精品解析：山东省烟台市高一2025-2026学年上学期数学期末测试题

2025—2026学年山东烟台高一数学期末测试卷 一、单选题 1. 音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数，则在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是奇函数可排除C；根据函数零点的个数可排除选项D；根据在的正负情况，即可判断出B错误，A正确． 【详解】定义域为，， 所以函数为奇函数，图像关于原点中心对称，故C错误； ， 令，解得或， 因为，所以有5个零点，故D错误； 当时， 的零点为，，，其中且， 当时，因为，，所以， 当时，因为，，，故B错误，A正确， 故选：A． 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数的单调性结合中间值“1”、“”即可比较大小. 【详解】，， . 综上，． 故选：B. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( ) A. 的最小正周期为 B. C. 点是图象的一个对称中心 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】选项A：根据题干所给图像即可求解；选项B：结合已知条件，首先根据图像最高点纵坐标求出，利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代入图像中的点求出即可求出函数解析式；选项CD：通过代入检验法即可求解. 【详解】对于选项A：由图象可知，的最小正周期，故A错误； 对于选项B：由图可知，因为，所以，即， 故， 因为点在的图象上， 所以，即，又，所以， 所以，故B错误； 对于选项C：因为， 所以点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误. 故选：C. 4. 已知函数,的部分图象如图所示,则 A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可求得，由可求得，再由可求得，从而可得的解析式，进而可求. 【详解】， ，代入得， ， 又，， ， ，故选A. 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键. 5. 若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解. 【详解】因为在上单调，所以，即,则， 由此可得． 因为当，即时，函数取得最值， 欲满足在上存在极最点， 因为周期，故在上有且只有一个最值， 故第一个最值点，得， 又第二个最值点， 要使在上单调，必须，得． 综上可得，的取值范围是． 故选：B． 6. 已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】显然是函数的零点，时，由得，然后作出函数的图象，转化为与有4个交点，结合函数图像可求． 【详解】显然是函数的零点， 时，由得， 其大致图像如图所示，，（2），（3）， 结合图像可得，当或时，与有4个交点，即方程有5个不等实根． 故选：A． 7. 定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以构造，得到，进而求出的值，当求出的值，从而求出结果. 【详解】当，时，可化为， 令，则，， 所以，则，， ，则， ，则， ，则， 因为， 当时,,即 所以，则， 则， 所以， 所以， 故选：D. 【点睛】关键点睛：函数综合问题需要观察题目特征，适当构造函数，并研究函数的性质，从而解决问题. 8. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解. 【详解】作函数与的图像如下： 方程有4个不同的根，，，，且， 可知关于对称，即，且， 则，即，则 即，则； 当得或，则；； 故，； 则函数，在上为减函数，在上为增函数； 故取得最小值为，而当时，函数值最大值为. 即函数取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题. 9. 函数的部分图象如图所示，把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论正确的是 A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调递增 D. 在上的最大值是2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象求得的解析式，再利用平移变换和伸缩变换得到的解析式，再对照选项结合函数的性质，即可得答案； 【详解】由图可得，最小正周期， . 把图象上所有点的纵坐标保持不变横坐标缩短到原来的， 得到函数， 图象整体向右平移个单位长度得. 当时，，故A错； 当时，故不是图象的对称中心，故B错： 易知在上单调递增，在上单调递减，故C错； 当时，取得最大值2，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换、三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、多选题 10. 当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（ ） A. 的面积 B. C. 两函数的图象必在处有交点 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据正余弦函数的图象特征，结合题中条件，得到直角斜边上的高为，且为等腰直角三角形，得到斜边长，确定周期，求出，以及三角形的面积，判定A错，B正确；根据给定区间，先确定，再由两函数恰有三个交点，得到，由此可判断C错，D正确. 【详解】由可得，而， 因为当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形， 所以该直角三角形斜边上的高为，且该直角三角形必为等腰直角三角形，因此斜边为，所以这两个函数的周期都为，则，所以，即B正确； 三角形的面积为，故A错； 当时，，因为这两个函数恰有三个交点，所以，又，所以，故D正确； 因为，所以两函数的图象在处不可能有交点，故C错. 故选：BD 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于结合正余弦函数图象的性质，根据题中两函数恰有三个交点，且三点构成直角三角形，确定三角形的特征，以及三个交点的位置，再结合三角函数的周期性，对称轴等性质，即可求解. 11. 对于偶函数，下列结论中正确的是（ ） A. 函数在处的切线斜率为 B. 函数恒成立 C. 若 则 D. 若对于恒成立，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判断A；构造函数，利用导数研究不等式恒成立问题可判断B；对求导，构造函数，利用函数的单调性比较函数值的大小可判断C；利用在上的单调性，求出恒成立，进而确定的最大值，进而判断D. 【详解】因为为偶函数，所以，所以； 对于选项， 因为 所以 所以 所以函数在处的切线斜率为 故选项正确； 对于选项， 令 则 当时， 所以单调递减，所以 即 所以 因为为偶函数，所以函数恒成立. 故选项正确； 对于选项， 令 则 当时， 所以在上单调递减，所以 即在上恒成立， 因此函数在上单调递减. 又 所以 故选项错误； 对于选项，因为函数在上单调递减， 所以函数在上也单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即的最大值为 故选项正确； 故选：. 三、填空题 12. 若a，，且，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，从而可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 13. 点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________． 【答案】9 【解析】 【分析】用待定系数写出指数函数解析式，代入对应点求解即可. 【详解】设指数函数为，其中且， 将、代入函数解析式得，解得， . 故答案为：9 14. 已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】，当时，变形为，令，则，画出函数图象，结合图象列出不等式即可求解. 【详解】， 即， 当，，，所以不是交点横坐标； 当时，，即， 令，则， 所以的图象与有3个交点， 即函数与的图象有3个交点， 函数恒过点， 当，即， ，即， 解得或， 当，解得或， 所以函数与相切时的最小值为或， 由图象可知当（1）时，即； （2），即时函数与的图象有3个交点， 综上：当时，的图象与有3个交点， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将式子变形，使得两个函数有其中一个图象是确定的，通过平移另一个图象来找到符合题意的条件. 四、解答题 15. 已知函数，，其中且. （1）若，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)由指数函数单调性转化成一元一次不等式求解即得； (2)根据指数函数单调性分类讨论即可作答. 【详解】(1)因，则有指数函数在R上单调递减， ，解得， 所以不等式的解集为； (2)当时，在R上单调递减， ，解得， 当时，在R上单调递增， ，解得， 所以：当时，不等式的解集， 当时，不等式的解集. 16. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点． 【答案】（1） （2）0，4 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，且，即可求解函数的值域； （2）由题意可得，解出m，进而得函数的解析式，令，解方程即可求解. 【小问1详解】 易知幂函数在上单调递增，在上单调递减， 将函数图象向右平移3个长度单位可得的图象， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，即函数的值域为； 【小问2详解】 ， 因为函数的一个零点为2，所以，解得． 所以， 令，得或，解得． 所以函数的其余零点为0，4． 17. 已知定义域为的函数是奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）是上的减函数 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求解析式； （2）利用复合函数单调性判断即可； （3）利用奇偶性和单调性解不等式. 【小问1详解】 当时，， ∴ 又∵是上的奇函数， ∴且 ∴当时， 综上：. 【小问2详解】 ∵当时，单调递减， 因为是定义域为的奇函数，由对称性可知，在上单调递减， ∴，有， 又∵当时，单调递减， ∴，有， ∴是上的减函数. 【小问3详解】 由得， ∵是奇函数，∴， 又∴是上的减函数，∴， 即对任意的恒成立 ①当时，恒成立，满足条件 ②当时，应满足即 综上：的取值范围是. 18. 已知为锐角三角形的三个内角. （1）求证： （2）求的最小值 【答案】（1） . 因为，， 所以， 又因为为锐角，. 于是 同理， 相加后，即得原不等式成立. （2） 【解析】 【分析】（1）把正弦值转化成正切值，然后利用基本不等式，最后通过正切值大于角度即可证明. （2）先换元，然后找到三个变量之间关系，然后根据基本不等式消去一个变量，最后通过函数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令， 因为，均为锐角， 所以， 所以， 所以， 则 ， 所以. 因为均为锐角， 所以均为正值， 所以均为正值，且， 则， 则， 因为 令， 则 令，则 则当时,则单调递减. 当时，，则单调递增， 所以，当且仅当等号成立， 所以 所以的最小值为. 故答案为: . 【点睛】（1）本题考查了形式的转变，以及角度和角度正切值的大小关系，把正弦值转化成正切值，然后通过正切值大于角度证明. （2）本题考查了变量的消元能力，根据形式利用基本不等式消去一个变量是解决这道题目的关键. 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分； ③； ④若整数a，b满足，则. （1）解方程； （2）已知实数r满足，求的值； （3）证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有． 【答案】（1） 或 （2） 743 （3） 证明：由的形式，可构造不等式， 当时，有； 设， 则有， 从而， 而，则， ∴. 【解析】 【分析】（1）令，则方程可化为，根据高斯函数的定义，即可求解得答案； （2）设，则可判断中n以及的个数，从而可得，结合高斯函数定义，即可求得答案； （3）由所要证明不等式的形式，可构造不等式，当时，有成立；设，推出，从而得到，即可证明结论. 【小问1详解】 令，则， ∴， 又由高斯函数的定义有， 解得：，则或， 当时，则；当时，则； 【小问2详解】 设，设，，，…，中有k个为， 个n，， 据题意知：，则有， 解得，， 所以，，即， 故； 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了函数新定义，即高斯函数的应用问题，难度较大，解答的难点在于（3）中不等式的证明，解答时要理解高斯函数的性质，并能构造不等式，时，有，进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年山东烟台高一数学期末测试卷 一、单选题 1. 音乐与数学在某些领域息息相关，比如在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦．已知某和弦可表示为函数，则在上的图像大致为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( ) A. 的最小正周期为 B. C. 点是图象的一个对称中心 D. 直线是图象的一条对称轴 4. 已知函数,的部分图象如图所示,则 A. 3 B. C. 1 D. 5. 若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 8. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的部分图象如图所示，把图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，整体再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则下列结论正确的是 A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上单调递增 D. 在上的最大值是2 二、多选题 10. 当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（ ） A. 的面积 B. C. 两函数的图象必在处有交点 D. 11. 对于偶函数，下列结论中正确的是（ ） A. 函数在处的切线斜率为 B. 函数恒成立 C. 若 则 D. 若对于恒成立，则的最大值为 三、填空题 12. 若a，，且，则的最大值为___________． 13. 点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________． 14. 已知函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围是_____． 四、解答题 15. 已知函数，，其中且. （1）若，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集. 16. 已知函数． （1）求函数的值域； （2）已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点． 17. 已知定义域为的函数是奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）判断函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知为锐角三角形的三个内角. （1）求证： （2）求的最小值 19. 设，用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数．该函数具有以下性质： ①的定义域为R，值域为Z； ②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即，其中为x的整数部分，为x的小数部分； ③； ④若整数a，b满足，则. （1）解方程； （2）已知实数r满足，求的值； （3）证明：对于任意的大于等于3的正整数n，均有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $