椭圆的定义与方程、离心率问题、以椭圆为背景的面积问题、定点问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

椭圆的定义与方程、离心率问题、以椭圆为背景的面积问题、定点问题专项训练 椭圆的定义与方程、离心率问题、以椭圆为背景的面积问题、定点问题专项训练 考点目录 椭圆的定义与方程 离心率问题 以椭圆为背景的面积问题 定点问题 考点一 椭圆的定义与方程 例1．（25-26高二上·吉林松原·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·北京西城·期中）已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．4 D． 例3．（25-26高二上·上海·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 例4．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是 . 例5．（25-26高二上·河北保定·期中）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)椭圆的焦点在轴上，过点，离心率； (2)椭圆的一个焦点，过点； (3)椭圆过，两点． 变式1．（25-26高二上·广西·期中）已知椭圆焦点在轴且离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·天津滨海新·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为 ． 变式4．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 . 变式5．（25-26高二上·河南南阳·月考）根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)一个焦点为，过点； (3)短轴长为2，离心率. 考点二 离心率问题 例1．（25-26高二上·安徽·期中）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·广西·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，则椭圆的离心率等于 . 例5．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 例6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为 . 变式1．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·北京西城·期中）椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上. ①若，，则的面积为 ； ②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为 . 变式5．（25-26高二上·广东·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为 ． 变式6．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若，求的面积. 例2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； 例3．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 变式1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知椭圆E： 的左焦点为，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点. (1)求椭圆E 的标准方程； (2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点 Q 的坐标； ②求△ABQ 面积的最大值. 变式2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 变式3．（25-26高二上·四川宜宾·期中）已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 考点四 定点问题 例1．（25-26高二上·浙江·期中）点是圆上的动点，是点关于轴的对称点，线段的中垂线交线段于点，记动点的轨迹为.过的直线交于两点，设直线与的另一个交点分别为. (1)求轨迹的方程； (2)证明：直线过定点. 例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．当的值确定时，证明：直线过轴上的定点． 例3．（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． (1)写出的坐标； (2)证明：直线过定点； (3)、、、四点能否共圆？请说明理由． 变式1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线与该椭圆相交于A，B两点. (1)求椭圆的方程； (2)若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 变式2．（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 变式3．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，点为上的动点，的周长为6. (1)求的标准方程. (2)若，求的面积； (3)已知直线与椭圆交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出定点的坐标.若不是，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆的定义与方程、离心率问题、以椭圆为背景的面积问题、定点问题专项训练 椭圆的定义与方程、离心率问题、以椭圆为背景的面积问题、定点问题专项训练 考点目录 椭圆的定义与方程 离心率问题 以椭圆为背景的面积问题 定点问题 考点一 椭圆的定义与方程 例1．（25-26高二上·吉林松原·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得. 故选：D. 例2．（25-26高二上·北京西城·期中）已知椭圆过点，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】已知椭圆过点得，解得， 故椭圆方程为， 设椭圆的半焦距为，则，则， 所以该椭圆的焦距为. 故选：C. 例3．（25-26高二上·上海·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为表示椭圆， 所以，解得且， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 例4．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆恰好经过四个点，，，中的三个点，则符合条件的一个椭圆的标准方程是 . 【答案】或（二选一即可） 【详解】由椭圆的对称性可知，必在椭圆上， 设椭圆方程为， 若在椭圆上，则，解得，即椭圆方程为， 若在椭圆上，则，解得，即椭圆方程为， 故答案为：或（二选一即可） 例5．（25-26高二上·河北保定·期中）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)椭圆的焦点在轴上，过点，离心率； (2)椭圆的一个焦点，过点； (3)椭圆过，两点． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 故设椭圆的标准方程为， 由题意得椭圆过点，， 可得，解得，， 则椭圆的标准方程为. （2）因为椭圆的焦点在轴上， 故设椭圆的标准方程为， 由题意得椭圆的一个焦点，过点， ，解得，， 可得椭圆的标准方程为. （3）设椭圆的方程为， 由题意得椭圆过，两点， 可得， 解得，则椭圆的标准方程为. 变式1．（25-26高二上·广西·期中）已知椭圆焦点在轴且离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆变形为， 因为焦点在轴，所以， 所以离心率，解得. 故选：D 变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知为坐标原点，长为3的线段，端点，分别在轴､轴上滑动，若动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，由，得， 则，而线段长为3，即，因此， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A 变式3．（25-26高二上·天津滨海新·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为 ． 【答案】. 【详解】由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 . 【答案】 【详解】设椭圆方程为， 由椭圆过点，，故 ，故， 故椭圆方程为：. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·河南南阳·月考）根据下列条件求椭圆的标准方程. (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)一个焦点为，过点； (3)短轴长为2，离心率. 【答案】(1) (2). (3)或. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为， 因为椭圆过点，离心率， 则有， 解得， 故椭圆的标准方程为. （2）因椭圆的一个焦点在轴上，且， 可设椭圆的标准方程为， 由点在椭圆上，代入可得 又，联立解得， 故椭圆的标准方程为. （3）由题意知，联立解得 故当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为， 故椭圆的标准方程为或. 考点二 离心率问题 例1．（25-26高二上·安徽·期中）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆中， 所以离心率. 故选：B． 例2．（25-26高二上·江苏扬州·期中）椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B 例3．（2025·广东广州·模拟预测）已知椭圆的两个焦点为，，过作直线交椭圆于，，若，且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，设，，则， 因为，所以， 在中，，所以， 化简得，则，， 在中，， 所以，即，所以离心率. 故选：D 例4．（25-26高二上·广西·期中）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，则椭圆的离心率等于 . 【答案】 【详解】设椭圆的半焦距为c，即， 由题意可知，即， 则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是 . 【答案】 【详解】∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴，则， 由，得， 由，得，且， ∴椭圆离心率的范围是. 故答案为： 例6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设为坐标原点，已知为椭圆的左､右焦点.过点作x轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则离心率为 . 【答案】 【详解】椭圆的左､右焦点为，不妨设点P， 由为等腰直角三角形知，，即， 可化为，故或（舍）. 故答案为： 变式1．（25-26高二上·江西赣州·期中）已知是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，可得，所以， 又由椭圆定义可知：， 所以， 则，所以， 故离心率为, 故选：C. 变式2．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆：，半径为， 过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点， ，，，，， ，，， 在中，由余弦定理得， ，则， ，，. 故选：D.    变式3．（25-26高三上·青海西宁·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆半焦距为，如图所示，，    设关于原点对称的点为，则为平行四边形， 由，得三点共线，且，设，则， 在中，，解得，而， 在中，由余弦定理得，，解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：C 变式4．（25-26高二上·北京西城·期中）椭圆的左顶点为，左焦点为，以为圆心，为半径作圆，设点在椭圆上，且线段的中点在圆上. ①若，，则的面积为 ； ②若线段的中点也在圆上，则椭圆离心率为 . 【答案】 【详解】因，则 ，，， 圆 的圆心为 ，半径 . 点 在椭圆上，满足椭圆方程：①， 的中点在圆上，则得， 整理得②. 联立①与②，解得：或，即得或， 于是，. 因离心率 ，则 ，，圆， 点 在椭圆上，满足椭圆方程：， 因的中点在圆上，则有，（1） 又的中点也在圆上，则有， 即，（2） 联立（1）和（2）解得 ，将 代入可得， 再将其代入到圆，可得， 整理得：， 再把 代入椭圆方程得：， 化简得：，即. 解得： 或   或 . 又因为，故. 故答案为：；    变式5．（25-26高二上·广东·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，从点射出的一条光线经直线反射后经过点，且反射后的光线与椭圆在第四象限交于点．若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】设从点射出的一条光线射到直线的点为，反射后经过点， 则点，直线的斜率为，即， 于是，由，得， 在中，由余弦定理得， 整理为0，即，而，解得， 所以椭圆的离心率为． 故答案为： 变式6．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为， 不妨设焦点在轴上，点在第一象限， 由点在线段的垂直平分线上，则， 由椭圆、双曲线的定义得：，， 则，整理得， 则，故，则， 故，其中， 令， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 即的取值范围是. 故答案为：. 考点三 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线l交椭圆C于A，B两点，当点到直线l的距离取最大值时， . (1)求椭圆C的标准方程; (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c， 当点到直线l的距离取最大值时，则轴，此时， 又椭圆C的离心率，则，即， 解得，，所以椭圆C的标准方程为. （2）由（1）可知：，即， 可知直线l与椭圆必相交，且直线l的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x得， 则，， 又因为，且， 则，结合可得， 代入可得，解得，即， 则， 所以的面积. 例2．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，得，解得，椭圆的方程为； （2）由（1），设直线，    联立，得且，故， ， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. 例3．（25-26高二上·山东·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于，两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. （2）由题设可得直线的斜率为，故其方程为， 由得，所以，， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积. 变式1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知椭圆E： 的左焦点为，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点. (1)求椭圆E 的标准方程； (2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点 Q 的坐标； ②求△ABQ 面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意知，， 当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）①由题意可设，，， 设直线的方程为， 联立，得， 则，，得， 记直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 要使为定值，则，解得或(舍去)，此时， 故在轴上存在异于点的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值． ② 由①可得，，， 则 由， 故， ， 当且仅当时等号成立，所以△面积的最大值为.    变式2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆离心率为，短轴长为． (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知椭圆的离心率为，即得：，短轴长为，即得：； 由此可得：，解得：，，， 则椭圆的方程为. （2）设，， 联立，得：， ，且，， 所以. 点到直线的距离为. 则. 变式3．（25-26高二上·四川宜宾·期中）已知椭圆分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为1，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于A，B，点在第一象限，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为. （i）若直线BC，AC的斜率分别为，证明：为常数； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）3. 【详解】（1）由题意得，解得， 则椭圆的标准方程为. （2）（i）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②， 式子①－②得， 所以； （ii）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，，    所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值成立， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 考点四 定点问题 例1．（25-26高二上·浙江·期中）点是圆上的动点，是点关于轴的对称点，线段的中垂线交线段于点，记动点的轨迹为.过的直线交于两点，设直线与的另一个交点分别为. (1)求轨迹的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，， 故， 即到点的距离之和为定值6， 而，故的轨迹是且焦点在轴上的椭圆， 故.    （2）设 当直线斜率不存在时，则直线的方程为， 将代入椭圆方程，得 取，，直线方程为， 将代入椭圆方程，解得或， 当时，；当时，， 则，，直线的方程为， 将代入椭圆方程，解得或， 当时，，当时，，则， ，， ，，此直线与轴的交点为； 取时，由对称性可知，直线与轴的交点为； 当直线斜率存在时， 设直线方程为，与椭圆方程联立得：， 代入，消去得， 结合，可得，即， 同理，由共线，得， 即，故点与点的斜率相同， 即与点共线， 综上可知，过定点.    例2．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知椭圆经过点． (1)求的离心率； (2)设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍．当的值确定时，证明：直线过轴上的定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，故， 所以的离心率． （2）由（1）知的方程为，，． 由对称性可知直线的斜率不可能为0， 设，，的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，． 所以 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过轴上的定点． 例3．（25-26高二上·浙江温州·期中）如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． (1)写出的坐标； (2)证明：直线过定点； (3)、、、四点能否共圆？请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)、、、四点不能共圆，理由见解析 【详解】（1）在椭圆中，，， 则，故. （2）若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. （3）、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 变式1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率，短轴长为2，不经过右顶点的直线与该椭圆相交于A，B两点. (1)求椭圆的方程； (2)若以AB为直径的圆恒过该椭圆的右顶点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【详解】（1）由题可知，，而，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题设直线：，，， 联立直线方程与椭圆方程得：， ，，， 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， 所以， 将，代入化简可得，， 解得或. 当时，直线与椭圆的一个交点为右顶点，与题意不符，舍去． ∴，即直线过定点.    变式2．（25-26高二上·江苏常州·期中）椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得线段长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点作关于轴对称的直线，，与椭圆交于，两点，且直线不平行轴，那么直线是否过定点？若是，求出定点；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，则， 当直线平行于轴时，，联立，则， 故，解得，则， 即椭圆的方程为； （2）设，若直线与椭圆仅有交点，则直线与椭圆仅有交点， 且平行轴，不符，故可设直线与椭圆另一交点为， 由直线，关于轴对称且直线不平行轴，则， 且两直线斜率存在，设， 联立，消去得， ，即， 有、， 则， 由对称性可得，若直线过定点，则定点必在轴上， 令，则 ， 故直线过定点. 变式3．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，点为上的动点，的周长为6. (1)求的标准方程. (2)若，求的面积； (3)已知直线与椭圆交于、两点，过点作直线的垂线，垂足为，判断直线是否与轴交于定点？若是，求出定点的坐标.若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定点（0，2） 【详解】（1）设椭圆的焦距，， 所以的周长为，即. 又椭圆的离心率为，所以， 所以，所以，，所以， 所以的标准方程为. （2）由题可知，，设，，. ， ，， 中，由余弦定理得， ， 又因为，， . （3）联立方程组，整理得， 设，，则，， 得. 设点，所以的方程为， 令，可得， 因为，所以， 所以直线经过定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $