课时分层检测(67)直线与圆锥曲线的位置关系-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

由题图知A(2,2√2)，又F(1,0), ∴直线AF的方程为y=2W2(x-1), 由{y2E(x-1D,得22-5x+2=0. y2=4x, 解得-2或子…（分，） 又G(-1,0),.kc4= 2√2 3 .kGA +kGB=0, ∴.∠AGF=∠BGF, 故GF为∠AGB的平分线 15.B[作杯子的截面得 一抛物线，如图， 建立平面直角坐标系 则点(1,1)在抛物线上， 设抛物线方程为x2= 2py(p>0),则1=2p, p=,抛物线方程为x2=y, 设球心为A(0,a)(a>0),球半径为r, P(x,y)是抛物线上任一点，|AP|= √x2+(y-a)2=√y2+(1-2a)y+a2, 则r=AP|mm,小球与杯底接触， 则上式在y=0时取得最小值， 4 此时2a20,即0a≤号，r-APlm=a, 2 所以rnx-anx-是.] 16.4[如图，设∠MAF=0, AF=a,BF=6, 由抛物线定义可得|AM =a,|BN|=b,∠MFO+ ∠NFO=∠MFA+ ∠NFB=受 在△MAF中，由余弦定理可得|MF2= 2a2(1-cos0), 同理|NF|2=2b2(1+cos), 故Saw-合42n0,5aar-之sn8 (SANF)2-IMFI2·1NF2= 4 a2B sin20. 故」 (S△MNF)2 HS△MAF·S△NBF =4.] 课时分层检测（六十七） 1.A[直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过 定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线 与椭圆相交.门 2.B[由题意知点M(一1,2)在抛物线内，且： M(-1,2)是线段AB的中点，设A(x1, y1),B(x2,y2),则x1十x2=-2,联立！ =4,两式相减得（西一）（西十 (x=4y2 )=4一.即w=兴 x1十x2= 4 2,则直线AB的方程为y 2=-(x+10,即x+2y-3=0.由 (x十2y-3=0·消去y,得2+2x-6=0 {x2=4y, 4=22-4X(-6)>0,故斜率为-号符合 题意.因此直线AB的方程为x十2y 3=0.] 3.A[x+4y+m=0y-子x-, 16+听=1， 故C错误；，直线n和双曲线的渐近线【平 行，故双曲线上，点P到直线m的距离没有 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 最小值，故D错误.故选A、B.] 16+吃=1， 8.ABD[数形结合法对于A,易知I:x= 两式相减得一业 x1十x2 -1,故1与⊙A相切，A正确； x1-2 16(y1+y2) 对于B,A(0,4),⊙A的半径r=1,当P,A 1 B三点共线时，P(4,4),所以|PA=4,PQ 4 |=√PA2-7=√-1下-√5，故B :AB中点的横坐标为1，则纵坐标为： 正确： 对于C,当PB=2时，P(1,2),B(一1,2) 将(1，）代入直线y=-子x-只，解得 1 或P(1,-2),B(-1,-2),易知PA与AB 不垂直，故C错误： m=-2.] 对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF， D[联立y=kx-1, PF,易知F(1,0),由抛物线定义可知PF= {x2-y2=1, |PB,因为|PA=|PB引，所以|PA|=|PF, 整理得(1一k2)x2+2k.x一2=0. 所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF 因为直线y=kx-1与双曲线x2-y2-1 的右支交于不同的两点， 的中套线方程为y一子十号，即=y 8 1 1一k2≠0， 2,代入y2=4x可得y2-16y十30=0，解 △=4k2+8(1-k2)>0, -2k 得y=8士√34，易知满足条件的点P有且 所以 1-2>0, 仅有两个，故D正确，故选ABD.] 9.2[因为直线方程为m2十y二0， -2 1>0, 所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上， 又因为m≠0，所以直线与x轴不平行， 解得1<k<√2， 所以直线和椭圆相交，所以交点个数为2.门 所以实数k的取值范围为(1，√2).] 人y2 =1[.a=2b,则c=√3b, ,D[因为风向线C号一若 =1(a>0,b> 3y2 ,椭圆T: 0)的渐近线方程为y=士2x, 十户=1，左焦点F(-6,0), 所以b=②a,则双曲线方程为 直线AB:y=x十b,设A(M),B(.22) a22a =1 y=x+V36, (a>0),F1(-√3a,0),F2(√5a,0), 联立方程 x2+y2 所以直线l为y=√3(x一√5a), 设M(y),N(x2y2) ;: 消去y得5x2+8√3bx+8b2=0, 2 y2 由a22a =1, 得x2-63ax+11a2 x1十x2= 84-警 (y=5(x-5a) 0， 1AB=E0 _326-8E 5 5 则x1+x2=6V3a,x1x2=11a2, 所以MN=√1+3√(x1十x2)2-4x1 可得-2周工专+-1.门 =2√/108a2-44a2=16a, 因为|M=MF2|+2a,|NF|=NF,|+2a, 11.3[由题可得F(0）A(-号0) 所以|MF,I+|NF1|=|MF2+|NF2|+ 直线MN:y= (x一)与抛物线方程 4a=|MN+4a=20a, 因为△MNF1的周长为36，所以|MF1|+ 联立， 1NF1I+|MN|=36, 消元后化简可得3.x2一5px十 p2-0 所以20a+16a=36,解得a=1, 3 所以双曲线C的方程为2-兰-1.门 解得xM=立p,xN=6p, C[由已知可得a=8,b=4,所以c=4√3 所以M(是p5p小N(合p,-号p） 故M为椭圆的右焦，点，由椭圆的性质可得 当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以 所以AM +3b 当x=45时，最短的弦长为2沙-2X16 AN 4,当弦与x轴重合时，弦长最长为2a=16, ）+3 则弦长的取值范国为[4,16]，故弦长为整数 =3.] 的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长 Z:12.E[设A(x1,y）,B(2,2), 度和为4+16+(5+6+7+…+15)× 2=240.] (ri yi =1, b2 AB[由题知，a=1,渐近线√3x-y=0→ 则 x2y吃 a2 y=√3x→ b=3→b-,c=2,故A正确： a22=1, PQ为双曲线右支上的焦，点弦，则其为通 即 （x1+x2)(x1一2)(y1+32)(y1-2） 径，即与x轴垂直时最短，PQ1m-2沙 a2 6 =0, 2×3=6,故B正确：根据双曲线定义知| 因为，点P(2,1)是线段AB的中点 PF1|-|PF2|=2a→|PF1|=2a+|PF2| 所以41一》_21-2》=0， ≥2a十c-a=a十c=1+2=3,∴.当P为双 曲线右顶点(1,0)时，PF1取最小值3，但 42(y1-y2) 此时F,P与双曲线的右支没有两个交点，！ 6(西1-)-0， 得 -517 又因为直线1的斜率为2，所以号 -2× 第3步：证明n=y1 .MF2NF1为矩形， -3y2 -0 所以1一=2x2一5 -3y2 y1=2(ty2+4)-5 S△NF,E,=4a2, y1 又S△NF,F,= 62 =4a2, 得a2=b2,即a2=c2-a2, -2ty1y2-3(y1+y2) an 所以C的离心率e=二=区.] 2ty2+3 即b2=4a2,∴.c2-a2=4a2, -21×36+3×24 13.解(1)解法一（直接法）第1步：构造关 32+432+4 即2=5a2,e=9=5.] 于a,b,c的方程组 2ty2+3 0, !3.A[如图，设直线L1的 层+品 =1 所以n=y1,所以AQ⊥y轴。 由题意知 :14.解(1)依题意，c=2, 领斜角为0.0c(0,受) c=1 所以a2+b2=4. a2=b2+c2 则直线2的倾斜角为 y2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 则双曲线C的方程为三 =1(0 4-a2 a2<4), 由抛物线的焦，点弦弦长公式知 得{b=5, (c=1 将点P62网)代入上式得导一 =1, ABI-2p 所以黄国C的方程为号+号-1 sin20 sin'DE- 解得a2=50(舍去)或a2=2, m(受+0） 解法二 第1步：构造关于a,b,c的方 故所家双自线的方程为号-苦-1 3y2 4 cos20 程组 (2)依题意，可设直线L的方程为y=k.x十 IMFI-23 2 2,代入双曲线C的方程并整理，得(1一k2) AB+I DE I-simo+co0 a 由题意知 x2-4kx-6=0. 4 c=1 因为直线！与双曲线C交于不同的两，点 16≥16， sin2 Ocos20 sin2 20 a2=b2+c2 A,B, 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 所以1一20， 当且仅当in20-1,即0=子时，等号成立， 得{b=尽， {(-4k)2+24(1-k2)>0, 即|AB|+|DE的最小值为16.] 解得≠土1， 4.B[如图所示： (c=1 所以猫圈C的方程为号+苦 {-5<k<5. =1. 设A(x1y),B(x22), 解法三（巧用椭圆的定义） 4k 则x1十x2= 1-k2x19= 6 设F为C的左焦点，连接MF 1-k2 则MF=多，FF1=2. 所以AB=√1+区·√（十）-x12= 在Rt△MFF'中， √+e.2EX3 1一 IMF|=√MF+FP 2 +2 2 又原点O到直线L的距离d= √1+k2 5 所以S△aAB=立d·|AB|=立 由题意(-6,0.c,0,P()则 由椭圆的定义知2a=|MF|+|MF|=4, 2 2c=FF'=2, c(台) 1-k2 所以a=2,c=1, V千京X+.22X自-2 由圆的切线长定理和双曲线的定义得 又a2=b2+c2,所以b=√5， 22×√3-k2 |AF1-|AF2=2a, 所以菊C的方程为号+苦-1 1-k21 所以A(a,0),又IF2平分∠PF2F1, (2)第1步：联立方程，消元得出关于y的 又SA0AB=2VE,即Y3-E ∴.AF2=|IA,则I(a,c-a), =1, 1-k2 因为IG与x轴平行， 一元二次方程，写出根与系数的关系 所以k4一k2一2=0，解得k=士√2，满足 2 分析知直线AB的斜率存在， 所以y=e,a=c-a,则=3ac-3a2， (*) 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴， 故满足条件的直线有两条， .∴.c2-3ac+2a2=0, 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB: .(c-a)(c-2a)=0,∴.c=a(舍去)或c= x=1y+4(1≠0)，A(1,y1),B(x2,2), 其方程分别为y=√2x十2和y=一√2x十2. 2a,e=￡=2，故选B.] Q(1,n), 课时分层检测（六十八） x=ty+4 5.C[不妨令直线1的倾斜 + 1.C [设∠AFx=0.0∈(0，π)及|BF|=m, 联立方程得{ 角为0， 2 9 消去x得(32+4)y2+24y+36=0, 则SAAo=2in02in0 △>0， 35, -24t 36 则1十2=3r2+491%3P+4 .'sin 0= 9取0-60 第2步：将三点共线代数化，建立关于n的 则点A到准线l:x=一1的距离为3. 代数式 小AF=1=6os0-6,BF=1+6os02, 因为N的线段FP的中点，F(1,0),所以！ 得3=2+3cos0台cos0= 3,又m=2+ .|AB=8,|AA'|=6,|BB|=2, N(号o) 2 3 mcos(x-》台m=1十os0号，故接C.] A'B'|=|AB sin0=4√3， 由N,Q,B三点共线，得kN=kNQ, 2.B[如图，由对称性知 14 Sg连形AB哪A=之(|BB|十AA'1)· 即地 MN与F,F2互相平分， A'B' 5 .四边形MF2NF1为 x2-2 平行四边形， 2x2+6X4=16,] ,F2为MM的中点， M 6.D[由已知可得F(1,0), 且|MN|=IMNI, 设M(x1y1),N(x2,y2),A(3,t), 一3y2 得n29-5 ∴.NF2⊥MF2, 则切线AM,AN的方程分别为 518课时分层检测（六十七） 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单项选择题 !二、多项选择题 1.直线y=x-十1与椭圆号+苦-1的位置关7.(2025·太原模拟)设F,R为双间线Cx2- 4 b2 系为 ( =1(b>0)的左、右焦点，过F2的直线交双曲线 A.相交 B.相切 C的右支于P,Q两点，直线l:√3x-y=0为双曲 C.相离 D.不确定 线C的一条渐近线，则 2.(2025·攀枝花模拟)已知A,B为抛物线C:x2= A.b=3 4y上的两点，M(-1,2),若AM=MB,则直线 B.弦PQ长的最小值为6 AB的方程为 ( ) C.存在点P,使得|PF1|=3 A.x-2y+3=0 B.x+2y-3=0 D.点P到直线m:W3x一y十2=0距离的最小值 C.2x-y+3=0 D.2x+y-3=0 为1 y十m=0交椭圆6十y2=1丁A,B两8.(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C: 1,P为C上动点.过P作⊙A:x2+(y-4)2=1 点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于 的一条切线，Q为切点.过P作1的垂线，垂足为 ) B.则 A.-2 B.-1 A.1与⊙A相切 C.1 D.2 B.当P,A,B三点共线时，|PQ|=√5 4.(2025·昆明模拟)已知直线1的方程为y=kx C.当|PB|=2时，PA⊥AB 1,双曲线C的方程为x2一y2=1.若直线1与双 D.满足|PA|=|PB的点P有且仅有2个 曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值 三、填空题 范围是 ( A.(-√2,2) B.[1,√2) 已知m为实数，直线mx十y一1=0与椭圆 C.[-√2，√2] D.(1,√2) y2=1的交点个数为 5已知双曲线C:三 y2 a之0b>0的渐近线10.已知椭圆1：三+芳1a>>0)的 b2 方程为y=士√2x,左、右焦点分别为F1,F2,过 短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直 点F2且斜率为√3的直线1交双曲线的右支于 线交T于A,B两点，若|AB1=8 ,则椭圆T 5 M,N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C: 的方程为 的方程为 ( :11.(2025·宁波调研)如图，抛物 B.2y2 M A号 =1 601 线C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,C的准线与x轴交于点A, A 过点F斜率为√3的直线与C交 6.(2025·西双版纳模拟)过椭圆内定点M且长度 于点M,N(M在x轴上方)，则 为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭 AM AN 圆后+。=1中，过点M4原，0)的所有“好弦 的长度之和为 12.已知斜率为2的直线1与双曲线C:后一芳-1 A.120 B.130 (a>0,b>0)交于A,B两点，若点P(2,1)是线 C.240 D.260 段AB的中点，则C的离心率等于 344 四、解答题 14.已知双曲线C:a x2 y2 =1(a>0,b>0)的两个 B,(2024·全国甲卷·理)已知椭圆C3+ 62 =1 焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(5,√23) (a>≥b>0)的右焦点为F,点M(1,2)在C上， 在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； 且MF⊥x轴. (2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线1与双 (1)求C的方程； 曲线C交于不同的两点A,B,若△OAB的面积 (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为 线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q, 为2√2，求直线1的方程. 证明：AQ⊥y轴， 345