精品解析：上海市虹口区2025-2026学年上学期七年级数学期末考试

2025学年度第一学期期末考试七年级数学学科试卷 （时间：90分钟，满分：100分） 2026.1 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此问题可求解． 【详解】解：选项A：与不是同类项，故不符合题意； 选项B：与是同类项，故符合题意； 选项C：与不是同类项，故不符合题意； 选项D：与不是同类项，故不符合题意； 故选B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的次数是2 B. 是二次三项式 C. 的常数项是3 D. 的一次项是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式和多项式的相关概念，根据单项式的次数、多项式的次数和项数、常数项和一次项的概念依次进行判断即可． 【详解】解：∵ 选项A: 的次数为，故错误； ∵ 选项B: 的最高次项为2次, 且有三项，是二次三项式，故正确； ∵ 选项C: ，常数项为，故错误； ∵ 选项D: 的一次项为，故错误． 故选：B． 3. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键，因式分解是将多项式转化为几个整式的乘积形式，需满足左边为多项式，右边为乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的乘积； A、，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解，不符合题意； B、，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、，左边是多项式，右边是乘积形式，符合因式分解； D、，右边含有加法运算，未完全转化为乘积，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 4. 如果把分式中和的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，先将a和b都扩大2倍代入分式，再根据分式的基本性质进行化简，最后与原分式进行比较即可． 【详解】解：∵a和b都扩大2倍， ∴， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 5. 近年来，国产人工智能模型发展迅速，以下四款人工智能模型的图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 6. 二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：属于二方连续纹样的是D， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法计算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，直接根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 将按的升幂排列_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式，按照的指数从低到高的顺序排列即可，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：将按的升幂排列为， 故答案为：． 10. 计算：（2a﹣b）（a+3b）=_____． 【答案】2a2+5ab﹣3b2 【解析】 【详解】由多项式与多项相乘的法则得，(2a﹣b)(a+3b)=2a2+6ab﹣ab﹣3b2=2a2+5ab﹣3b2．故答案为2a2+5ab﹣3b2． 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，运用分配律将多项式的每一项分别除以单项式，再根据有理数除法和同底数幂的除法法则计算． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成分解即可． 【详解】解： = =． 13. 如果能用完全平方公式因式分解，那么的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据式子的二次项系数和常数项的值推出一次项系数，使得它能够构成完全平方式． 【详解】解：表达式需匹配完全平方公式的形式， 令，， 则， 因此， 解得， 故答案为：． 14. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】把分子分母约分即可. 【详解】. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式. 15. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式值为的条件，掌握分式值为的条件是分子为且分母不为，注意排除使分母为的解是解题的关键． 分式的值为的条件是分子等于且分母不等于． 【详解】解：由分式的值为，得分子且分母 解方程，即，得或 当 时，分母，分式无意义，故舍去； 因此． 故答案为：． 16. 为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 17. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为__ ． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移可知，． ∵E是的三等分点且， ∴， ∴， 即点A与点G的距离为12． 18. 1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律，多项式乘法运算，因式分解的应用，有理数的乘法运算，解题的关键根据题意找出规律求解． 由题意可得，，则得到，据此求解即可． 【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即； 第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为， ∴由题意得，， ∴， 整理得，， 左边因式分解得，， 由有理数乘法可得，或或， 当时，解得（不符合题意，舍）； 当时，解得； 当时，方程组无解， ∴的值为44， 故答案为：44． 三、解答题（本大题共6题，每题5分，满分30分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 先分组，再由平方差公式分解． 【详解】解： ． 21. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法及完全平方公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数次幂转化为正整数次幂的形式，以及分式的混合运算，先将负整数次幂转化为正整数次幂的形式，再根据分式的混合运算顺序及运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是做题的关键．先按照分式的运算法则，对原式进行化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 24. 以下是某同学解方程的过程： 解：由原方程可得…………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………② 解得…………③ 经验后，是原方程的解…………④ 原方程的解是． （1）上述解题过程，从第_____步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可 （2）请写出解方程的正确解题过程． 【答案】（1）② （2） 过程： ， ， ， ， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解是． 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）根据题中所给过程进行求解即可； （2）根据分式方程的解法可进行求解． 【小问1详解】 解：上述解题过程，从第②步开始出现错误； 故答案为②； 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共5题，第25、26、27题每题6分，第28、29题每题8分，满分34分） 25. 已知的顶点在格点上，按要求在方格纸中画图． （1）画出向右平移格后的图形． （2）画出关于直线成轴对称的图形． （3）画出关于点成中心对称的图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据轴对称的性质画图即可； （）根据中心对称图形的性质画图即可； 本题考查了平移作图，作轴对称图形，作中心对称图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，评选小组收到一份评选方案，方案考虑了①书籍的数量，②书籍的总页数，③书籍的类别数C，共3个指标因素，建立的“阅读之星”得分公式为：．假设小海共读了6本书，6本书的总页数为750页，所读书籍的类别数为2，那么小海的得分为：．有人建议将“读书报告评分”也作为评选的指标因素，读书报告评分满分为10分．那么新评选方案需考虑如下4个指标因素：①书籍的数量，②书籍的总页数，③书籍的类别数，④读书报告评分，建立的“阅读之星”得分公式为，其中、、、为各项指标因素的系数．表1为新评选方案中各指标因素的系数． 表1 指标因素 系数 书籍的数量 5 书籍的总页数 书籍的类别数 3 读书报告评分 10 （1）请根据表1，建立新评选方案“阅读之星”的得分公式_____ （2）已知欢欢和乐乐的各项阅读指标如下： 书籍的数量 书籍的总页数 书籍的类别数 读书报告评分 欢欢 6 750 3 9 乐乐 4 800 1 6 请根据新评选方案“阅读之星”的得分公式，分别计算欢欢和乐乐的得分． 【答案】（1） （2）欢欢得分204，乐乐得分163 【解析】 【分析】本题考查了整式的相关概念，比如系数及求整式的值，理解题意是解题的关键．（1）根据题目条件，读懂题目信息，把各系数代入整式即可；（2）根据（1）中的公式，分别代入欢欢和乐乐A、B、C、D的值计算即可． 【小问1详解】 解：∵建立的“阅读之星”得分公式为， 、、、， ∴新评选方案“阅读之星”的得分公式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：欢欢的得分为， 乐乐的得分为． 27. 《上海市初中毕业升学体育统一考试项目成绩评价标准》规定，女生800米跑成绩若在3分39秒至3分26秒之间（含端点），可获得附加分分；若成绩达到3分25秒及以上，可获得附加分1分（统一考试总分仍为15分）． 在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少54秒．那么按照上述评价标准，在这次计时跑步中，这名女生的成绩是否能获得附加分？请说明理由． 【答案】能获得附加分 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的行程问题，根据题意列出方程并求解，参照结果的成绩范围，则可判断是否能获得附加分． 【详解】解：能获得附加分． 设这名女生的成绩为分，则这名男生跑完1000米所用的时间为分， 根据题意，得， 解得， 分钟=3分36秒，在3分39秒至3分26秒之间，所以可获得附加分分． 28. 【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短； （2）11； （3）①如图，最短， ②70 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 29. 如图1，点为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． （1）如图2，将三角板绕点逆时针旋转，若恰好平分，则_____． （2）将图1中的三角板绕点逆时针旋转，若在内部，且，则旋转角_____°． （3）将图1中的射线和三角板同时绕点顺时针旋转2周，射线、三角板的旋转速度分别为每秒和每秒．第几秒时，射线与三角板的边恰好在同一直线上？ 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的三要素，角的和差计算，一元一次方程的应用，解题的关键注意分类讨论的思想和数形结合的思想． （1）根据角平分线得到，再由平角的意义求解即可； （2）设，则，由建立方程求解，即可求解旋转角的度数； （3）分四种情况讨论，注意转动停止时，继续转动． 【小问1详解】 解：因为，平分， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 因为， 设，则， 因为， 所以， 解得， 所以， 所以旋转角， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当第一次共线时，如图： ； 当第二次共线时，如图： ； 当停止转动时，，则转动了，如图： ∴， 当第三次共线时，如图： 此时， ∴； 当第四次共线时，如图： 则 综上：第或或或秒时，射线与三角板的边恰好在同一直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第一学期期末考试七年级数学学科试卷 （时间：90分钟，满分：100分） 2026.1 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列单项式中，的同类项是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的次数是2 B. 是二次三项式 C. 的常数项是3 D. 的一次项是 3. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中和的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不能确定 5. 近年来，国产人工智能模型发展迅速，以下四款人工智能模型的图标中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 二方连续纹样是指一个单位图案沿上下或左右方向连续排列所形成的横式或纵式带状纹样．以下四个纹样中，属于二方连续纹样的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 计算：_____． 8. 计算：________． 9. 将按的升幂排列_____． 10. 计算：（2a﹣b）（a+3b）=_____． 11. 计算：_____． 12. 因式分解：_____． 13. 如果能用完全平方公式因式分解，那么的值是_____． 14. 计算：________． 15. 若分式的值为0，则的值为_____． 16. 为常数，如果，那么_____， 17. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，寓意是同心吉祥，其图案由两个相同的正方形相叠组成．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，且E是的三等分点，如果平移距离为3，那么点A与点G的距离为__ ． 18. 1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 三、解答题（本大题共6题，每题5分，满分30分） 19. 计算： 20. 因式分解： 21. 因式分解： 22. 计算： 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 以下是某同学解方程的过程： 解：由原方程可得…………① 因为此时等式左边分式的分母相同，于是 可得…………② 解得…………③ 经验后，是原方程的解…………④ 原方程的解是． （1）上述解题过程，从第_____步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③④即可 （2）请写出解方程的正确解题过程． 四、解答题（本大题共5题，第25、26、27题每题6分，第28、29题每题8分，满分34分） 25. 已知的顶点在格点上，按要求在方格纸中画图． （1）画出向右平移格后的图形． （2）画出关于直线成轴对称的图形． （3）画出关于点成中心对称的图形． 26. 某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，评选小组收到一份评选方案，方案考虑了①书籍的数量，②书籍的总页数，③书籍的类别数C，共3个指标因素，建立的“阅读之星”得分公式为：．假设小海共读了6本书，6本书的总页数为750页，所读书籍的类别数为2，那么小海的得分为：．有人建议将“读书报告评分”也作为评选的指标因素，读书报告评分满分为10分．那么新评选方案需考虑如下4个指标因素：①书籍的数量，②书籍的总页数，③书籍的类别数，④读书报告评分，建立的“阅读之星”得分公式为，其中、、、为各项指标因素的系数．表1为新评选方案中各指标因素的系数． 表1 指标因素 系数 书籍的数量 5 书籍的总页数 书籍的类别数 3 读书报告评分 10 （1）请根据表1，建立新评选方案“阅读之星”的得分公式_____ （2）已知欢欢和乐乐的各项阅读指标如下： 书籍的数量 书籍的总页数 书籍的类别数 读书报告评分 欢欢 6 750 3 9 乐乐 4 800 1 6 请根据新评选方案“阅读之星”的得分公式，分别计算欢欢和乐乐的得分． 27. 《上海市初中毕业升学体育统一考试项目成绩评价标准》规定，女生800米跑成绩若在3分39秒至3分26秒之间（含端点），可获得附加分分；若成绩达到3分25秒及以上，可获得附加分1分（统一考试总分仍为15分）． 在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少54秒．那么按照上述评价标准，在这次计时跑步中，这名女生的成绩是否能获得附加分？请说明理由． 28. 【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 29. 如图1，点为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． （1）如图2，将三角板绕点逆时针旋转，若恰好平分，则_____． （2）将图1中的三角板绕点逆时针旋转，若在内部，且，则旋转角_____°． （3）将图1中的射线和三角板同时绕点顺时针旋转2周，射线、三角板的旋转速度分别为每秒和每秒．第几秒时，射线与三角板的边恰好在同一直线上？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $