考点培优练03 分布列及其三大分布5大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练03 分布列及其三大分布 目录 考点01 离散型随机变量及其分布 1 考点02 二项分布 7 考点03 超几何分布 14 考点04 正态分布 19 考点05 离散型随机变量及其综合问题 22 考点01 离散型随机变量及其分布 1 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 投掷一个骰子，得到的点数为，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里，它是连续型随机变量. 2 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 1．（多选）设离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，则（   ） A．当数列为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质及等差数列求和公式、等差数列下标性质求解判断A；利用裂项相消法求和及分布列的性质判断B；根据分布列的性质及等比数列求和公式、指数运算性质求值判断C；令，2，…，99，得，累乘法，结合求得判断D. 【详解】对A，若为等差数列，设公差为d，前n项和为， 因为离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且， 所以，故，故A正确. 对B，由可知， 可变形为， 所以 ，故B正确. 对C，由题意得数列的前项是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，故C错误. 对D，令，2，…，99， 则，整理得，2，…，98， 即， 化简可得，又， 即，故，故D正确． 故选：ABD 2．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【详解】（1）设“编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． （2）的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 （3）依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 3．把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用A表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的虚部为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，0 【分析】（1）根据古典概型公式计算可得结果； （2）列出的所有可能取值，求出相应概率得出分布列即可求得数学期望. 【详解】（1）所有的基本事件个数有（个）， 包含的基本事件有、、、共4个， 所以． （2）由题意可知，随机变量的可能取值为、0、4， 所包含的基本事件有：，，，共4个， 所包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个， 所包含的基本事件有：，，，共4个， 所以，，， 的分布列为 0 4 所以． 4．在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. (1)如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (2)如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (3)如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）（2）根据古典概率计算公式结合组合数计算即可求解； （3）先确定的所有取值，求出各自的概率，写出分布列，利用期望的公式可得期望. 【详解】（1）如果抽出的题不再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； （2）如果抽出的题再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； （3）根据题意，可能的取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望 . 5．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A，B，C．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知A，B，C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，． (1)求A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； (2)若已知A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A，B，C三款模型能成功上线的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析， 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； （2）由条件概率公式可得 ； （3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 考点02 二项分布 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，规定谁先胜3局为赢.则甲赢的概率是 . 【答案】 【分析】根据相互独立事件的概率分别求得比赛3、4、5局甲赢的概率，即可得甲赢的概率. 【详解】比赛3局甲赢的概率， 比赛4局甲赢的概率， 比赛5局甲赢的概率， 故甲赢的概率为. 故答案为：. 7．某机器人研发企业为提升服务型机器人的场景应答能力，举办机器人服务知识竞赛．参赛机器人初始积分统一设定为分，竞赛规则：答对一道服务场景相关题得分，答错一道题得分．通过前期数据测试，已知机器人“小机”每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题是否答对互不影响． (1)求“小机”答道题后的积分小于的概率； (2)设“小机”答道题后的积分为，求； (3)若“小机”一直答题，直到积分为或后停止，当“小机”的积分为时，最终积分为的概率为即，求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件的乘法公式，即可求解； （2）设“小机”答对的题数为，则答错的题数为，从而有，再利用和随机变量的运算性质，即可求解； （3）根据条件，由全概率公式得，从而得到，再结合条件得，即可求解. 【详解】（1）由题知，若“小机”答4道题后的积分小于0，则“小机”4题都答错，或3题答错，1题答对， 又机器人“小机”每道题答对的概率为，答错的概率为， 故所求事件的概率为． （2）设“小机”答对的题数为，则答错的题数为， 则， 由题知，，所以， 所以． （3）当“小机”的积分为时， 若“小机”接下来一题答对，则积分变为1， 若“小机”接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式知， 即，所以， 因为， 所以数列构成以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则， 又，所以， 因为，所以， 则数列为常数数列，又， 所以，又， 所以，且，解得， 当和时，和也满足上式， 所以． 8．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为学生报名参加答题活动与性别有关联 (2)（i）；（ii）的分布列见解析, 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解；（ii）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【详解】（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）（i）设随机变量Y为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是10次，则 即： 解得，又，则； （ii）的所有可能取值为：1，2，3，4， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. 9．甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）（i）利用正难则反思想计算，利用分类讨论结合正难则反思想计算；（ii）分类讨论结合全概率公式得，利用递推关系作差即可证明. 【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 10．某答题比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员答2道题，若2道题都答错，则该参赛队被淘汰；若至少答对1道题，则该参赛队进入第二阶段．第二阶段由该参赛队的另一名队员答2道题．已知某参赛队由甲、乙两名队员组成，且该参赛队在第一阶段由甲答题，第二阶段由乙答题．假设甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且每次答题的结果相互独立． (1)求该参赛队能进入第二阶段的概率． (2)现规定在第一阶段中，该参赛队员仅答对1道题，得1分；2道题都答对，得3分；2道题都答错，得0分．在第二阶段中，该参赛队员每答对1题，得1分；每答错1题，得分．记该参赛队两阶段的总得分为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见详解，. 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式，结合对立事件的概率关系求解可得； （2）根据甲乙答对题数讨论，结合独立事件的概率乘法公式求出概率，可得分布列，然后由期望公式计算可得. 【详解】（1）记第一阶段甲答对第题为事件，，该参赛队进入第二阶段为事件， 由题知，，， 则. （2）依题意可知，的所有可能取值为， 当，即甲答对1道题且乙答对0道题时， ； 当，即甲答对0道题时，； 当，即甲答对1道题且乙答对1道题，或甲答对2道题且乙答对0道题时， ； 当，即甲答对1道题且乙答对2道题，或甲答对2道题且乙答对1道题时， ； 当，即甲答对2道题且乙答对2道题时， . 所以的分布列为： 0 1 3 5 所以. 考点03 超几何分布 超几何分布 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 11．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D．一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 【答案】BC 【分析】根据二项分布的方差判断A选项；根据正态分布的对称性判断B选项，根据条件概率与事件的独立性判断C选项，根据超几何分布的概率公式判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得，故A选项错误； 对于B选项，由，故B选项正确； 对于C选项，由，有，可得事件与相互独立，故C选项正确； 对于D选项，由，解得或6，故D选项错误． 故选：BC 12．一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）求出的可能取值及对应的概率，列出分布列得解； （2）根据条件概率的公式计算. 【详解】（1）的可能取值为， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”， ， 故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为. 13．巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据排列组合求解个数，结合古典概型以及对立事件的概率公式即可求解， （2）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式计算期望. 【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任， 若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种， 故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为 （2）的所有可能取值有：0，1，2，3， 故的分布列为： 0 1 2 3 故期望为： 14．袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列间解析；. 【分析】（1）根据二项分布的有关公式求值计算. （2）根据超几何分布的公式计算求值. 【详解】（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数， 所以，， 所以. （2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2. 且，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 15．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii），，； (2)，理由见解析. 【分析】（1）（i）根据题设有Y可取0，1，2，3，4，应用超几何分布求对应概率并写出分布列，进而求期望；（ii）应用二项分布模型求新规则下随机变量的分布列，进而求期望，比较期望的大小； （2）由独立重复试验的概率求法及不等式法求概率最大时对应参数值即可. 【详解】（1）（i）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立， Y可取0，1，2，3，4，， ， Y服从超几何分布，Y的分布列为： Y 0 1 2 3 4 P ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖， 在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则， 故， 由（i）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得，又， ，即时，取得最大值． 考点04 正态分布 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 16．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性及原则直接求解即可. 【详解】，，， ， ， . 故选：A. 17．（多选）下列有关说法正确的是（     ） A．若随机变量，且，则. B．若随机变量，则. C．若，则. D．已知一组从小到大排列的数据为，2，2，4，4，5，6，，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则. 【答案】ABD 【分析】对于A，由正态分布对称性可得；对于B，根据二项分布，列出方程求解即可；对于C，根据赋值法求二项展开式系数和即可；对于D，由极差和百分位数的求解方式求解即可． 【详解】对于A，由题意可知，故A正确； 对于B，，解得，故B正确； 对于C，令， 则， 所以，故C错误； 对于D，这一组数共10个，， 所以第70百分位数为第个和第个的平均值，即为， 则，整理得，故D正确； 故选：ABD． 18．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 C．对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 【答案】ABC 【分析】根据正态分布概率性质计算判断A，由百分位数定义计算判断B，把中心点代入回归方程求解后判断C，利用相关系数与决定系数的概念判断D，从而得解. 【详解】选项A，因为随机变量X服从正态分布，所以， 又，所以，故A正确； 选项B，这组数据总共有10个数，由于， 因此第60百分位数为，故B正确； 选项C，因为经验回归方程为，样本中心为， 所以，解得，故C正确. 选项D，因为， 当越小时，越小，此时两个变量的相关性越小，故D错误. 故选：ABC. 19．（多选）下列命题正确的是（    ） A．样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为0.5 B．样本数据，，，，，的分位数是 C．若随机变量，且，则 D．若随机事件，满足，，且，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据极差的定义运算求解；对于B：根据百分位数的定义运算求解；对于C：根据正态分布的对称性运算求解；对于D：根据概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为，故A正确； 对于选项B：因为，所以第分位数是第5位数11，故B错误； 对于选项C：若随机变量，即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，，则， 且，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 20．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】ACD 【分析】由二项分布的期望和方差公式可得A；利用正态分布的对称性可判断B；由独立事件的乘法公式可得C；利用残差的计算可得D. 【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，， 则，解得，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为，则， 因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，若，相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和， 所以，则，故D正确. 故选：ACD. 考点05 离散型随机变量及其综合问题 21．现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束． (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析， 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）妨设在一号盒子中放k个红球和m个白球，则在二号盒子中有个红球，个白球，其中，1，2，3且，1，2，3，由对称性，再考虑和两种情况求解即可． 【详解】（1）记事件A为“乙摸到红球”， 若乙选择的是1号盒子，则乙摸到红球的概率，        若乙选择的是2号盒子，则乙摸到红球的概率，         由全概率公式得，， （2）由（1）知，， 不妨设在一号盒子中放k个红球和m个白球， 则在二号盒子中有个红球，个白球， 其中，1，2，3且，1，2，3，由对称性，只需考虑和两种情况，           当时，， ， 当，时， 时取最大，即在一号盒子中只放一个红球，则， 此时．          当时， 列举可得，，均小于．         故甲应该在其中一个盒子中只放1个红球，在另一个盒子中放入剩余5个球， 此时乙最终摸到红球的概率最大为． 22．某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为， (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为， 通过科目数记为随机变量； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ），7.5； (2)该考生更应报考乙高校，理由见解析． 【分析】（1）（ⅰ）根据表格中的数据和平均数得到方程，求出； （ⅱ）利用公式求出，，并求出当时，，得到答案； （2），从而，求出的所有可能取值和对应的概率，得到数学期望，比较后得到答案. 【详解】（1）（ⅰ）由表格数据可得，解得． （ⅱ）显然， 则 ， ， ． ．∴所求经验回归方程为． 当时，， ∴当学科知识整合能力指标为14时，创新思维能力指标的预测值为7.5； （2）该考生通过甲高校的考试科目数为，则． 则． 设该考生通过乙高校的考试科目数为，则的所有可能取值为． ， ， ， ． ． ∴该考生更应报考乙高校． 23．二次剩余理论中有如下定义：对于正整数，若存在一个整数，使得能整除，则称是的一个二次剩余，否则称为二次非剩余.二次剩余理论在噪声控制工程学、密码学以及大数分解等领域有广泛的应用. 现需编制一个随机数字串，编制要求如下： ①记，，. ② 从1到16这16个整数中随机抽取一个整数，作为. ③ 若，则从中随机选取一个数作为； 若，则从中随机选取一个数作为. (1)求； (2)记的概率为. ① 求； ② 求 . 【答案】(1) (2)①； ② 【分析】（1）先根据题目求出集合， ，则； （2）①利用全概率公式直接求解即可得到； ②利用全概率公式得到，即 所以是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列通项公式计算得到. 【详解】（1），若是12的二次剩余，则存在整数， 使，即， 又，故， 所以， ； （2）①由题， ； 所以 ； ②； ，， 因为，所以， 于是 ， 可知， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 24．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，（），且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率． (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． (3)闯关游戏比赛组织方为了吸引参赛者，提供了三种闯关游戏方式：水上闯关、陆地徒步闯关、自行车闯关，每种闯关游戏方式都设置若干关卡，所有关卡都闯过，则闯关成功；其中有一关没有闯过，则闯关失败．参赛者只能参加其中一种闯关游戏方式．三种闯关游戏方式发布后已有100选手参加，且闯关后的统计数据如下表： 闯关方式闯关结果 水上闯关 陆地徒步闯关 自行车闯关 闯关成功 8 16 8 闯关失败 12 24 32 小王等可能的选择上述三种闯关游戏方式中的一种，求闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率．（注：用频率近似为概率，第三问与小问（1）（2）无直接联系） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论； （3）设事件闯关游戏结束时，小王闯关成功为,事件小王选择水上闯关方式闯关为，选择陆地徒步闯关方式闯关为，选择自行车闯关方式闯关为，则，由条件结合全概率公式求结论. 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立， 且， ， 故，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 故， 当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为， （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知事件相互独立， 由已知， ，， ，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为， 所以，故， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为， 所以， 即，故， 代入，可得， 所以，故，又， 所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为； （3）设事件闯关游戏结束时，小王闯关成功为, 事件小王选择水上闯关方式闯关为，选择陆地徒步闯关方式闯关为，选择自行车闯关方式闯关为，则， ， 所以， 由已知，，， 所以， 所以闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率． 25．为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. (1)已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系； (2)分布列见解析，数学期望为1. 【分析】（1）根据面积之和为1，列出关系式，解出的值，根据频率分布直方图中的数据计算这两个试验区优质产品、非优质产品的总和，然后根据表格填入数据，再根据公式计算即可； （2）利用二项分布的概率公式计算分布列和数学期望即可. 【详解】（1）易知，解得， 此时样本中优质产品有. 列联表如下所示： 试验区 试验区 合计 优质产品 10 20 30 非优质产品 60 30 90 合计 70 50 120 所以， 即没有的把握认为优质产品与两个试验区有关系. （2）由题意，易知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率为， 则随机抽取4件中含有优质产品的件数的可能取值为，且， 则， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故. $考点培优练03 分布列及其三大分布 目录 考点01 离散型随机变量及其分布 1 考点02 二项分布 7 考点03 超几何分布 14 考点04 正态分布 19 考点05 离散型随机变量及其综合问题 22 考点01 离散型随机变量及其分布 1 随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. 投掷一个骰子，得到的点数为，它是离散型随机变量，能够一一列举出来； 一人一天摄取的卡路里，它是连续型随机变量. 2 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质 1．（多选）设离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，则（   ） A．当数列为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 2．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 (1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； (2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； (3)记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 3．把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、、、（i为虚数单位）的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为，第二次出现底面朝下的复数记为． (1)用A表示“”这一事件，求事件的概率； (2)设复数的虚部为，求的分布列及数学期望． 4．在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. (1)如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (2)如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (3)如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 5．人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧．某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A，B，C．每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收．只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立．只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布．已知A，B，C三款模型通过算法设计评审的概率依次为，，，通过工程部署验收的概率依次为，，． (1)求A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； (2)若已知A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A，B，C三款模型能成功上线的数量为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 考点02 二项分布 二项分布 (1) 概念 一般地,在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为用表示事件发生的次数,则 此时称随机变量服从二项分布,记作 并称为成功概率. 随机变量的分布列如下 (其中) 6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，规定谁先胜3局为赢.则甲赢的概率是 . 7．某机器人研发企业为提升服务型机器人的场景应答能力，举办机器人服务知识竞赛．参赛机器人初始积分统一设定为分，竞赛规则：答对一道服务场景相关题得分，答错一道题得分．通过前期数据测试，已知机器人“小机”每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题是否答对互不影响． (1)求“小机”答道题后的积分小于的概率； (2)设“小机”答道题后的积分为，求； (3)若“小机”一直答题，直到积分为或后停止，当“小机”的积分为时，最终积分为的概率为即，求 8．有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中10道题的概率最大，求的值. （ii）若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 9．甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 10．某答题比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员答2道题，若2道题都答错，则该参赛队被淘汰；若至少答对1道题，则该参赛队进入第二阶段．第二阶段由该参赛队的另一名队员答2道题．已知某参赛队由甲、乙两名队员组成，且该参赛队在第一阶段由甲答题，第二阶段由乙答题．假设甲答对每道题的概率为，乙答对每道题的概率为，且每次答题的结果相互独立． (1)求该参赛队能进入第二阶段的概率． (2)现规定在第一阶段中，该参赛队员仅答对1道题，得1分；2道题都答对，得3分；2道题都答错，得0分．在第二阶段中，该参赛队员每答对1题，得1分；每答错1题，得分．记该参赛队两阶段的总得分为X，求X的分布列与数学期望． 考点03 超几何分布 超几何分布 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品,从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为： 其中. 如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 11．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．设随机变量服从正态分布，若，则 C．对于随机事件与，若，则事件与相互独立 D．一箱苹果共有10个，其中有且个烂苹果，从这箱苹果中随机抽取2个，恰有一个烂苹果的概率为，则 12．一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 13．巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 14．袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 15．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是有放回摸球，每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是不放回摸球，每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （i）求随机变量Y的分布列和数学期望： （ii）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，求当取得最大值时的k值，并说明理由． 考点04 正态分布 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 16．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量，则．记一天中旅客人数不少于万人的概率为，则的值约为（    ） （参考数据：若，则，，） A． B． C． D． 17．（多选）下列有关说法正确的是（     ） A．若随机变量，且，则. B．若随机变量，则. C．若，则. D．已知一组从小到大排列的数据为，2，2，4，4，5，6，，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则. 18．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若随机变量X服从正态分布，且，则 B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 C．对具有线性相关关系的变量x，y，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 D．若决定系数越小，则两个变量的相关性越强 19．（多选）下列命题正确的是（    ） A．样本数据6.1，5.9，5.9，6.0，6.1，5.8，6.3的极差为0.5 B．样本数据，，，，，的分位数是 C．若随机变量，且，则 D．若随机事件，满足，，且，则 20．（多选）下列说法中，正确的是（ ） A．已知随机变量服从二项分布，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．已知，为随机事件，，，若，相互独立，则 D．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 考点05 离散型随机变量及其综合问题 21．现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束． (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值． 22．某强基计划试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标（考察逻辑推理、问题建模等能力）．随机抽取5名考生的测试结果如表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 (1)若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求关于的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （附：经验回归方程中和的最小二乘估计分别为， (2)现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为， 通过科目数记为随机变量； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校． 23．二次剩余理论中有如下定义：对于正整数，若存在一个整数，使得能整除，则称是的一个二次剩余，否则称为二次非剩余.二次剩余理论在噪声控制工程学、密码学以及大数分解等领域有广泛的应用. 现需编制一个随机数字串，编制要求如下： ①记，，. ② 从1到16这16个整数中随机抽取一个整数，作为. ③ 若，则从中随机选取一个数作为； 若，则从中随机选取一个数作为. (1)求； (2)记的概率为. ① 求； ② 求 . 24．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，（），且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率． (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． (3)闯关游戏比赛组织方为了吸引参赛者，提供了三种闯关游戏方式：水上闯关、陆地徒步闯关、自行车闯关，每种闯关游戏方式都设置若干关卡，所有关卡都闯过，则闯关成功；其中有一关没有闯过，则闯关失败．参赛者只能参加其中一种闯关游戏方式．三种闯关游戏方式发布后已有100选手参加，且闯关后的统计数据如下表： 闯关方式闯关结果 水上闯关 陆地徒步闯关 自行车闯关 闯关成功 8 16 8 闯关失败 12 24 32 小王等可能的选择上述三种闯关游戏方式中的一种，求闯关游戏结束时，小王闯关成功的概率．（注：用频率近似为概率，第三问与小问（1）（2）无直接联系） 25．为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：），经统计其增长长度均在区间内，将其按分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为及以上的产品为优质产品. (1)已知这120件产品来自两个试验区，部分数据如下列联表： 试验区 试验区 合计 优质产品 20 非优质产品 60 合计 将此列联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与两个试验区有关系，并说明理由； 参考公式，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (2)以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数的分布列和数学期望. $