精品解析：云南省石屏县第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高二上学期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 2 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 一条直线去掉一点 C. 一个点 D. 两个点 4. 在空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 6. 直线倾斜角是（ ） A. B. C. D. 7. 直线过抛物线：焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. “”是“为幂函数”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 11. 已知点在圆外部，则的值可能为（ ） A 0 B. 4 C. 2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的最小正周期为______． 13. 已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 14. 复数，，则_________． 四、解答题 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c长． 16. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 17. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 18. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的元素个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由题意可得，则有7个元素. 故选：C. 2. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，进而利用共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：B. 3. 等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（ ） A. 一条直线 B. 一条直线去掉一点 C. 一个点 D. 两个点 【答案】B 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质分析即可. 【详解】为等腰三角形且为底边，点在的中垂线上． 又为的中点时不能构成三角形，点的轨迹应是一条直线去掉一点． 故选：B 4. 空间四边形中，（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合空间直角坐标系的性质，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的性质，都可点关于平面的对称点是． 故选：A. 6. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率和倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线，即为， 可知斜率为，倾斜角为. 故选：C. 7. 直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线方程可得通径长，根据抛物线的焦点弦中通径长最短可确定，由此可得所求范围. 【详解】由抛物线方程知：抛物线焦点为，通径长为， 当垂直于轴时，两点坐标为， 此时，且， 即抛物线的焦点弦中，通径最短， 所以. 故选：A． 8. 在正四棱锥中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量法求解线线夹角. 【详解】 由题意知， 所以，，，， ， ，, 所以 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列几种说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BCD 10. “”是“为幂函数”（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由幂函数的定义求解出的值，由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】是幂函数， 则，即，解得或， 所以是为幂函数的充分不必要条件， 故选：D 11. 已知点在圆的外部，则的值可能为（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于半径列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】化为， 所以圆心半径， 在圆的外部， 所以，解得或， 综上所述，取值范围是. 因为， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，得到的最小正周期为，的最小正周期为，进而得到是函数的一个正周期，不是函数的周期，然后利用特值法可证明函数的正周期只能是的任意正整数倍，从而得到其最小正周期为. 【详解】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为， 可得， ， 所以函数的一个正周期为. 设是函数的正周期， 则， 当时，， 当时得，无解. 所以的最小正周期只能是的任意正整数倍， 但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：． 13. 已知直线与直线平行，且两条直线之间的距离为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设与直线平行的直线的方程为，再根据两平行线距离公式求出的值即可求解. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 所以 解得或. 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 14. 复数，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 16. 三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，三人闯关都成功的概率是，三人闯关都不成功的概率是. （1）求两人各自闯关成功的概率； （2）求三人中恰有两人闯关成功的概率. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）分三种情况，结合相互独立事件的概率乘法公式求解. 【小问1详解】 设两人各自闯关成功的概率分别是. 由题意得 解得， 所以两人各自闯关成功的概率分别是，. 【小问2详解】 三人中只有闯关成功概率， 三人中只有闯关成功的概率， 三人中只有闯关成功的概率， 故三人中恰有两人闯关成功的概率为. 17. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）直线与圆相交； （2）直线的方程为或 【解析】 【分析】（1）先求出直线l过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l必与圆相交； （2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l的距离，以此列方程求解m的值，即可求出直线l的方程. 【小问1详解】 直线，整理得， 令，解得 即直线l过定点. 将P点坐标代入圆C方程得， 故P点在圆C内，直线与圆相交. 【小问2详解】 圆，整理得 即，. 因为， 所以圆心C到直线l的距离为. 又， 所以 故直线的方程为或. 18. 如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，，是的中点. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，证出，且，根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在，利用线面垂直的定义证出即可. 【详解】（1）证明：因为四棱锥底面是正方形，且平面， 以点为坐标原点， 所在直线分别为轴建立如图 所示空间直角坐标系. 则， ， 因为是的中点， 所以， 所以， 所以，且. 所以，，且. 所以⊥平面. （2）假设在线段上存在点，使得//平面. 设， 则. 因为//平面，⊥平面， 所以. 所以. 所以，在线段上存在点，使得//平面.其中. 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算公式，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义及判定方法，结合指数函数的性质，即可求解； （3）由，不等式转化为，根据在上单调递增，转化为存在，使得成立，令，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由函数， 因为，可得. 【小问2详解】 任取，且， 则 ． 因为，可得，所以，， 所以，即， 所以在上单调递增． 【小问3详解】 因为， 所以可化为， 由（2）可知，在上单调递增， 所以，即， 要存在，使得不等式成立， 只要存在，使得成立， 因为，所以，令， 只要存在，使得成立，即， 令， 设且， ， 当且时，，则， 可得时，函数单调递增， 所以（当时取等号）， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $