2.1不等式及其性质讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦不等式的概念、解集（含数轴表示）及三条性质，通过实际问题引入概念，经探究活动理解解集，再结合例题应用性质，形成从具体到抽象的学习支架，辅以课前预习填空和分层检测题，帮助学生构建完整知识体系。 以铁路行李规定、树围增长等情境培养数学眼光，通过“做一做”自主发现性质规律发展推理意识，用数轴精确表示解集体现数学语言。课中探究活动引导主动思考，课后知识清单与强化训练助力查漏补缺，提升应用能力。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第一节不等式及其性质》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解不等式的概念，能准确识别不等式，区分不等式与等式； 2.掌握不等式的解集定义，会用数轴表示简单不等式的解集； 3.探索并熟练掌握不等式的三条基本性质，能利用性质进行不等式的变形； 4.能运用不等式的概念、解集及性质解决简单的数学问题，提升逻辑推理和应用能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.不等式的概念及准确判断； 2.不等式的三条基本性质及其应用； 3.不等式解集的含义及数轴表示方法。 （二）难点 1.对不等式解集的理解及数轴表示中 “ 实心点 ” 与 “ 空心圆圈 ” 的区别； 2.不等式性质3的灵活运用（注意不等号方向的改变）； 3.运用不等式性质解决含参或实际情境问题。 ) 三．课前预习 1.用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做________；常见的不等号有________种，分别是________。 2.使不等式成立的________的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的________的解，组成这个不等式的解集。 3.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向________；用字母表示为：如果a > b，那么a ± c ________ b ± c。 4.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个________数，不等号的方向不变；用字母表示为：如果a > b，c > 0，那么ac ________ bc（或________）。 5.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个________数，不等号的方向改变；用字母表示为：如果a > b，c < 0，那么ac ________ bc（或________）。 6.在数轴上表示不等式的解集时，大于向________画，小于向________画；含等号时用________表示，不含等号时用________表示。 四．课堂探秘 探究一：不等式的概念 如图用两根长度均为/cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆. (1)如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式? (3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大? 1=12呢? 改变l的取值再试一试，由此你能得到什么猜想? 猜想：在周长相等的情况下，圆的面积总是大于正方形的面积。 做一做 (1)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式. (2)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm，以后10年内每年增加约3cm，设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式. 由上述问题分别得到如下关系式: >，a+b+c≤160，6 + 3x > 30。 观察这几个关系式，它们有什么共同特点? 1. 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。 常见不等号的含义： > ：大于 ；< ：小于； ≥ ：大于或等于（“不小于”）；≤ ：小于或等于（“不大于”）；≠ ：不等于。 2.理解 （1）不等关系：不等式描述的是两个量之间不相等的关系，与等式（用 = 连接）本质不同。 （2）字母与未知数：不等式中可以含有未知数（如 x+3>5），也可以是不含未知数的恒成立不等关系（如 5>3）。 探究二：不等式的解集 燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知引火线的燃烧速度为0.02m/s，燃放者离开的速度为4m/s，那么引火线的长度应满足什么条件? 设引火线的长度应为xcm，根据题意，得 >根据不等式的基本性质，得x>5.所以，引火线的长度应大于5cm. 想一想 (1)x=4,5.6,7.2能使不等式x>5成立吗? (2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗? 1.不等式的解、解集、解不等式概念 （1）不等式的解 使不等式成立的未知数的某个值，叫做不等式的解。 例如：在 x>5 中，x=6 是它的一个解，x=7.2 也是它的一个解。 特点：一个不等式通常有无数个解（除非是恒不成立的不等式）。 （2）不等式的解集 使不等式成立的未知数的所有值的集合，叫做不等式的解集。 例如：x>5 的解集就是所有大于5的实数，记作 x>5。 特点：解集是一个范围，包含了所有满足不等式的解。 （3）解不等式 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内. 不等式x一5-1的解集x4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内. 2.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 探究三：不等式的性质 根据等式的基本性质可以对方程进行变形，进而求解方程。类似地，为对不等式进行变形，就需要研究不等式的基本性质。 我们不难理解以下结论: （1）如果a>b.那会b<a。 （2）如果a<b,b<c,那么a<c。 除此之外，你认为不等式还有哪些性质呢? 做一做 完成下列填空: 你发现了什么? 发现的规律：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 【不等式的基本性质】 性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点诠释： 不等式的基本性质的掌握应注意以下几点： （1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． （2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【经典例题】 例1.下列式子中，哪些是不等式？哪些不是？ （1）3x - 2 = 5； （2）2x + 3 > 7； （3）5 < 8； （4）x - 1 ≤ 0； （5）2a + b； （6） + 2 ≠ 3 例2.在数轴上表示不等式x>-1的解集，并说明表示方法的依据。 例3.利用不等式的性质，将下列不等式化为“x > a”或“x < a”的形式： （1）x - 5 < 1；（2）3x > -6；（3）-2x + 3 ≤ 7 五．课堂检测 （一）．选择题 1.下列各式中，属于不等式的是（ ） A. 2x + 3 B. 3x - 1 = 5 C. 5 - 2x > 0 D. 4x + 2y = 7 2.不等式x < 4的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图所示，该数轴表示的不等式解集是（ ） A. x > 2 B. x < 2 C. x ≥ 2 D. x ≤ 2 4.若a > b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a - 3 < b - 3 B. 2a > 2b C. -a > -b D. < 5.2025年全国两会提出“绿色低碳发展”，某企业计划每月减少碳排放x吨，若“每月减少的碳排放量不低于15吨”，下列式子能表示该不等关系的是（ ） A. x < 15 B. x > 15 C. x ≥ 15 D. x ≤ 15 6.杭州亚运会吉祥物“江南忆”系列文创产品热销，某网店规定单个订单金额y元满足“y超过200元免运费”，则该不等关系可表示为（ ） A. y ≥ 200 B. y > 200 C. y < 200 D. y ≤ 200 7．用不等式的性质说明右图中的事实，正确的是（　　） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么a>b D．若，那么 8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．实数，对应的位置如图所示，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②③④ （二）．填空题 11.如图x和5分别是天平上左边的物体和右边砝码的质量,用“>”或“<”填空:x　　5.  12.某校组织同学们到红色革命根据地新四军军部纪念馆参观,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是　　　　.  13.如图1,一个容量为600 cm3的杯子中装有300 cm3的水,将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中,结果如图2,设每颗玻璃球的体积为x cm3,根据题意可列不等式为　　　　　.  14．如图是某种药品的说明书上贴有的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg. 15．写出一个解为x≤1不等式　 　． 16．下列数值-2、-1.5、-1、0、1、1.5、2 中能使 1-2x＞0 成立的个数有　 　 个. 17．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为　 　． 18．若的解集中的最大整数解为2，则a的取值范围是　 　． 19．下列命题中：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ．正确的有　 　．（只填写正确命题的序号） 20．若，且，设，则t的取值范围为　 　． （三）．解答题 21．将下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x＞－6； (2)x≤3； (3)x＞－1； (4)－2＜x≤3. 22．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）求＋|b|－的值； （2）比较a＋b，b＋c，c－b的大小，用“>”号将它们连接起来． 23.用等号或不等号填空： （1）比较4m与m2+4的大小 当m=3时，4m_______m2+4 当m=2时，4m_______m2+4 当m=-3时，4m_______m2+4 （2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由． （3）比较x2+2与2x2+4x+6的大小关系，并说明理由． （4）比较2x+3与-3x-7的大小关系． 24.阅读下列材料： 问题：已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 解：∵x-y=2．∴x=y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1．∴y＞-1．又∵y＜0，∴-1＜y＜0．① ∴-1+2＜y+2＜0+2．即1＜x＜2．② ①+②得-1+1＜x+y＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x-y=3，且x＞-1，y＜0，则x的取值范围是_________；x+y的取值范围是________________； （2）已知x-y=a，且x＜-b，y＞2b，若根据上述做法得到3x-y的取值范围是-5＜3x-y＜5，求a、b的值． 25．已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… (1)填空：[0.3333]＝____，[8.05]＝____； 若[x]＝5，则x的取值范围是__________． (2)某市的出租车收费标准如下：3 km以内(包括3 km)收费5元，超过3 km的，每超过1 km，加收1.2元(不足1 km按1 km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算： 当0＜x≤3时，y＝5； 当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)． 某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围． 26．某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆0.5元，一般车保管费是每辆0.3元． (1)若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y与x的关系式． (2)若估计前来停放的3500辆自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的取值范围． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.用不等号（___、___、___、___、___）表示不等关系的式子叫做不等式。 2.常见的不等号中，“≤”表示______，“≥”表示______，“≠”表示______。 3.含有______的不等式叫做一元一次不等式（仅含一个未知数，且未知数的次数是1，系数不为0）。 4.能使不等式成立的______的值，叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的______，组成这个不等式的解集。 5.不等式的解集在数轴上表示时，大于向右画，小于向左画；含等号（≤、≥）时用______点表示，不含等号（<、>）时用______点表示。 6.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______，用字母表示为：如果a > b，那么a ± c ______ b ± c。 7.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______，用字母表示为：如果a > b，c > 0，那么ac ______ bc（或 ______）。 8.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______，用字母表示为：如果a > b，c < 0，那么ac ______ bc（或______ ）。 9.若x + 3 > 5，根据不等式性质1，两边同时______，可得x > 2；若-2x < 6，根据不等式性质3，两边同时______，可得x > -3。 10.数轴上表示x ≥ -1的解集时，应在表示-1的点处画______点，并向______方向延伸。 11.“x的2倍与5的差不大于3”用不等式表示为______；“y的与4的和小于-2”用不等式表示为______。 12.若a < b，则3a - 1 ______ 3b - 1（填“>”“<”或“=”）；若-5a > -5b，则a ______ b（填“>”“<”或“=”）。 13.不等式的解集是一个______，而不等式的解是解集中的______。 14.已知a > b，c为任意实数，则a + c ______ b + c，a - c ______ b - c（填“>”“<”或“=”）。 15.若 < （m ≠ 0），且a > b，则m ______ 0（填“>”或“<”）。 （二）强化训练 一．选择题 1.古诗词“黄河之水天上来，奔流到海不复回”描述了黄河的壮阔，若用x表示黄河某河段的年径流量（单位：亿立方米），下列式子中属于不等式的是（ ） A. x + 200 B. 3x = 1500 C. x - 500 > 800 D. 2x + 3y 2.2025年我国5G基站总数突破400万个，设2024年5G基站数为a万个，“2025年基站数比2024年增长不少于20%”，则下列不等式正确的是（ ） A. a + 0.2a > 400 B. a(1 + 20%) ≤ 400 C. a(1 + 20%) ≥ 400 D. a - 0.2a < 400 3．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．下列不等式的变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列叙述：①若a是非负数，则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2－10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2＞0.其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的－3.6和x，则(　　) A．9<x<10 B．10<x<11 C．11<x<12 D．12<x<13 8.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列关系式一定成立的是(　　) A.>　　　　 B.a+c>b+c C.2a>2b　　　　D.a-c>b-c 9.已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>b2;③若b<0,则a+b<2b;④若b>0,则<,其中正确的个数是(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 10．对于命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a，b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2； ②a，b是有理数，若a＞b，且a+b＞0，则a2＞b2； ③a，b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2； ④a，b是有理数，若a＜b且a+b＜0，则a2＞b2．其中，真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．已知：，请写出一个使不等式成立的m的值，这个值可以为　 　． 12．用“>”或“<”填空：若，则a　 　b. 13.若(m+2026)x<m+2026的解集为x>1,则m的取值范围是　　　　.  14.定义新运算“θ”的规则为aθb=-2a+3b,如:1θ5=-2×1+3×5=13,则不等 15．如果a＞b，那么a(a－b)________b(a－b)．(填“＞”或“＜”号) 16．若x+y＞x﹣y，y﹣x＞y，那么（1）x+y＞0，（2）y﹣x＜0，（3）xy≤0，（4）＜0中，正确结论的序号为　 　． 17．已知关于x的不等式x>表示在数轴上如图所示，则a的值为______. 18．当0<x<1时，x2，x，的大小顺序是__________________. 19．已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，则化简：|m－1|－|2－m|＝_______． 20. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________． 三．解答题 21. 把下列不等式在数轴上表示出来． (1)x≥－4； (2)x＞－1； (3)x≤3； (4)x<－. 22．请你根据非负数的意义和不等式的解集的意义，写出下列解集． (1)不等式x2＞0的解集； (2)不等式|x|＞0的解集． 23.【提出问题】已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围. 【分析问题】先根据已知条件用一个量y表示另一个量x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建关于另一个量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式的性质即可获解. 解:因为x-y=2,所以x=y+2.因为x>1,所以y+2>1,所以y>-1.又因为y<0,所以-1<y<0.① 同理,得1<x<2,②由①+②,得-1+1<y+x<0+2,所以x+y的取值范围是0<x+y<2. 【尝试应用】已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值范围. 24.根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较4+3a²-2b+b²与3a²-2b+1的大小； （2）若2a+2b＞3a+b，比较a、b的大小． 25．阅读下面的材料并填空． 你能比较两个数20252026与20262025的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n为正整数)．然后分析n＝1，n＝2，n＝3，n＝4……先从这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)： ①12____21. ②23____32. ③34____43. ④45____54. (2)从第(1)小题的结果经过归纳，对于任意正整数n，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系是___________________________________． (3)根据上面的归纳猜想得到一般结论，可以得到20252026与20262025的大小关系是_________． 26.阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2) 参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第一节不等式及其性质》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解不等式的概念，能准确识别不等式，区分不等式与等式； 2.掌握不等式的解集定义，会用数轴表示简单不等式的解集； 3.探索并熟练掌握不等式的三条基本性质，能利用性质进行不等式的变形； 4.能运用不等式的概念、解集及性质解决简单的数学问题，提升逻辑推理和应用能力。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.不等式的概念及准确判断； 2.不等式的三条基本性质及其应用； 3.不等式解集的含义及数轴表示方法。 （二）难点 1.对不等式解集的理解及数轴表示中 “ 实心点 ” 与 “ 空心圆圈 ” 的区别； 2.不等式性质3的灵活运用（注意不等号方向的改变）； 3.运用不等式性质解决含参或实际情境问题。 ) 三．课前预习 1.用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做________；常见的不等号有________种，分别是________。 2.使不等式成立的________的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的________的解，组成这个不等式的解集。 3.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向________；用字母表示为：如果a > b，那么a ± c ________ b ± c。 4.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个________数，不等号的方向不变；用字母表示为：如果a > b，c > 0，那么ac ________ bc（或________）。 5.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个________数，不等号的方向改变；用字母表示为：如果a > b，c < 0，那么ac ________ bc（或________）。 6.在数轴上表示不等式的解集时，大于向________画，小于向________画；含等号时用________表示，不含等号时用________表示。 【答案】1.不等式；5；>、<、≥、≤、≠ 2.未知数；所有 3.不变；> 4.正；>；> 5.负；<；< 6.右；左；实心点；空心圆圈 四．课堂探秘 探究一：不等式的概念 如图用两根长度均为/cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆. (1)如果要使正方形的面积不大于25cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式? 【解析】（1）正方形面积不大于25cm2，正方形边长为cm，面积为cm2。 根据题意：两边开平方（l>0）：，解得：l≤20 因为绳长l>0，所以绳长满足的关系式为0 < l ≤ 20。 (2)如果要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式? 【解析】圆的面积不小于100cm2， 圆的半径为cm，面积为cm2。根据题意： 。化简得：，两边乘4л：l2 ≥400л，开平方（l>0）： 代入л≈3.14，得≈35.44，所以绳长满足的关系式为或 l≥35.44。 (3)当l=8时，正方形和圆的面积哪个大? 1=12呢? 改变l的取值再试一试，由此你能得到什么猜想? 【解析】当l=8时：正方形面积：(8÷4)2 = 4cm2，圆的面积：，圆的面积更大。当l=12时：正方形面积：(12÷4)2 = 9cm2，圆的面积：，圆的面积更大。再试l=16：正方形面积：(16÷4)2= 16cm2，圆的面积：，圆的面积更大。 猜想：在周长相等的情况下，圆的面积总是大于正方形的面积。 做一做 (1)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm.设行李的长、宽、高分别为acm，bcm，ccm,请你列出行李的长、宽、高满足的关系式. 【解析】根据题意，行李的长、宽、高三边之和不得超过160cm，因此关系式为：a+b+c≤160 (2)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方为测量部位.某树栽种时的树围为6cm，以后10年内每年增加约3cm，设经过x年后这棵树的树围超过30cm，请你列出x满足的关系式. 【解析】树现在的树围为6cm，每年增加3cm，经过x年后，树围为(6 + 3x)cm。题目要求树围超过30cm，因此关系式为：6 + 3x > 30。 由上述问题分别得到如下关系式: >，a+b+c≤160，6 + 3x > 30。 观察这几个关系式，它们有什么共同特点? 【解析】这些关系式的共同特点如下：（1）都用不等号连接：分别使用了 > 、 ≤ 、 > ，用来表示两个量之间的不等关系，而非相等关系。（2）都是不等式：它们都是用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。（3）可以含有未知数：比如  a+b+c≤160  中的  a,b,c ， 6+3x>30  中的  x ，也可以是含字母的表达式（如  π( l/(2π) )² > ( l/4 )²  中的  l ）。（4）反映的是数量间的不等关系：不是等式，不表示两边相等，而是表示一边大于、小于、不大于或不小于另一边。 1. 不等式的定义 用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。 常见不等号的含义： > ：大于 ；< ：小于； ≥ ：大于或等于（“不小于”）；≤ ：小于或等于（“不大于”）；≠ ：不等于。 2.理解 （1）不等关系：不等式描述的是两个量之间不相等的关系，与等式（用 = 连接）本质不同。 （2）字母与未知数：不等式中可以含有未知数（如 x+3>5），也可以是不含未知数的恒成立不等关系（如 5>3）。 探究二：不等式的解集 燃放某种烟花时，为了确保安全，燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10m以外的安全区域.已知引火线的燃烧速度为0.02m/s，燃放者离开的速度为4m/s，那么引火线的长度应满足什么条件? 设引火线的长度应为xcm，根据题意，得 >根据不等式的基本性质，得x>5.所以，引火线的长度应大于5cm. 想一想 (1)x=4,5.6,7.2能使不等式x>5成立吗? 【解析】当 x=4：4>5 ❌ 不成立；当 x=5：5>5 ❌ 不成立；当 x=6：6>5 ✅ 成立；当 x=7.2：7.2>5 ✅ 成立结论：x=6, 7.2 能使不等式 x>5 成立；x=4, 5 不能。 (2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗? 【解析】只要 x 是大于 5 的实数即可，例如：x=5.1、x=6、x=10、x=100 等。 1.不等式的解、解集、解不等式概念 （1）不等式的解 使不等式成立的未知数的某个值，叫做不等式的解。 例如：在 x>5 中，x=6 是它的一个解，x=7.2 也是它的一个解。 特点：一个不等式通常有无数个解（除非是恒不成立的不等式）。 （2）不等式的解集 使不等式成立的未知数的所有值的集合，叫做不等式的解集。 例如：x>5 的解集就是所有大于5的实数，记作 x>5。 特点：解集是一个范围，包含了所有满足不等式的解。 （3）解不等式 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内. 不等式x一5-1的解集x4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内. 2.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 探究三：不等式的性质 根据等式的基本性质可以对方程进行变形，进而求解方程。类似地，为对不等式进行变形，就需要研究不等式的基本性质。 我们不难理解以下结论: （1）如果a>b.那会b<a。 （2）如果a<b,b<c,那么a<c。 除此之外，你认为不等式还有哪些性质呢? 做一做 完成下列填空: 你发现了什么? 【答案】< < > > > 【解析】我们先一步步计算每个式子，再观察规律： 2 < 3 2×5 = 10，3×5 = 15 → 10 < 15 ✅ 2×= 1，3× = 1.5 → 1 < 1.5 ✅ 2×(-1) = -2，3×(-1) = -3 → -2 > -3 ✅ 2×(-5) = -10，3×(-5) = -15 → -10 > -15 ✅ 2 ×(-) = -1，3×(-) = -1.5 → -1 > -1.5 ✅ 发现的规律：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 【不等式的基本性质】 性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 要点诠释： 不等式的基本性质的掌握应注意以下几点： （1）不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． （2）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【经典例题】 例1.下列式子中，哪些是不等式？哪些不是？ （1）3x - 2 = 5； （2）2x + 3 > 7； （3）5 < 8； （4）x - 1 ≤ 0； （5）2a + b； （6） + 2 ≠ 3 【答案】：（2）（3）（4）（6）是不等式；（1）（5）不是。 【解析】：根据不等式的定义，用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子是不等式。（1）是等式，用“=”连接，不是不等式；（5）是代数式，不含不等号，不是不等式；（2）（3）（4）（6）分别用“>”“<”“≤”“≠”表示不等关系，符合不等式的定义，因此是不等式。 例2.在数轴上表示不等式x>-1的解集，并说明表示方法的依据。 【答案】：数轴表示如下 在数轴上找到表示-1的点，用空心点表示（因为不包含-1），然后从该点向右画一条射线，即为x>-1的解集。 【解析】：不等式的解集x> -1表示所有大于-1的实数，在数轴上表示时，“>”说明不包含端点-1，所以用空心点标记；大于-1的数在数轴上位于-1的右侧，因此从空心点向右画射线即可。注意：空心圆圈表示不包含端点，实心点表示包含端点，方向与不等号方向一致（大于向右，小于向左）。 例3.利用不等式的性质，将下列不等式化为“x > a”或“x < a”的形式： （1）x - 5 < 1；（2）3x > -6；（3）-2x + 3 ≤ 7 【答案】：（1）x < 6；（2）x > -2；（3）x ≥ -2 【解析】： （1）根据不等式性质1，不等式两边加5，不等号方向不变：x - 5 + 5 < 1 + 5，化简得x < 6； （2）根据不等式性质2，不等式两边除以3（正数），不等号方向不变：3x ÷ 3 > -6 ÷ 3，化简得x > -2； （3）第一步，根据不等式性质1，两边减3：-2x + 3 - 3 ≤ 7 - 3，化简得-2x ≤ 4；第二步，根据不等式性质3，两边除以-2（负数），不等号方向改变：-2x ÷ （-2） ≥ 4 ÷ （-2），化简得x ≥ -2。 五．课堂检测 （一）．选择题 1.下列各式中，属于不等式的是（ ） A. 2x + 3 B. 3x - 1 = 5 C. 5 - 2x > 0 D. 4x + 2y = 7 【答案】：C 【解析】：选项A是代数式，不含不等号；选项B、D是等式，用“=”连接；选项C用“>”表示不等关系，符合不等式的定义，故选C。 2.不等式x < 4的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】：C 【解析】：不等式x < 4的正整数解是1、2、3，共3个，故选C。注意：正整数是指大于0的整数，不包含0和4（因为x < 4，不包含4）。 3.如图所示，该数轴表示的不等式解集是（ ） A. x > 2 B. x < 2 C. x ≥ 2 D. x ≤ 2 【答案】：B 【解析】：数轴上空心圆圈表示不包含端点-2，向左画射线表示小于-2，因此解集是x < -2，故选B。 4.若a > b，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a - 3 < b - 3 B. 2a > 2b C. -a > -b D. < 【答案】：B 【解析】：选项A，根据不等式性质1，a > b两边减3，不等号方向不变，应得a - 3 > b - 3，A错误；选项B，根据不等式性质2，a > b两边乘2（正数），不等号方向不变，得2a > 2b，B正确；选项C，根据不等式性质3，a > b两边乘-1（负数），不等号方向改变，应得-a < -b，C错误；选项D，根据不等式性质2，a > b两边除以2（正数），不等号方向不变，应得>，D错误，故选B。 5.2025年全国两会提出“绿色低碳发展”，某企业计划每月减少碳排放x吨，若“每月减少的碳排放量不低于15吨”，下列式子能表示该不等关系的是（ ） A. x < 15 B. x > 15 C. x ≥ 15 D. x ≤ 15 【答案】：C 【解析】：“不低于”表示大于或等于，对应不等号“≥”，因此x≥15符合题意，故选C。 6.杭州亚运会吉祥物“江南忆”系列文创产品热销，某网店规定单个订单金额y元满足“y超过200元免运费”，则该不等关系可表示为（ ） A. y ≥ 200 B. y > 200 C. y < 200 D. y ≤ 200 【答案】：B 【解析】：“超过”表示严格大于，对应不等号“>”，因此y > 200符合题意，故选B。 7．用不等式的性质说明右图中的事实，正确的是（　　） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么a>b D．若，那么 【答案】A 【解析】由第一个图可得： ，由第二个图可得：a＞b，∴ 若，那么 ，故答案为：A. 8．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵不等式的解集为，∴a-1＜0，∴a＜1故答案为：A. 9．实数，对应的位置如图所示，下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A a距离零点比b远， 不正确 B ，两边同时乘以负数，不等号方向要改变， 不正确 C 点a向右移动5个单位到零点右侧，不正确 D 不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，正确 故答案为：D 10．已知方程组的解x为正数，y为非负数，给出下列结论：①；②当时，；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则.其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．②③④ 【答案】D 【解析】，①+②，得，①-②，得，① x为正数，y为非负数，，解得，，①错误；② 当时， ，，，②正确；③ 当时， ，， 左边，右边，左边=右边，方程组的解也是方程的解， ③正确；④，，∴，∴，∴，，④正确. 故答案为：D. （二）．填空题 11.如图x和5分别是天平上左边的物体和右边砝码的质量,用“>”或“<”填空:x　　5.  【答案】　< 【解析】　根据题图可知被测物体的质量x小于砝码的质量5. 12.某校组织同学们到红色革命根据地新四军军部纪念馆参观,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是　　　　.  【答案】租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 【解析】45x表示乘坐45座客车的人数,30y表示乘坐30座客车的人数,≥500表示不少于500. 13.如图1,一个容量为600 cm3的杯子中装有300 cm3的水,将四颗相同的玻璃球放入这个杯子中,结果如图2,设每颗玻璃球的体积为x cm3,根据题意可列不等式为　　　　　.  【答案】　300+4x<600 【解析】　水的体积为300 cm3,四颗相同的玻璃球的体积为4x cm3,根据题意得300+4x<600. 14．如图是某种药品的说明书上贴有的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是____mg. 【答案】10～30 【解析】 本题是一道和实际生活关系密切的问题，它取材于某种药品的说明书，从说明书上可以看到这种药每天的用量是30～60 mg，每天2～3次．当每天服药2次时，每次最多用量是60÷2＝30(mg)；当每天服药3次时，每次最少用量是30÷3＝10(mg)，所以这种药一次服用的剂量范围是10～30 mg. 15．写出一个解为x≤1不等式　 　． 【答案】2x≤2 【解析】根据不等式的性质，在x≤1的两边同时乘以或除以一个正数，或者在x≤1的两边同时加上或者减去一个数，比如，2x≤2，5x≤5，x+2≤3，x-6≤-5，这些不等式的解集都是x≤1，答案不唯一．故答案为2x≤2（答案不唯一，正确即可）． 16．下列数值-2、-1.5、-1、0、1、1.5、2 中能使 1-2x＞0 成立的个数有　 　 个. 【答案】4 【解析】1-2x>0，解得：x< ，满足x< 有-2、-1.5、-1、0共4个，故答案为：4． 17．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为　 　． 【答案】2＜a≤3 【解析】关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则正整数解是：1，2．则a的取值范围：2＜a≤3．故答案为：2＜a≤3 18．若的解集中的最大整数解为2，则a的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】∵x<a的解集中的最大整数解为2，∴2<a≤3，故答案为2<a≤3． 19．下列命题中：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ． 正确的有　 　．（只填写正确命题的序号） 【答案】②③ 【解析】①若 ，则 ，故①不符合题意；②若 ，则 ，故②符合题意；③若 ， ， ，故③符合题意； ④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④不符合题意； 故正确的有：②③，故答案是：②③． 20．若，且，设，则t的取值范围为　 　． 【答案】 【解析】∵，∴b=3a+3，c=2a，∴t=2a+b-c=3a+3，∵， ∴3a+3≥0，2a≤2，解得：-1≤a≤1，∴0≤3a+3≤6，即 ；故答案为： . （三）．解答题 21．将下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x＞－6； (2)x≤3； (3)x＞－1； (4)－2＜x≤3. 解：(1) (2) (3) (4) 22．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）求＋|b|－的值； （2）比较a＋b，b＋c，c－b的大小，用“>”号将它们连接起来． 解：(1)由图知，a＜0，b＜0，c＞0，a<b<c.∴＋|b|－＝－b－＝1. (2)c－b>b＋c>a＋b. 23.用等号或不等号填空： （1）比较4m与m2+4的大小 当m=3时，4m_______m2+4 当m=2时，4m_______m2+4 当m=-3时，4m_______m2+4 （2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由． （3）比较x2+2与2x2+4x+6的大小关系，并说明理由． （4）比较2x+3与-3x-7的大小关系． 解：（1）＜=＜； （2）∵（m2+4）-4m=（m-2）2≥0，∴无论取什么值，总有4m≤m2+4； （3）∵（2x2+4x+6）-（x2+2）=x2+4x+4=（x+2）2≥0∴x2+2≤2x2+4x+6； （4）∵（2x+3）-（-3x-7）=5x+10，∴当5x+10＞0时，即x＞-2时，2x+3＞-3x-7， 当5x+10=0时，即x=-2时，2x+3=-3x-7，当5x+10＜0时，即x＜-2时，2x+3＜-3x-7． 24.阅读下列材料： 问题：已知x-y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 解：∵x-y=2．∴x=y+2，又∵x＞1，∴y+2＞1．∴y＞-1．又∵y＜0，∴-1＜y＜0．① ∴-1+2＜y+2＜0+2．即1＜x＜2．② ①+②得-1+1＜x+y＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x-y=3，且x＞-1，y＜0，则x的取值范围是_________；x+y的取值范围是________________； （2）已知x-y=a，且x＜-b，y＞2b，若根据上述做法得到3x-y的取值范围是-5＜3x-y＜5，求a、b的值． 解：（1）∵x-y=3，∴x=y+3，又∵x＞-1，∴y+3＞-1，∴y＞-4．又∵y＜0，∴-4＜y＜0，①∴-1＜y+3＜3即-1＜x＜3，② 由①+②得-1-4＜y+x＜0+3 ∴x+y的取值范围是-5＜x+y＜3； （2）∵x-y=a，∴x=y+a，又∵x＜-b，∴y+a＜-b，∴y＜-a-b，又∵y＞2b，当-a-b＞2b，即a＜-3b时，∴2b＜y＜-a-b，∴a+b＜-y＜-2b，①a+2b＜y+a＜-b，即a+2b＜x＜-b，②由3×②+①得3a+6b+a+b＜3x-y＜-3b-2b，即4a+7b＜3x-y＜-5b，∵3x-y的取值范围是-5＜3x-y＜5， 25．已知x＞0，现规定符号[x]表示大于或等于x的最小整数，如[0.5]＝1，[4.3]＝5，[6]＝6…… (1)填空：[0.3333]＝____，[8.05]＝____； 若[x]＝5，则x的取值范围是__________． (2)某市的出租车收费标准如下：3 km以内(包括3 km)收费5元，超过3 km的，每超过1 km，加收1.2元(不足1 km按1 km计算)．用x表示所行的路程(单位：km)，y表示行x(km)应付的乘车费(单位：元)，则乘车费可按如下的公式计算： 当0＜x≤3时，y＝5； 当x＞3时，y＝5＋1.2([x]－3)． 某乘客乘出租车后付费18.2元，求该乘客所乘路程的取值范围． 解：（1）1 9 4＜x≤5 (2)因乘客付费18.2元＞5元，故乘客乘车路程超过3 km，根据题意，可知 5＋1.2([x]－3)＝18.2，∴[x]－3＝11，∴[x]＝14，∴13＜x≤14. 故该乘客所乘路程的取值范围为13 km＜x≤14 km. 26．某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆0.5元，一般车保管费是每辆0.3元． (1)若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y与x的关系式． (2)若估计前来停放的3500辆自行车中，变速车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的取值范围． 解：(1)由题意，得y＝0.3x＋0.5(3500－x)，即y＝－0.2x＋1750. (2)∵变速车停放的辆次不小于3500的25%，但不大于3500的40%， ∴一般自行车停放的辆次是在3500×60%与3500×75%之间． 当x＝3500×60%＝2100时，y＝－0.2×2100＋1750＝1330. 当x＝3500×75%＝2625时，y＝－0.2×2625＋1750＝1225. ∴这个星期天保管费的收入在1225元至1330元之间． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.用不等号（___、___、___、___、___）表示不等关系的式子叫做不等式。 2.常见的不等号中，“≤”表示______，“≥”表示______，“≠”表示______。 3.含有______的不等式叫做一元一次不等式（仅含一个未知数，且未知数的次数是1，系数不为0）。 4.能使不等式成立的______的值，叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的______，组成这个不等式的解集。 5.不等式的解集在数轴上表示时，大于向右画，小于向左画；含等号（≤、≥）时用______点表示，不含等号（<、>）时用______点表示。 6.不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______，用字母表示为：如果a > b，那么a ± c ______ b ± c。 7.不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______，用字母表示为：如果a > b，c > 0，那么ac ______ bc（或 ______）。 8.不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______，用字母表示为：如果a > b，c < 0，那么ac ______ bc（或______ ）。 9.若x + 3 > 5，根据不等式性质1，两边同时______，可得x > 2；若-2x < 6，根据不等式性质3，两边同时______，可得x > -3。 10.数轴上表示x ≥ -1的解集时，应在表示-1的点处画______点，并向______方向延伸。 11.“x的2倍与5的差不大于3”用不等式表示为______；“y的与4的和小于-2”用不等式表示为______。 12.若a < b，则3a - 1 ______ 3b - 1（填“>”“<”或“=”）；若-5a > -5b，则a ______ b（填“>”“<”或“=”）。 13.不等式的解集是一个______，而不等式的解是解集中的______。 14.已知a > b，c为任意实数，则a + c ______ b + c，a - c ______ b - c（填“>”“<”或“=”）。 15.若 < （m ≠ 0），且a > b，则m ______ 0（填“>”或“<”）。 【答案】1.<、>、≤、≥、≠ 2.小于或等于（不大于）、大于或等于（不小于）、不等于 3.一个未知数且未知数的次数是1 4.未知数、所有解 5.实心、空心 6.不变、> 7.不变、>、> 8.改变、<、< 9.减3、除以-2（或乘-） 10.实心、右 11.2x - 5 ≤ 3、y + 4 < -2 12.<、< 13.集合、单个元素 14.>、> 15.< （二）强化训练 一．选择题 1.古诗词“黄河之水天上来，奔流到海不复回”描述了黄河的壮阔，若用x表示黄河某河段的年径流量（单位：亿立方米），下列式子中属于不等式的是（ ） A. x + 200 B. 3x = 1500 C. x - 500 > 800 D. 2x + 3y 【答案】：C 【解析】：不等式是用不等号表示不等关系的式子。A、D是代数式，B是等式，C用“>”表示不等关系，属于不等式，故选C。 2.2025年我国5G基站总数突破400万个，设2024年5G基站数为a万个，“2025年基站数比2024年增长不少于20%”，则下列不等式正确的是（ ） A. a + 0.2a > 400 B. a(1 + 20%) ≤ 400 C. a(1 + 20%) ≥ 400 D. a - 0.2a < 400 【答案】：C 【解析】：“增长不少于20%”即2025年基站数≥2024年基站数×(1+20%)，因此a(1+20%) ≥ 400，故选C。 3．若，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、∵a＞b，∴-4a＜-4b，故此选项的不等式成立，符合题意；B、当a＞b时，a-3＞b+3不一定成立，如a=1，b=-2，a-3＜b+3，故此选项的不等式不一定成立，不符合题意； C、∵a＞b，∴a+2＞b+2，故此选项的不等式不成立，不符合题意；D、当a＞b时，a2＞b2不一定成立，如a=1，b=-2时，a＞b，但a2＜b2，故此选项的不等式不一定成立，不符合题意.故答案为：A. 4．下列不等式的变形正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【解析】A：当c<0时，ac>bc，不符合题意；B：当c<0时，a>b，不符合题意；C：不等号两边加减同一个数，不等号方向不变，符合题意；D：不等号两边加减同一个数，不等号方向不变，则a>b，不符合题意。故答案为：C 5．若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可知A，B均错误；根据不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变，可知D错误；根据不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，可知C正确。 故选：C 6．下列叙述：①若a是非负数，则a≥0；②“a2减去10不大于2”可表示为a2－10＜2；③“x的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a2＋b2＞0.其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 ①非负数是大于或等于零的实数，即a≥0，故①正确；②“a2减去10不大于2”可表示为a2－10≤2，故②错误；③“x的倒数超过10”就是“x的倒数大于10”，可表示为＞10，故③正确；④“a，b两数的平方和为正数”，即“a，b两数的平方和大于零”，可表示为a2＋b2＞0，故④正确．综上所述，正确的叙述有3个．故选C. 7．如图，将一刻度尺放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“0 cm”和“15 cm”分别对应数轴上的－3.6和x，则(　　) A．9<x<10 B．10<x<11 C．11<x<12 D．12<x<13 【答案】C 【解析】 由题意，得x＋3.6＝15，解得x＝11.4.11<11.4<12.故选C. 8.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示,下列关系式一定成立的是(　　) A.>　　　　 B.a+c>b+c C.2a>2b　　　　D.a-c>b-c 【答案】A　 【解析】由数轴可知a<b<0<c,∴>0,<0,∴>,故A正确.∵a<b,∴a+c<b+c,2a<2b,a-c<b-c,故B、C、D错误.故选A. 9.已知a>b,下列结论:①a2>ab;②a2>b2;③若b<0,则a+b<2b;④若b>0,则<,其中正确的个数是(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 【答案】A　 【解析】∵a>b,∴当a>0时,a2>ab,当a<0时,a2<ab,故①中的结论错误;当|a|>|b|时,a2>b2,当|a|<|b|时,a2<b2,故②中的结论错误;∵a>b,∴a+b>2b,故③中的结论错误;∵a>b,∴当b>0时,a>b>0,∴<,故④中的结论正确,∴正确结论的个数是1.故选A. 10．对于命题“a，b是有理数，若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是真命题，给出下列以下四种说法：①a，b是有理数，若a＞b＞0，则a2＞b2； ②a，b是有理数，若a＞b，且a+b＞0，则a2＞b2； ③a，b是有理数，若a＜b＜0，则a2＞b2； ④a，b是有理数，若a＜b且a+b＜0，则a2＞b2．其中，真命题的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：D 【解析】①b是有理数，若a＞b＞0，即|a|＞|b|则a2＞b2一定成立；②a，b是有理数，若a＞b，且a+b＞0则a，b都是正数，或a，b异号，且|a|＞|b|，不论哪种情况都有|a|＞|b|，因而有则a2＞b2；③a，b是有理数，若a＜b＜0，两个负数，绝对值大的反而小，因而有|a|＞|b|，则a2＞b2；④a，b是有理数，若a＜b且a+b＜0，则a，b同是负数，或异号，不论哪种情况都有|a|＞|b|，因而有a2＞b2；故真命题的个数是4个．故选：D． 二．填空题 11．已知：，请写出一个使不等式成立的m的值，这个值可以为　 　． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵，，∴m＜0，∴使不等式成立的m的值，这个值可以为-1，故答案为：-1（答案不唯一）. 12．用“>”或“<”填空：若，则a　 　b. 【答案】＞ 【解析】∵，∴，∴.故答案为：＞. 13.若(m+2026)x<m+2026的解集为x>1,则m的取值范围是　　　　.  【答案】m<-2026 【解析】由题意知,不等号方向发生改变,则未知数x的系数为负值,即m+2026<0,解得m<-2 026. 14.定义新运算“θ”的规则为aθb=-2a+3b,如:1θ5=-2×1+3×5=13,则不等 【答案】x>6 【解析】由题意得xθ4=-2x+3×4,所以原不等式可化为-2x+12<0,所以-2x<-12,所以x>6. 15．如果a＞b，那么a(a－b)________b(a－b)．(填“＞”或“＜”号) 【答案】＞ 【解析】由a＞b，得a－b＞0，则a(a－b)＞b(a－b)． 16．若x+y＞x﹣y，y﹣x＞y，那么（1）x+y＞0，（2）y﹣x＜0，（3）xy≤0，（4）＜0中，正确结论的序号为　 　． 【答案】（4） 【解析】∵x+y＞x﹣y，y﹣x＞y ∴y＞﹣y，﹣x＞0 ∴y＞0，x＜0（1）两个数的绝对值不确定，符号也不确定，错误；（2）y﹣x属于大数减小数，结果应大于0，错误；（3）xy不会出现等于0的情况，错误；（4）异号两数相除，结果为负，正确；∴正确结论的序号为（4）． 17．已知关于x的不等式x>表示在数轴上如图所示，则a的值为______. 【答案】1 【解析】由题意，知＝－1，解得a＝1. 18．当0<x<1时，x2，x，的大小顺序是__________________. 【答案】x2<x< 【解析】∵0<x<1，∴在不等式0<x<1的两边都乘x，得0<x2<x；在不等式0<x<1的两边都除以x，得0<1<.∴x2<x<. 19．已知关于x的不等式(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，则化简：|m－1|－|2－m|＝_______． 【答案】 【解析】∵(m－1)x＞6，两边同除以m－1，得x＜，∴m－1＜0，两边都加上1，得m＜1，∴2－m＞0，∴|m－1|－|2－m|＝(1－m)－(2－m)＝1－m－2＋m＝－1. 20. 对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？”为一次操作．如果操作只进行一次就停止，则x的取值范围是________． 【答案】x＞49 【解析】根据程序可得：第一次的结果为2x﹣10，没有输出，则2x﹣10＞88，解得x＞49故答案为：x＞49． 三．解答题 21. 把下列不等式在数轴上表示出来． (1)x≥－4； (2)x＞－1； (3)x≤3； (4)x<－. 解：(1) (2) (3) (4) 22．请你根据非负数的意义和不等式的解集的意义，写出下列解集． (1)不等式x2＞0的解集； (2)不等式|x|＞0的解集． 解：（1）一个数的平方是非负数，所以只要x不等于0即可，所以不等式x2＞0的解集是不等于0的全体数. （2）一个数的绝对值是非负数，所以只要x不等于0即可，所以不等式|x|＞0的解集是不等于0的全体数 23.【提出问题】已知x-y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围. 【分析问题】先根据已知条件用一个量y表示另一个量x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建关于另一个量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式的性质即可获解. 解:因为x-y=2,所以x=y+2.因为x>1,所以y+2>1,所以y>-1.又因为y<0,所以-1<y<0.① 同理,得1<x<2,②由①+②,得-1+1<y+x<0+2,所以x+y的取值范围是0<x+y<2. 【尝试应用】已知x-y=-3,且x<-1,y>1,求x+y的取值范围. 解:因为x-y=-3,所以x=y-3.因为x<-1,所以y-3<-1,所以y<2.又因为y>1,所以1<y<2.① 同理,得-2<x<-1,②由①+②,得1-2<y+x<2-1,所以x+y的取值范围是-1<x+y<1. 24.根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题： （1）比较4+3a²-2b+b²与3a²-2b+1的大小； （2）若2a+2b＞3a+b，比较a、b的大小． 解：（1）∵（4+3a2-2b+b2）-（3a2-2b+1）=4+3a2-2b+b2-3a2+2b-1=b2+3＞0， ∴4+3a2-2b+b2＞3a2-2b+1； （2）∵2a+2b＞3a+b，∴（2a+2b）-（3a+b）＞0，∴2a+2b-3a-b＞0，∴-a+b＞0，∴a＜b． 25．阅读下面的材料并填空． 你能比较两个数20252026与20262025的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较nn＋1与(n＋1)n的大小(n为正整数)．然后分析n＝1，n＝2，n＝3，n＝4……先从这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组数的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”)： ①12____21. ②23____32. ③34____43. ④45____54. (2)从第(1)小题的结果经过归纳，对于任意正整数n，可以猜想出nn＋1和(n＋1)n的大小关系是___________________________________． (3)根据上面的归纳猜想得到一般结论，可以得到20252026与20262025的大小关系是_________． 解：（1）①＜. ②＜. ③_＞. ④＞_. （2）nn＋1＜(n＋1)n(n≤2)，nn＋1＞(n＋1)n(n≥3)． （3）由以上结果可知，当n≤2时nn+1＜（n+1）n；当n＞2时，nn+1＞（n+1）n． ∵2025＞2，∴20252026＞20262025． 26.阅读下列材料，解决问题： 【问题背景】 小明在学习完不等式的性质之后，思考： “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢？” 在老师的启发下，小明首先把问题转化为以下的形式： ①已知：，． 求证：． ②已知：，． 求证：． 【问题探究】 (1)针对①小明给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据： ，即是一个负数， 的相反数是正数，即， ， （依据：______）， 即， 不等式的两端同时加可得： （依据：______）， 合并同类项可得：， 即：得证． (2) 参考（1）的结论或证明方法，完成②的证明． 解：（1），即是一个负数，的相反数是正数，即， ，（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变），即，不等式的两端同时加可得： （依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一整式，不等号方向不变），合并同类项可得：，即：得证． 故答案为：不等式的基本性质：不等式的两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个整式，不等号方向不变； （2），即是一个负数，的相反数是正数，即，，（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时除以一个正数，不等号方向不变），即， 不等式的两端同时加可得：（依据：不等式的基本性质：不等式的两边同时加上同一个数，不等号方向不变），合并同类项，得，即：，得证． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $