统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 考点目录 比赛问题 方案选择问题 考点一 比赛问题 例1．（25-26高三上·重庆·月考）2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 例2．（25-26高三上·广东广州·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，每局正赛无平局时，甲赢的概率为．局正赛后，胜场多的一方获胜，若胜场数相同，则加赛一局，谁赢谁获胜（加赛局不会出现平局）．设表示每局正赛无平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．每局比赛的结果相互独立． (1)求（结果用表示）； (2)证明：； (3)若每局正赛可以出现平局时，甲赢的概率为，乙赢的概率为，且，设表示每局正赛可以出现平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．试讨论与的大小关系． 例3．（2025·甘肃白银·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，中国乒乓球队表现出色，成功包揽乒乓球项目的所有金牌（共5枚），展现了中国在乒乓球项目上的绝对实力，同时也鼓舞了乒乓球业余爱好者.下表统计了乒乓球业余爱好者甲在2024年的5次挑战高手比赛中所获得的分数. 次数 1 2 3 4 5 分数 38 37 32 33 30 (1)根据表中数据，利用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)在某场乒乓球比赛中，甲、乙、丙、丁四人争夺冠军，比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛，“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；然后“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后剩下的两人进行最后的决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望. 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 例4．（25-26高三上·福建泉州·月考）某乒乓球男子团体比赛，每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制．当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束． 已知在某次团队赛中，甲队在每场个人比赛中获胜的概率如下表所示，且每场比赛之间相互独立． 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少．求已知甲队第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率． 变式1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 变式2．（24-25高一下·广东肇庆·期末）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 变式3．（24-25高二下·江西·期末）盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． (1)已知趣味赛两天积分不为0的参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； (2)设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 变式4．（24-25高二下·安徽·期中）近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’，赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为背景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 30 未上场 8 合计 5 42 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； (2)由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋、中锋、后卫中的一个位置.根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋、中锋、后卫的概率分为，相应球队赢球的概率分别为. ①当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； ②当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 考点二 方案选择问题 例1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 例2．（25-26高二上·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 例3．（25-26高三上·广东湛江·月考）为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 例4．（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 变式1．（25-26高三上·安徽·月考）某中学为了提升课堂教学效果，提出了“学为中心”的理念，同时提出了新的公开课评价标准，为了得到高一年级位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教研处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查:在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击 “抽取” 键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同， 则按方案填写问卷，否则按方案填写问卷”. 方案:若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”，否则填“”； 方案:若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级位教师对新评价标准赞同比例的估计值. (1)若用表示按方案填写问卷的人数，求的数学期望； (2)若所有调查问卷中，填“”的问卷有份，试估计高一年级位教师对新评价标准的赞同比例(用分数表示). 变式2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 变式3．（2025·四川成都·一模）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 变式4．（25-26高二上·江西·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 统计与概率：比赛问题、方案选择问题专项训练 考点目录 比赛问题 方案选择问题 考点一 比赛问题 例1．（25-26高三上·重庆·月考）2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. (1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； (2)九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 【答案】(1)，具有很强的正线性相关关系； (2). 【详解】（1），， 则， ，， 则， 因为，且接近于， 故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系； （2）九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：场比赛全胜，概率为：； 二：胜场，平或负场，概率为：； 三：胜场，平场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： . 例2．（25-26高三上·广东广州·月考）甲、乙两人进行象棋比赛，每局正赛无平局时，甲赢的概率为．局正赛后，胜场多的一方获胜，若胜场数相同，则加赛一局，谁赢谁获胜（加赛局不会出现平局）．设表示每局正赛无平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．每局比赛的结果相互独立． (1)求（结果用表示）； (2)证明：； (3)若每局正赛可以出现平局时，甲赢的概率为，乙赢的概率为，且，设表示每局正赛可以出现平局时，进行局正赛（或再加赛一局）后，甲获胜的概率．试讨论与的大小关系． 【答案】(1)；. (2)证明过程见解析. (3)当，；当时；当时. 【详解】（1）表示进行两局正赛(或加赛)后甲获胜，分两种情况： ①两局正赛甲胜两局的概率为； ②两局正赛甲乙各胜一局，加赛一局甲胜的概率为， 所以. 表示进行三局正赛，不可能出现胜场数相同的情况，则无需加赛.甲获胜场数要多于乙，即甲胜两局或三局. ①甲胜三局的概率为； ②甲胜两局，乙胜一局的概率为， 所以. 故. （2）证明：局正赛为偶数局，甲获胜分两种情况： ①局中甲胜局，概率为， ②局中甲乙各胜局，加赛甲胜的概率为， 因此 (1). 局正赛为奇数局，无胜场相同情况，无需加赛， 甲获胜需获胜局的概率为， 又因为， 所以(2)， 对(2)中的第一个求和式整理，当时，，故求和上限可改为， 即， 对(2)中的第二个求和式整理，令，则，求和范围变为到， 式子变为， 将两部分合并整理，即 ， ， 对比(1)式，可得，证毕. （3）在有平局的比赛中，单局比赛只有三种结果：甲胜概率为，乙胜概率为， 平局概率为.其中在有胜负的结果比赛中，甲获胜的条件概率为， 根据题设，可得. 这意味着，若不考虑平局，只看分出胜负的单局比赛，甲获胜的概率仍为，是进行局无平局比赛后甲获胜的概率，是进行局有平局比赛后甲获胜的概率.在局比赛中，分出胜负的比赛局数是一个随机变量，可以视为在局决胜局中甲获胜的概率的期望值. 当时，甲为较强方，增加比赛的局数有利于强者获胜，即随增大而增大(不严格单调，但趋势如此).有平局的比赛相当于减少了有效比赛局数，对强者不利，故； 当时，甲为较弱方，减少比赛局数有利于弱者爆冷获胜，有平局的比赛相当于减少了有效比赛局数，对弱者有利，故； 当时，双方实力相当，任何赛制下甲获胜的概率均为，故. 例3．（2025·甘肃白银·模拟预测）在2024年巴黎奥运会上，中国乒乓球队表现出色，成功包揽乒乓球项目的所有金牌（共5枚），展现了中国在乒乓球项目上的绝对实力，同时也鼓舞了乒乓球业余爱好者.下表统计了乒乓球业余爱好者甲在2024年的5次挑战高手比赛中所获得的分数. 次数 1 2 3 4 5 分数 38 37 32 33 30 (1)根据表中数据，利用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)在某场乒乓球比赛中，甲、乙、丙、丁四人争夺冠军，比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛，“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；然后“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后剩下的两人进行最后的决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望. 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】(1)； (2)数学期望. 【详解】（1）由题得，， 所以 则， 故关于的经验回归方程为. （2）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量， 则的所有可能取值为， 为连败两局，则， 可以为连胜两局（第三局不管胜败）或败胜败或胜败败， 则， 可以为败胜胜或胜败胜（第四局均不管胜败），则， 所以的分布列为 2 3 4 所以数学期望. 例4．（25-26高三上·福建泉州·月考）某乒乓球男子团体比赛，每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制．当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束． 已知在某次团队赛中，甲队在每场个人比赛中获胜的概率如下表所示，且每场比赛之间相互独立． 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少．求已知甲队第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜， 由题意，则最多比赛四场结束且甲队获胜的概率为 ． （2）设事件表示第一场甲队获胜，事件表示甲队以3：1获胜，则， ，， ． 甲队第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为． 变式1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）甲、乙两人进行知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为和.求： (1)甲在每轮比赛中获胜的概率； (2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设甲在一轮比赛中获胜为事件，甲在一轮比赛中共抢到道题为事件，则， 又，， 所以. （2）设甲前二轮累计得分恰为4分的事件为，甲在一轮比赛中得分的事件为，则 ， ， 所以 . 变式2．（24-25高一下·广东肇庆·期末）为了鼓励社会力量参与科技创新拔尖人才贯通式培育工作，提高青少年对人工智能的整体认知和应用水平，某地区面向该区青少年举办了“算法设计”科普公益大赛． (1)若A，B，C三个赛区进入决赛的分别有1人、2人、3人，现需从这6人中随机选择2人组成一队进行模拟测试，求这两人来自同一个赛区的概率； (2)某个算法编程题，若甲同学能解决的概率为0.8，乙同学能解决的概率为0.9，且甲、乙能否解决问题相互独立，求甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率； (3)对甲、乙两位同学进行两轮测试，若每轮测试中甲、乙同学各解决一道题，每一轮中的每一道题甲、乙能解决的概率分别为0.8和0.9，且在每轮测试中甲、乙能否解决问题互不影响，每一轮的结果也互相不影响，求两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率． 【答案】(1) (2)0.26 (3)0.3744 【详解】（1）记来自A赛区的同学为，来自B赛区的同学为，，来自C赛区的同学为，，．设“从6人中随机选择2人”；“选择的两人来自同一个赛区”. 则 ，有15种可能的结果. ，有4种可能的结果. 所以，所以这两人来自同一个赛区的概率为. （2）设“甲能解决问题”，“乙能解决问题”，“甲不能解决问题”，“乙不能解决问题”，“甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决问题”， 显然，，，. 因为事件，互斥，事件D，E相互独立， 所以， 所以甲、乙两名同学中恰好有一位同学能解决该题的概率为0.26. （3）设“两轮测试中甲解决一道题”，“两轮测试中甲解决两道题”， “两轮测试中乙解决一道题”，“两轮测试中乙解决两道题”， “两轮测试中甲、乙共解决三道题”． ；； ；． 因为，互斥，事件与，与相互独立， 所以， 所以两轮测试中甲、乙共能解决三道题的概率为0.3744． 变式3．（24-25高二下·江西·期末）盛夏来临，某棋牌室举办为期一周的“消夏”围棋活动，分为趣味赛和积分赛（每局比赛必须决出胜负），规则如下：前2天举办趣味赛，每天仅首局比赛可获得积分，获胜得1分，失败得0分；积分赛在后5天进行，每天只有前两局比赛可获得积分，首局获胜得2分，次局获胜得1分，失败得0分．小张这一周中每天至少参加两局围棋比赛，已知她每天第一局和第二局比赛获胜的概率分别为，，且各局比赛相互独立． (1)已知趣味赛两天积分不为0的参赛选手可获得精美礼品一份，． （i）求小张在趣味赛中获得精美礼品的概率； （ii）在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率； (2)设小张在后5天的积分赛中，恰有2天每天积分不低于1分的概率为，求的最大值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）（i）设小张在趣味赛中获得精美礼品事件为， 则， 所以小张在趣味赛中获得精美礼品的概率为. （ii）设小张2天趣味赛仅积1分事件为B， 则，所以， 在小张获得精美礼品的条件下，求小张2天趣味赛仅积1分的概率为. （2）设小张在后5天的积分赛中，一天中积分不低于1分事件为C， 则， 即在后5天中积分不低于1的天数，， 则，令， 则， ， 所以在单调递增，单调递减， 即， 所以当，即时，的最大值为. 变式4．（24-25高二下·安徽·期中）近日，一部名为“体彩公益金助力‘村’，赛出乡村振兴新气象”的视频在网络上广泛传播，引起了大众的热烈反响.这部视频以贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村为背景，生动展现了台盘村从一个默默无闻的小村庄到因“村”而声名鹊起的历程，揭示了体育精神与乡村振兴的紧密联系.现有一支“村”球队，其中球员甲是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，球员甲是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 1 30 未上场 8 合计 5 42 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，能否认为球队的胜负与球员甲的出场有关联； (2)由于队员的不同，球员甲主打的位置会进行调整，且球员甲每场比赛只主打前锋、中锋、后卫中的一个位置.根据以往的数据统计，球员甲上场时，担任的角色为前锋、中锋、后卫的概率分为，相应球队赢球的概率分别为. ①当球员甲上场参加比赛时，判断球员甲主打哪个位置球队赢球的概率更大，并说明理由； ②当球员甲上场参加比赛时，在球队赢了该场比赛的条件下，求甲是前锋的概率. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关联 (2)①球员甲上场打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大，理由见解析；② 【详解】（1）根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 29 1 30 未上场 8 4 12 合计 37 5 42 计算得， 因为，所以依据的独立性检验，球队的胜负与球员甲的出场有关联. （2）①设事件：甲球员上场打前锋；事件：甲球员上场打中锋； 事件：甲球员上场打后卫；事件：球队赢球； 则， ∴当球员甲上场打前峰时，球队赢球的概率为：， 当球员甲上场打中锋时，球队赢球的概率为：， 当球员甲上场打后卫时，球队赢球的概率为：， ∵，∴球员甲上场打后卫参加比赛时，球队赢球的概率最大. ②由①知当球员甲上场参加比赛时，球队赢球的概率为 ， 当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员甲是前锋的概率为. 考点二 方案选择问题 例1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）第31届世界大学生夏季运动会的三个吉祥物是“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”深受大家喜爱.某经销商提供如下两种购买方式： ·方式一：购买盲盒，每个盲盒售价20元，内部随机放有“蓉宝”、“嘟嘟”和“飞飞”三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的； ·方式二：直接购买吉祥物，每个30元 (1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求他第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率； (2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选： 方案一：先购买一个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式： 方案二：先购买两个盲盒，再按方式二补齐剩下的款式． 若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？ 【答案】(1) (2)选择方案一 【详解】（1）设小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为P， 则分为有空盒和无空盒两种情况，． （2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为X． X的可能取值为80，110． 则，． 所以． 方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为Y． 依题意，Y的可能取值为70，100，130， 则， ， ． 所以． 因为，所以小明应该选择方案一 例2．（25-26高二上·四川成都·期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．    (1)求部件正常工作的概率； (2)为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】(1) (2)选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【详解】（1）记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则． （2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 ． 所以； 所以， 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 例3．（25-26高三上·广东湛江·月考）为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． (1)若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； (2)试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 【答案】(1) (2)采用补贴方案二的补贴额更高 【详解】（1）记事件A：单个家庭补助不低于1100元/月， 事件B：单个家庭共生育2个婴儿， 则， ， ； （2）记根据补贴方案一每月所得的补贴额为，根据补贴方案二每月所得的补贴额为， ， ， ，故采用补贴方案二的补贴额更高． 例4．（25-26高二上·山东德州·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客A恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量X．求X的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元． ①顾客B获得返现金额为90元的概率是多少? ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的10%），则顾客B应选择哪种方案更优惠?（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②打折更划算 【详解】（1）由题意X可能取值为20，30，50， 则，，， 则X的分布列如下表： X 20 30 50 P 由期望公式可得； （2）①由题意刚好可以抽三次，获得90元返现的情况为：三次抽奖每次返现金都是30元或者两次20元，一次50元， 则概率为； ②若打九折，需支付金额为：（元） 由（1）知每次抽中的均值为29元，则抽取三次总的均值为：（元）， 因为，故打折更划算． 变式1．（25-26高三上·安徽·月考）某中学为了提升课堂教学效果，提出了“学为中心”的理念，同时提出了新的公开课评价标准，为了得到高一年级位教师对新评价标准是否赞同的真实反馈，学校教研处利用“西蒙斯模型”进行网上问卷调查:在微信中开发了一个随机数模拟小程序，当教师点击 “抽取” 键，手机屏幕将出现数字的快速随机滚动，并最终等可能的生成当中的一个数，每个教师抽取两次.规定“若抽取的两个数奇偶性不同， 则按方案填写问卷，否则按方案填写问卷”. 方案:若第一次抽到的是偶数且第二次抽到的是奇数，则在问卷中填“”，否则填“”； 方案:若对新评价标准赞同，则在问卷中填“”，否则填“”. 当所有教师完成问卷调查后，统计填“”与填“”的比例.用频率估计概率，即可得到高一年级位教师对新评价标准赞同比例的估计值. (1)若用表示按方案填写问卷的人数，求的数学期望； (2)若所有调查问卷中，填“”的问卷有份，试估计高一年级位教师对新评价标准的赞同比例(用分数表示). 【答案】(1)24 (2) 【详解】（1）每名教师每次抽取到偶数的概率为，抽取到奇数的概率为， 每名教师两次抽取到的数字奇偶性不同的概率， 则位教师中按方案填写问卷的人数， 所以的数学期望. （2）记事件为“按方案填写问卷”，事件为“按方案填写问卷”，事件为“在问卷中填“”. 由(1)知， ，由全概率公式， 则，解得， 所以根据调查问卷估计，高一年级位教师对新评价标准的赞同比例为. 变式2．（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析 (2)①0.108；②打折更划算 【详解】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次，则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 变式3．（2025·四川成都·一模）口袋中有2个白球和2个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游戏方案： 游戏一：从袋中有放回地摸球2次，记摸到白球的次数为； 游戏二：从袋中无放回地摸球2次，记摸到白球的次数为.两种游戏的结果相互独立. (1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率； (2)求； (3)对于随机变量，定义信息熵，它量化了一个随机系统所包含的“不确定性”程度，熵值越大，表明该系统的“不确定性”越高，比较与的大小，并判断哪种游戏的“不确定性”更高. 【答案】(1)两种游戏中第二次摸到白球的概率均为； (2)； (3)，游戏一的“不确定性”更高. 【详解】（1）对于游戏一，设“第二次摸到白球”，则； 对于游戏二，设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，则； （2）对于游戏一，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 对于游戏二，的可能取值为0，1，2，的分布列为： ，，， 因为游戏一与游戏二的结果相互独立， 所以 ； （3）由（2）知， ； 同理 . 因为， 所以，故游戏一的“不确定性”更高. 变式4．（25-26高二上·江西·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 2 学科网（北京）股份有限公司 $