统计与概率：方案选择问题、概率最值问题、概率与数列综合专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：方案选择问题、概率最值问题、概率与数列综合专项训练 统计与概率：方案选择问题、概率最值问题、概率与数列综合专项训练 考点目录 方案选择问题 概率最值问题 概率与数列综合 考点一 方案选择问题 例1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入（单位：十万元）与该款学习机的月销量（单位：千台）的数据，如表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求和的样本相关系数，并判断与是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若，则认为与具有较强的线性相关性） (2)求关于的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考公式：对于经验回归方程，，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)0.96，与具有较强的线性相关性； (2)；当时，千台； (3)选第二种方案更优惠，理由见解析. 【详解】（1）由题可知，，所以 所以. 所以y与x具有较强的线性相关性. （2）由（1）知. 因为，， 所以. 关于的经验回归方程为，故当时，. 所以估计当月广告投入600万元时，该款学习机的月销量约为千台. （3）家长准备在该店购买两台该款学习机，选第二种方案更优惠.理由如下： 若采用方案一，可享受优惠（元）；付款总金额数学期望为（元）； 若采用方案二，记中奖次数为X，则. ；； ；； 记该家长购买两台学习机可享受优惠共为Y元，则Y的分布列如下： Y 600 1200 1600 2000 P 所以（元）. 所以若采用方案二，付款总金额数学期望为(元). 因为，所以选第二种方案更优惠. 例2．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 例3．（25-26高三上·四川成都·期中）某企业因技术升级，决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”. 方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“”，否则画“”； 方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中， (1)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式I回答问卷的人数，求的数学期望； (2)若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 【答案】(1)4 (2). 【详解】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为， 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率. 则该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数， 所以的数学期望． （2）记事件为“按方式I回答问卷”，事件为“按方式II回答问卷”，事件为“在问卷中画○”． 由（1）知，，． ∵， 由全概率公式， 则，解得， 故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为． 例4．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）甲的消费金额为288元，他选择方案二，抽奖2次，抽到的代金券总额为8元的概率为，解得； （2）设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以．. ， 所以时，取得最大值，所以； （3）①当消费金额（单位：元）在时，不能参与方案二，只能选择方案一． ②当消费金额（单位：元）在时，设消费金额为， 当时，由（2）得，方案二的代金券总额的数学期望， 方案一的代金券总额为，此时， 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以， 当消费金额（单位：元）在，且不为时，选择方案一. 所以当消费金额（单位：元）大于0，且不为时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）为时，选择方案一、方案二都可以. 变式1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】(1)； (2)； (3)方案二. 【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. （2）由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. （3）方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 变式2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 【答案】(1)方案二被选择的可能性更大，理由见解析 (2) 【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，则共有36种情况，如下： ， ， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： ，共16种情况， 故选择方案一的概率为，则选择方案二的概率为，故方案二被选择的可能性更大. （2）若选择方案一，甲获胜包括三类情况：①甲在前两局获胜，其概率为：； ②甲在第一局，第三局获胜，其概率为：；③甲在第二局，第三局获胜，其概率为：， 因三类情况两两互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为：. 变式3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． (1)若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； (2)设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； (3)以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 【答案】(1)0.013 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）小张最终得分不少于30分，说明小张通过了3个基本功能点，并至少通过了2个强测优化点， ∴概率为：； （2）①若选择方案一，则， ， ， ， ， ， 故的分布列为： ②若选择方案二，则， ， ， ， 故的分布列为： （3）若选择方案一，则其得分期望： ， 若选择方案二，其得分期望： ， 故有 ， 令，则， ∴在上单调递增并存在唯一零点， 故在单调递减，在上单调递增， 而，故在上恒小于0， 令． 故为开口向下的二次函数，， 令，则， 在上单增并存在唯一零点， 故在单调递减，在单调递增， 且，故在上恒小于0，即， 故在上存在唯一零点：， 因此，当时，． 当时，． 综上所述：当时，选择方案二； 当时，两种方案都可选择； 当时，选择方案一． 变式4．（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)小明应选择方案二，理由见解析 【详解】（1）X的可能取值为0，1，4，9，16. ， . X 0 1 4 9 16 P （2）由（1）可知若小明选择方案一， 则. 若小明选择方案二，记Y为小明的累计得分，Z为小明答对题目的数量，则， 又，所以， 则. 因为，所以小明应选择方案二. 考点二 概率最值问题 例1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. （2）每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 （3）， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 例2．（2025·浙江杭州·一模）现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)，时，取得最大值. 【详解】（1）由题意，点可能的坐标为. （2）令向量， 则当时，；当时，； 当时，其中，且. 要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为. ①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶； ②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况： 奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇， 偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇； ③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇. 故为坐标原点的概率. （3）当不是3的倍数时，显然有. 以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次. 记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作. 定义操作小结：，其中可以为0. 在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示： 所以有其中. 由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有 .综上，有 因此，当，即时，取得最大值. 例3．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. (1)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； (2)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球的概率； (3)设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 【答案】(1) (2) (3)或9 【详解】（1）“经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上， 所以所求概率为. （2）“经过两次操作后，手上恰好有1个黑球”， 即“两次操作中一次取到黑球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”， 因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上， 所以所求概率为. （3）依题意，， 由， 当时，，当时，，当时，， 所以当或9时，取最大值. 例4．（24-25高一下·湖南永州·期末）数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知， 事件包含两种情况： 第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：， 第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：， 所以； （2）（i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误， 所以， 事件表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误， 所以， 由得： ， 化简得， 又，上式可化为： 或（舍去）； （ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为， ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 ， ， 令，则， 又且，， ， ， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递减， 得最大值为， 即的最大值为. 变式1．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为． (1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望； (2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)20 【详解】（1）（i）根据题意知可以取的值有1，2，3，4， ∴，，， ， ∴； （ii）根据题意知可以取的值有2，3， ∵当时可以分两类， 第一类：混检的3人中有一人患病，并且在第2次就检测出患病人员； 第二类：混检3人均没有患病，并且在第2次就检测出患病人员或未患病人员： ∴，， ∴； （2）由题知将20000份血样随机地按份一组平均分成组， 则的可能取值为，，，⋯，， 其中每一组检测结果为阴性的概率为，检测结果为阳性的概率为， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 可得，两边取自然对数，化简得， 不妨设，则， 令，， ∴在单调递增，， ∴在单调递增． 由题知是20000的正因数且，， ∵， ， ∴的最大值为20． 变式2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）X的分布列见解析，数学期望为； (2). 【详解】（1）（ⅰ）甲至多回答了4道题被淘汰则有两种情况，一种是连续答错前3道题，另一种是甲在前三道题中答错两道，且答错第4道， 所以甲至多回答了4道题被淘汰的概率为； （ⅱ）由题可得， ，， 所以X的分布列为： X 3 4 5 P 所以X的数学期望为. （2）由题可得第3道题答对的概率为， 所以学生甲答对2道题目胜出的概率为， 所以， 所以当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 变式3．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)最小值为，相应的 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，故. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 由（1）知，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. （3）由（2）知，面试时每道题的难度系数是， 则甲答对每道面试题的概率， 由题意，甲累计答对3道题或答错3道题，面试结束， 所以甲面试结束时的答题数的可能取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 由期望公式得数学期望为. 变式4．（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 【答案】(1)（i）（ii）分布列见解析，数学期望为； (2) 【详解】（1）（i）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. （ii）可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. （2）记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团助力的概率的最小值为. 考点三 概率与数列综合 例1．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． (1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ (2)某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 【答案】（1） 能认为喜爱足球运动与性别有关 （2） ①，  ②证明见解析；第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 【详解】（1）零假设： ：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. （2） ①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，所以第二次触球者是甲的概率记为； 第二次触球者必不是甲，第三次传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故． ②因为第n次触球者是甲的概率记为， 所以当时，第次触球者是甲的概率为，则第次触球者不是甲的概率为. 所以，所以， 因为，所以数列为首项是，公比是的等比数列。 所以，所以. 所以，， 所以，即第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 例2．（25-26高三上·青海西宁·开学考试）杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 (1)依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； (2)在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)无关联 (2)①；② 【详解】（1）解：零假设：选择市外游或市内游与性别无关联． 由列联表中的数据，得， 所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可推断成立， 即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联． （2）解：①记事件A：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件B：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅， 则， 所以， 即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为． ②由题得， 当时，， 所以，故为常数数列． 又，所以，故． 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故． 例3．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 【答案】(1) (2)①证明见解析，② 【详解】（1）由题意可知每轮游戏获得分的概率为，获得分的概率为，设进行完轮游戏时，得分的次数为，所以，所以，，，，，而，所以随机变量的可能取值为，，，，所以 ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以. （2）①证明：，即累计得分为分，是第一次掷骰子，向上点数不超过点，，则，累计得分为分的情况有两种： （i），即累计得分，又掷骰子点数超过点，其概率为， （ii）累计得分为分，又掷骰子点数没超过点，得分，其概率为， 所以，所以，，，，， 所以，，，，是首项为，公比为的等比数列. ②因为数列，，，，是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以 ， ， ， 各式相加，得， 所以，，，，， 所以活动参与者得到礼券的概率为：. 例4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． (1)若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见详解； (2)证明见详解； 【详解】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则，，，， 相加可得， 则， 且时，符合上式，所以. 变式1．（25-26高三上·湖北荆州·阶段练习）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得 ； 同理. （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第1轮答对，且第2轮到轮结束时挑战未终止； ②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 所以时，， 设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时，， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列. 变式2．（24-25高二下·江西上饶·期中）有一种士兵排列方法：士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并且这些士兵不能站在自己原来的位置上. (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）． 【答案】(1)2 (2)，，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当有3个士兵时，假设先安排甲，有2种站法，再安排乙和丙，只有1种站法， 所以如果只有3个士兵，重新站成一排有2种站法. （2）易知，， 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站在甲的位置，这样的站法有种. 所以，，又， 所以， 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列. （3）由题意可知， 由（2）可得：，则. 对进行赋值，依次得：，，…，， 将以上各式左右分别相加，得，因， 则， 即得， 当无穷大时，，得证. 变式3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）对，通过抛掷一枚均匀硬币次后生成有序数对，具体生成规则如下：①规定；②当第次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若，则，否则；如果出现硬币反面朝上，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能结果，并求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析，，． (2)证明见解析， (3)答案见解析 【详解】（1）当第1次抛掷硬币时， 若正面朝上，由知， 则； 若反面朝上，由知， 则； 当第2次抛掷硬币时，如果正面朝上， 此时若第1次正面朝上，由知， 则 此时若第1次反面朝上，由知， 则 当第2次抛掷硬币时，如果反面朝上， 此时若第1次正面朝上，由知， 则 此时若第1次反面朝上，由知， 则 所以的所有可能结果共3个，所以，． （2）由（1）的分析可得， 当第次抛掷硬币时： 如果出现硬币正面朝上，若， 则，此时； 否则，此时， 而，也有， 如果出现硬币反面朝上，同理有，依次可得. 当，且第次掷出正面时， 有，此时，当，且第次掷出反面时， 有，此时，所以: ， 即，所以 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以． （3）由（2）知， 而，故在上单调递增， 故最大时取得最大值； 当且为奇数时，， 当且为偶数时，， 且随着的增大而减小， 所以即 所以. 变式4．（24-25高二下·湖南·期中）已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． (1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； (2)求第3次操作取到红球的概率； (3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 【答案】(1) 1 3 (2) (3) 【详解】（1）由题意， 的所有可能取值为1,3， , 故的分布列为 1 3 （2）由题意， （方法一）设事件表示第次取到红球， 则 （方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为． （3）由题意及（1）（2）得， 设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为． 由操作规则可知， 当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球， 当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球， 即，其中． 因为， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则． 故． 即 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：方案选择问题、概率最值问题、概率与数列综合专项训练 统计与概率：方案选择问题、概率最值问题、概率与数列综合专项训练 考点目录 方案选择问题 概率最值问题 概率与数列综合 考点一 方案选择问题 例1．（2025·甘肃武威·模拟预测）某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入（单位：十万元）与该款学习机的月销量（单位：千台）的数据，如表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求和的样本相关系数，并判断与是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若，则认为与具有较强的线性相关性） (2)求关于的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考公式：对于经验回归方程，，；样本相关系数. 参考数据：，，. 例2．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 例3．（25-26高三上·四川成都·期中）某企业因技术升级，决定从2023年起实行新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回地随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”. 方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“”，否则画“”； 方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“”，否则画“”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画，画的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中， (1)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式I回答问卷的人数，求的数学期望； (2)若该企业的所有调查问卷中，画“”与画“”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 例4．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p； (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p； (3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案. 变式1．（24-25高二下·河北石家庄·期末）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. (1)求首次摸球后试验就结束的概率； (2)在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； (3)在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 变式2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）. (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 变式3．（24-25高二下·四川绵阳·期末）在一次程序设计竞赛中，需要通过逐一运行测试点的方式对选手编写的程序进行评测．评测共有6个测试点，分为3个基本功能点与3个强测优化点．每通过1个基本功能点，选手将获得5分；每通过1个强测优化点，选手将获得10分．选手最终得分为所有测试点得分之和．主办方准备了两种评测方案，可供选手选择，每种方案都按确定的次序进行评测，每个测试点只测试1次． 方案一：先测试3个基本功能点，在这个过程中只要有测试点不通过则终止评测；选手通过所有基本功能点后才能测试3个强测优化点，在这个过程中即使有测试点不通过，也将继续测试，直到所有强测优化点测试完毕． 方案二：选手按1个基本功能点，1个强测功能点，1个基本功能点……进行交叉测试，过程中出现任何1个测试点不通过的情况都立刻终止测试． 小张编写的程序通过每一个基本功能点的概率均为，通过每一个强测优化点的概率均为．每个测试点是否通过都相互独立，且． (1)若，小张选择了方案一进行评测.求小张最终得分不少于30分的概率； (2)设小张的最终得分为随机变量为，分别求出方案一与方案二中的分布列； (3)以小张的最终得分的期望为依据，判断小张应该选择哪一种方案？ 变式4．（24-25高二下·陕西汉中·期末）为了更好地普及科学知识，某班举行了科技知识竞赛活动，制定了两种竞赛规则方案.①方案一：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对进入下一题，答错则终止答题，第题对应分，答对获得相应的分数，答错得0分.②方案二：共设置4道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，无论是否答对都可以回答下一题，直到4道题答完为止，每题2分，答对获得相应的分数，答错得0分.已知小明答对每道题的概率均为，且每次回答正确与否都相互独立. (1)若小明选择方案一，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择哪个方案？说明理由. 考点二 概率最值问题 例1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 例2．（2025·浙江杭州·一模）现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数. (1)求点所有可能的坐标； (2)求投掷骰子8次后棋子在原点的概率； (3)投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值. 例3．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. (1)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； (2)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球的概率； (3)设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 例4．（24-25高一下·湖南永州·期末）数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 变式1．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为． (1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望； (2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值. 变式2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）诗词是中华文化的瑰宝，蕴含着丰富的文学内涵和美学价值.某学校为了培养学生学习诗词的兴趣，特别组织了一次关于诗词的知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛. (1)初赛采用选一题答一题的方式，每位参赛学生最多有5次答题机会，累计答对3道题或答错3道题即终止比赛，答对3道题则进入决赛，答错3道题则被淘汰.已知学生甲答对每道题的概率均为，且回答各题的结果相互独立. （ⅰ）求甲至多回答了4道题被淘汰的概率； （ⅱ）设甲在初赛答题的道数为X，求X的分布列和数学期望. (2)决赛共答3道题，若答对题目数量不少于2道，则胜出.已知学生甲进入了决赛，他在决赛中前2道题答对的概率相等，均为，3道题全答对的概率为，且回答各题的结果相互独立，设他恰好答对2道题目胜出的概率为，求的最小值. 变式3．（24-25高二下·上海·期末）甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试．笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为（），每道岗位实践题的难度系数均为（），考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对3道题或答错3道题，面试结束．已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立． (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值； (3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题答对的概率是，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望． 变式4．（2025·上海·三模）某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． (1)当时， （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (2)乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值． 考点三 概率与数列综合 例1．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． (1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ (2)某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 例3．（25-26高三上·青海西宁·开学考试）杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了40名学生，对其出行情况进行调查，结果如下： 市外游 市内游 合计 男生 14 6 20 女生 8 12 20 合计 22 18 40 (1)依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联； (2)在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐． ①已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率； ②假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记2分，选择乙餐厅就餐记1分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为n分的概率为，求数列的通项公式． 参考公式：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 例3．（2025·四川德阳·模拟预测）某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子（形状为正方体，六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），若向上点数不超过2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到礼券，最多进行19轮游戏. (1)当进行完3轮游戏时，总分为，求的期望； (2)若累计得分为的概率为，（初始得分为0分，）. ①证明数列，，，，是等比数列； ②求活动参与者得到礼券的概率. 例4．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． (1)若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 变式1．（25-26高三上·湖北荆州·阶段练习）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 变式2．（24-25高二下·江西上饶·期中）有一种士兵排列方法：士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并且这些士兵不能站在自己原来的位置上. (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）． 变式3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）对，通过抛掷一枚均匀硬币次后生成有序数对，具体生成规则如下：①规定；②当第次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若，则，否则；如果出现硬币反面朝上，若，则，否则．抛掷次硬币后，记的概率为． (1)写出的所有可能结果，并求，； (2)证明：数列是等比数列，并求； (3)设，求的最大值． 变式4．（24-25高二下·湖南·期中）已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． (1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； (2)求第3次操作取到红球的概率； (3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $