 例4．（25-26高一上·福建厦门·月考）函数的最大值为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·江西赣州·月考）求值（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·湖南衡阳·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·山东青岛·月考），则 ． 变式4．（25-26高一上·重庆·月考）若函数的最大值为2,则 . 考点四 积化和差与和差化积公式及其应用 【知识点解析】 1.积化和差公式与和差化积公式（拓展） 积化和差 和差化积 【例题分析】 例1．（2025·云南·一模）在中，若，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）设，则（    ） A．1 B． C． D． 例3．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）已知，则 ． 例4．（25-26高一上·上海·月考）已知，则 . 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·福建莆田·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·广东东莞·月考）计算： ． 变式4．（25-26高一上·浙江温州·月考）若，则 ． 考点五 给角求值、给值求值与给值求角问题 【知识点解析】 1.三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 2.常见的配凑角技巧 所谓配凑角技巧，即整体思想，可将一个代数式视为整体，再利用对应公式进行化简： （1）如题目给出和，可利用，再利用诱导公式进行化简. （2）如题目给出，求，可利用，再利用和差公式进行化简. （3）如题目给出，求，可利用，再利用倍角公式进行化简. 凡此种种，当题目给出一个或多个复杂角度的三角函数值，可利用已知角度与目标所求角度的关系（主要利用消元的思想找到此关系），利用整体思想进行化简求值. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·北京·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则 . 例4．（2026·四川攀枝花·模拟预测）若，则 ． 【变式训练】 变式1．（2026·广西南宁·模拟预测）已知，则＝（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·月考）设，均为钝角，且，，则的值为 . 变式4．（25-26高三上·广东广州·期中）已知，，，，则 . 考点五 三角恒等变换中的化简与恒等式证明问题 【知识点解析】 1.核心万能公式 三角函数 万能公式（设） 适用条件 且 2.万能公式的通用步骤： （1）判断适用条件：检查是否满足公式的定义域（避免无意义或分母为0）； （2）设置换变量：令，将、、全部替换为含的有理式； （3）化简 / 计算：将原三角函数表达式转化为关于t的代数表达式，通过通分、因式分解、解方程等代数方法求解； （4）回代验证：若需要求原角或三角函数值，根据回代，注意角的范围对三角函数符号的影响. 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广东湛江·月考）证明下列等式： (1) (2). 例2．（25-26高二上·四川成都·开学考试）（1）已知，，求的值； （2）证明： . 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·上海徐汇·月考）（1）已知，化简：； （2）已知，证明：． 变式2．（25-26高一上·广东深圳·月考）证明 （1）； （2）； （3）； （4）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $