以椭圆为背景的焦点三角形问题、弦长问题、面积问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

以椭圆为背景的焦点三角形问题、弦长问题、面积问题专项训练 以椭圆为背景的焦点三角形问题、弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的焦点三角形问题 以椭圆为背景的弦长问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 以椭圆为背景的焦点三角形问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（    ） A．的周长为 B．不存在点P，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点P共有6个 例2．（25-26高二上·宁夏银川·月考·多选）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 例3．（25-26高二上·陕西汉中·期中·多选）椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（    ） A． B．的坐标为 C．延长交于，则 D．内心的坐标为 例4．（25-26高二上·江苏苏州·期中·多选）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 变式1．（2025·山东济南·模拟预测·多选）已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 变式2．（25-26高二上·西藏拉萨·期末·多选）设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（    ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为 变式3．（25-26高二上·贵州贵阳·期中·多选）已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（   ） A．时，的面积为 B． C．的周长为8 D．的最小值为2 变式4．（25-26高三上·河北衡水·月考·多选）已知椭圆的左､右焦点分别是，上顶点为，点M在C上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．的最大面积为2 考点二 以椭圆为背景的弦长问题 例1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 例2．（25-26高二上·贵州黔东南·月考）已知椭圆，其中，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知斜率分别为，的两条直线都过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，及，四点.若，求的最大值. 例3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 变式1．（25-26高二上·安徽·月考）已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称. (1)若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积； (2)若直线的方程为，求的值. 变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的右焦点为，且长轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 变式3．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； (3)求面积的最大值． 例2．（25-26高三上·北京石景山·期末）已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线交于．若与的面积相等，求直线的方程． 例3．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知二次曲线，的长轴长为4，，为的左、右顶点，点为的左焦点，过作直线交于、（在的上方），连接、，直线与直线交于点.过作的切线交直线于点.当轴时，. (1)求的方程； (2)求证：直线过一定点； (3)点为线段上一动点，若直线、、三线共点，，设的面积为，的面积为，求的取值范围. 变式1．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知椭圆C：（）的中心为原点O，短轴长为，A，B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点作直线l交椭圆C于M，N（异于A，B）两点，过点F作垂直于长轴的直线与直线BM交于点D，与直线BN交于点E.设的面积为，的面积为，求证：为定值. 变式2．（25-26高二上·河北·月考）已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 变式3．（2026·河南郑州·模拟预测）已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以椭圆为背景的焦点三角形问题、弦长问题、面积问题专项训练 以椭圆为背景的焦点三角形问题、弦长问题、面积问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的焦点三角形问题 以椭圆为背景的弦长问题 以椭圆为背景的面积问题 考点一 以椭圆为背景的焦点三角形问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（    ） A．的周长为 B．不存在点P，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点P共有6个 【答案】ACD 【详解】由题意可知，， 则的周长为，故A正确； 当点位于短轴顶点时，，则， 此时，故B错误； 设，则， 在中利用余弦定理可得，， 即，即，即， 则，故的面积为，故C正确； 若，则由椭圆的对称性可知，点位于短轴顶点，共两个点； 若，由，以及椭圆的对称性可知，这样的点有个； 同理，若，这样的点也有个， 故使得为等腰三角形的点P共有6个，故D正确.    故选：ACD 例2．（25-26高二上·宁夏银川·月考·多选）已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．若，则的面积为 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【详解】对于选项A，依题意，，所以的周长为，故A选项正确； 对于选项B，若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，故B选项错误； 对于选项C，在中由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以的面积为，故C选项正确； 对于D选项，椭圆的离心率为，故D选项正确. 故选：ACD 例3．（25-26高二上·陕西汉中·期中·多选）椭圆的方程为，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的内心记为（    ） A． B．的坐标为 C．延长交于，则 D．内心的坐标为 【答案】ABD 【详解】由椭圆，可得，可得， 所以， 对于A，如图（1）所示，因为为等腰三角形，且在第一象限，则， 又由椭圆的定义，可得，所以， 取的中点，连接，则，且， 所以的面积为，所以A正确； 对于B，设，其中， 由，可得，即， 即，所以， 将代入椭圆的方程，可得，因为，可得， 所以点的坐标为，所以B正确； 对于C，如图（2）所示，设的内切圆与的切点分别为， 可得， 设的内切圆的圆心为，半径为 因为，即，解得， 又因为，解得，所以， 则，所以直线的方程为， 令，可得，解得，即， 所以，所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 例4．（25-26高二上·江苏苏州·期中·多选）已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（   ） A．的周长为12 B．的面积最大值为 C．的最大值为16 D．存在点，使得 【答案】AC 【详解】由椭圆方程可知：， 则. 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，由三角形面积公式得， 结合椭圆性质得，当在椭圆上顶点和下顶点时，最大， 则的面积最大值为，故B错误， 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16，故C正确； 对于D，作出符合题意的图形， 若存在点，使得，可知点在以为直径的圆上， 但，可知圆与椭圆没有交点， 故不存在点，使得，故D错误. 故选：AC 变式1．（2025·山东济南·模拟预测·多选）已知椭圆，且两个焦点分别为，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（　　） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【详解】椭圆，则， ， . 对于A，离心率，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最大值为16，故D正确. 故选：BD 变式2．（25-26高二上·西藏拉萨·期末·多选）设椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于、两点（不同于左、右顶点），则（    ） A． B．的离心率为 C．弦的长可能等于 D．的周长为 【答案】AB 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， 所以，A对； 对于B选项，椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，，弦的长不可能等于，C错； 对于D选项，的周长为，D错. 故选：AB. 变式3．（25-26高二上·贵州贵阳·期中·多选）已知是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（   ） A．时，的面积为 B． C．的周长为8 D．的最小值为2 【答案】ABD 【详解】由可得故，， 对于A，因点在椭圆上，故有，故， 由余弦定理得：， 解得，故的面积为，故A正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，因点在椭圆上，则的周长为，故C错误； 对于D，因，记，则， 则， 因，即， 故当或时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 变式4．（25-26高三上·河北衡水·月考·多选）已知椭圆的左､右焦点分别是，上顶点为，点M在C上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．的最大面积为2 【答案】AC 【详解】A：设，，，， ，得，由可知，， 所以椭圆的方程为， A正确； B：的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为，故B错误； C：因为， 由余弦定理，， 因,则，故C正确； D：当位于上下顶点时，此时取得最大，根据对称性取上顶点计算， 因为，则，则 此时的面积最大，为,故D错误. 故选：AC    考点二 以椭圆为背景的弦长问题 例1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 例2．（25-26高二上·贵州黔东南·月考）已知椭圆，其中，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知斜率分别为，的两条直线都过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，及，四点.若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意知，即. 设，，         由消去后整理得， ， 即，由韦达定理知，.     ，，解得，         ，即椭圆的方程为.      （2）设直线的方程为，，. 由得， ，，         ，同理得， ，     由，设，则，， ，，，     的最大值为，当且仅当时取得最大值.    例3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【详解】（1）由椭圆的定义可知，即， 又椭圆过点，故 椭圆的方程为. （2）联立 得． 设. （i）易知， 解得 （ii）将代入（i）中联立后的式子得， ， 解得， ． 变式1．（25-26高二上·安徽·月考）已知椭圆，点，，在椭圆上，且，关于原点对称. (1)若直线，的斜率存在，求直线，的斜率之积； (2)若直线的方程为，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，由题易知，即. . 因为点均在椭圆上，故有，两式相减得， 整理得，因此. （2）联立直线与椭圆方程，，消去，整理得：， 由韦达定理得，， 由弦长公式， . 变式2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的右焦点为，且长轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，即，则， 又因为椭圆的右焦点为，即，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意可得直线的方程为， 与椭圆方程联立得，得， 设，， 则，， 故. 所以线段的长为. 变式3．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知椭圆，其中离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，解得，， ∴椭圆的标准方程为． （2）分直线斜率是否存在讨论： 当斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符合题意； 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设直线与椭圆的交点为，， 则，，， 则， 化简得, 解得, ∴直线的方程为． 综上，或. 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． (1)求椭圆的标准方程； (2)判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)存在，； (3) 【详解】（1）椭圆上顶点，离心率为， ，又， 解得， 故椭圆的标准方程为； （2）当轴时，不可能垂直， 故可设直线方程为， 由，得， 方程的判别式， 设，， ， 所以， 又因为，所以 即，即：， 所以 代入可得， 整理得：，解得（舍）或， 所以直线的方程为，令，得， 所以直线过定点， ，为直角三角形， 当为中点时，即时，， 所以，存在，当时，的长度为定值； （3）由（2）知， 所以面积 ， 令，所以代入可得： ， 此时，所以面积的最大值是． 例2．（25-26高三上·北京石景山·期末）已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)点为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线交于．若与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题可得，解得， 所以椭圆的方程为，离心率. （2）如图，设，则， 由与的面积相等，则， 又，则， 所以，即，解得或， 又，所以，所以， 所以直线的斜率，所以直线的方程为. 例3．（25-26高二上·广东东莞·月考）已知二次曲线，的长轴长为4，，为的左、右顶点，点为的左焦点，过作直线交于、（在的上方），连接、，直线与直线交于点.过作的切线交直线于点.当轴时，. (1)求的方程； (2)求证：直线过一定点； (3)点为线段上一动点，若直线、、三线共点，，设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由长轴长为4，. 当轴时，，解得. . （2）设，，，，， 将代入得：. 设， ， 联立，得到. 得到. . 根据与可知. 设，，解得，即在定直线上. 对二次曲线求导，，即， 在处二次曲线的切线为. 令，则， 直线的方程为， 令，则. 注意到，中点的纵坐标为0. 又，的中点为，即过定点.    （3）由（2）可知在直线上. 设，根据点到直线距离公式，，，. ，. 联立、，得， . ，. . 变式1．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知椭圆C：（）的中心为原点O，短轴长为，A，B是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)过点作直线l交椭圆C于M，N（异于A，B）两点，过点F作垂直于长轴的直线与直线BM交于点D，与直线BN交于点E.设的面积为，的面积为，求证：为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆的短轴长为，得， 设椭圆的长轴长为，焦距为,因为，故， 即，结合，解得， 故椭圆的方程是，离心率为； （2）由题意可知直线l的斜率不为0， 设直线,，且, 联立, 则，即得， 且， 则直线的方程为，过作垂直于长轴的直线为, 令，得，则； 同理直线的方程为， 令，得，则； 又，， 则 ， 为定值9. 变式2．（25-26高二上·河北·月考）已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1); (2)（i）,（ii） 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点， 再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为可得： ，解得， 所以椭圆的方程为； （2）如图，作出符合题意的图形， （i）直线与椭圆，联立方程组消去得： ， 设交点，则， 且， 由，则， 即， 所以有， 得到， 代入， 可得恒成立，故； （ii）由弦长公式得：， 由原点到直线的距离公式得：， 所以 再令，则上式可化为： ， 因为，所以，即， 即当时，即时，面积取到最大值， 当时，即时，面积取到最小值，由于，此情况排除， 故面积. 变式3．（2026·河南郑州·模拟预测）已知椭圆经过点，左、右焦点分别为，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆的左顶点为，下顶点为，是椭圆在第一象限上的一点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点. （ⅰ）求证：四边形的面积为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由题意可得，又，解得， 故椭圆的标准方程为 （2）（ⅰ）由（1）可得：，，设，，， 且，即 则，令， 则，令，， 则， . 故求证四边形面积为定值2.    （ⅱ）直线，到直线的距离为 且 当且仅当时等号成立. 所以的面积 2 学科网（北京）股份有限公司 $