圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学下册

圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点目录 切线长定理 正多边形与圆 切线的证明 考点一 切线长定理 例1.(25-26九年级上北京门头沟期末)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那 么PA的长度是() A 0 B A.2 B.3 C.5 D.25 【答案】A 【详解】解：~PA,PB与⊙O分别相切于点A,B, ∴PA=PB, 又∠P=60°， aPAB为等边三角形， PA=AB=2, 故选：A. 例2.(25-26九年级上湖北武汉·月考)如图，Rt△ABC,斜边BC=5,AC=3,内切圆I切各边于点D,E,F,连接 EF,作DG⊥EF交AB于G,则GD长为() G B A.35 B.25 C.√10 D.3 2 【答案】C 【详解】解：连接ID、IE、IP、IB, 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 G ~⊙I与AC、AB、BC分别相切于点D,E,F, ∴CD=CF,AE=AD,BE=BF,AC⊥ID,AB⊥IE, ∴∠ADI=∠AEI=∠BEI=90°，BE+CD=BF+CF=BC, ∠A=90°，BC=5,AC=3, ·AB=VBC2-AC2=V52-32=4, ~LADI=∠AEI=∠A=90°，ID=IE, ∴四边形ADIE是正方形， AE+AD=AB+AC-(BE+CD)=AB+AC-BC=4+3-5=2, IE=AE =AD=1, BE=4-1=3, IB=BE2+IE2=32+1=10, BE BF,IE IF ∴点B、I都在EF的垂直平分线上， IB垂直平分EF, IB⊥EF,DG⊥EF, :.IB DG, ID‖BG, ∴四边形BIDG是平行四边形， GD =IB=10, 故选：C. 例3.(25-26九年级上：新疆喀什期末)如图，P是⊙0外一点，PA、PB分别和O0切于A、B,C是弧AB上任意 一点，过C作⊙0的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为16，则PA长为一· 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 A D O E B 【答案】8 【详解】解：由切线长定理得：PA=PB,DA=DC,EC=EB, ∴△PDE的周长为： PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE =PD+DA+EB+PE =PA+PB, 已知周长为16，且PA=PB,故2PA=16, 解得PA=8. 故答案为：8. 例4.(25-26九年级上·北京石景山期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径的 OO与CD相切于点E.若AD=1,BC=2,则CD的长为 B 【答案】3 【详解】解：AD∥BC,∠ABC=90°， ∠BAD=180°-90°=90°， 以AB为直径的OO与CD相切于点E, ∴OO与AD、BC都相切，切点为A、B, :.AD=DE,BC=CE, AD=1,BC=2, .CD=DE+CE=1+2=3. 故答案为：3. 例5.(25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末)如图，P为⊙0外一点，PA和PB为⊙0的两条切线，A和B为切点， BC为直径. 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 A (1)求证： ①△AP0≌△BP0. ②P0∥AC. (2)若AC=4,0C=25,求AP的长. 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)45 【详解】(1)①证明：：P为00外一点，PA和PB为⊙0的两条切线， :PA=PB, .0A=0B,P0=P0, :△APO≌ABPO(SSS: ②证明：AB=AB, 六∠ACB=∠AOB, :△APO≌△BP0, ∴∠AOP=∠BOP= ∠AOB, 2 ∠ACB=∠BOP, P0∥AC; (2)解：连接AB,如图， 由(1)知∠ACB=∠AOP, :PA和PB为OO的两条切线，BC为直径， :∠PA0=∠BAC=90°， 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 △ABC∽aAP0, AP AO AB AC' :AC=4,0C=2V5, A0=0C=2V5,BC=20C=4V5, :AB=BC2-AC2=8, AP 2V5 84 解得AP=4√5. 变式1.(25-26八年级上北京西城月考)如图，PA,PB分别与00相切于AB两点，点C在⊙0上，若∠C=55°， 则∠P的度数为() A C Q B A.55° B.110° C.80° D.70 【答案】D 【详解】解：连接0A,OB,如图， A P ~PA,PB是⊙0的切线， ∴0A⊥AP,0B⊥BP, ∠0AP=∠0BP=90°， 又∠C=55°， .∠A0B=2∠C=110°， 则∠P=360°-（∠PA0+∠0+∠PB0)=360°-(90°+90°+110°）=70°. 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 故选D, 变式2.(25-26九年级上吉林期末)如图，周长为18cm的三角形纸片ABC,其中AC=4cm.小刚想用剪刀剪出 它的内切圆OO,他先沿着与⊙O相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE.则三角形BDE的周长是() B E A.10cm B.9cm C.8cm D.7cm 【答案】A 【详解】解：设三角形ABC与OO相切于M、N、F,DE与OO相切于G,如图所示： M 由切线长定理可得AM=AF,CN=CF,BM=BN,DM=DG,EG=EN, G B EN C AB+AC+BC =18cm,AC=4cm, .AM CN AC 4cm,AB+BC =14cm :DB+DE+BE =BD+DG+GE+BE BM+BN =AB+BC-AC =14-4 =10(cm, ∴三角形BDE的周长是10cm. 故选：A. 变式3.(25-26九年级上·辽宁盘锦·期末)如图，ABC的内切圆OO与AC,AB,BC分别相切于点D,E,F, 且AB=5,BC=8,AC=9,则AD= B E D 6 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 【答案】3 【详解】解：ABC的内切圆OO与BC,CA,AB分别相切于点D、E、F, .BF=EE,CF=CD,AD=AE, ..AC=AD+CD=AE+CF=(AB-BE+(BC-BF), 设BF=BE=x,则AE=AD=5-x,FC=DC=8-x, 则5-x+8-x=9. 解得x=2. AD=5-2=3. 故答案为：3. 变式4.(25-26九年级上北京·期末)如图，PA,PC是⊙0的切线，A,C为切点.若∠APC=60°，AP=5√5，则 直径AB的长是」 【答案】10 【详解】解：~PA,PC是OO的切线，A,C为切点， :∠0AP=90,∠0PA=∠APC=30°， 0A=AP-an30°=55×5=5. 3 AB=20A=10; 故答案为：10. 变式5.(25-26九年级上·江苏苏州期中)如图，⊙0是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, ∠D0E=120°，∠E0F=150°. (I)求ABC的三个内角的大小： (2)设O0的半径为1，求AB+AC-BC的值. 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 【答案】(1)∠A=90°，∠B=60°，∠C=30 (2)2 【详解】(1)解：相切， ∴∠AD0=∠BD0=LAF0=∠CF0=∠BE0=∠CE0=90°， 在四边形BD0E中，∠D0E=120°， ∴LB=360°-∠BD0-∠BE0-∠D0E=360°-90°-90°-120°=60°， 同理，∠C=360°-∠CF0-CE0-∠E0F=360°-90°-90°-150°=30°， 在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°， ∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°： (2)解：∠A=∠AD0=∠AFO=90°，OD=OF=1, 四边形ADOF是正方形， AD=AF=OD=OF=1, 设BD=BE=x,则AB=AD+BD=x+I, 在RtAABC中，∠C=30°， BC=2AB=2(x+1),AC=3AB=3(x+1), CE=BC-BE=2(x+1)-x=x+2=CF, AC=CF+AF=x+2+1=x+3, 3(x+1)=x+3, 解得，x=√3， ∴BD=BE=V3, AB=x+1=3+1,BC=2AB=23+2,AC=3AB=3+3, ·AB+AC-BC=V3+1+3+V3-2W3-2=2. 6 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点二 正多边形与圆 例1.(25-26九年级上·陕西榆林期末)青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图 所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中∠α的度数为() A.60° B.70° C.72° D.75 【答案】C 【详解】解：正五边形的中心角=360° =72°. 5 故选：C. 例2.(24-25九年级上·云南红河·期末)如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙0，且正六边形的周长为18，则 ⊙0的半径是() B A.5 B.3 C.25 D.33 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外接圆性质，正多边形的中心角，边长的计算，准确地运用正多边形性质是解题的关 键.连接OC,OD,先证△COD为等边三角形，再求出CD的长，即可求得OO的半径 【详解】解：连接OC,OD, 正六边形ABCDEF, ·∠C0D=360° =60°， 6 ~正六边形ABCDEF内接于OO, ∴⊙0的半径为0D,0C,且0D=0C, ∴△COD为等边三角形， 0D=0C=CD, 0 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 ~正六边形ABCDEF,且正六边形的周长为18， 0D=0C=CD=18÷6=3, 00的半径为3. 故选：B. A D 例3.(25-26九年级上陕西安康期末)如图，⊙0是雪花”图案（正六边形ABCDEF)的外接圆，则正六边形中 心角∠AOF的度数为， B 【答案】60° 【详解】解：∠40F=360° =60°， 6 故答案为：60°. 例4.(25-26九年级上内蒙古鄂尔多斯期末)如图，⊙0是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点， ∠EAP=28°，则∠BCP的度数为一· D 0 B 【答案】100° 【详解】解：~多边形ABCDE是正五边形， ÷∠BAE=5-2x180 =108°， 5 ∠EAP=28°， .∠BAP=∠BAE-∠EAP=108°-28°=80°， .∠BCP=180°-∠BAP=100°， 10圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点目录 切线长定理 正多边形与圆 切线的证明 考点一 切线长定理 例1.(25-26九年级上北京门头沟期末)如图，PA,PB与⊙0分别相切于点A,B.如果∠P=60°，AB=2,那 么PA的长度是() A 0 A.2 B.3 C.5 D.2W5 例2.(25-26九年级上·湖北武汉·月考)如图，Rt△ABC,斜边BC=5,AC=3,内切圆I切各边于点D,E,F,连接 EF,作DG⊥EF交AB于G,则GD长为() B A.35 B.25 C.0 D.3 2 例3.(25-26九年级上·新疆喀什期末)如图，P是⊙0外一点，PA、PB分别和O0切于A、B,C是弧AB上任意 一点，过C作⊙0的切线分别交PA、PB于D、E,若△PDE的周长为16，则PA长为一· E B 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 例4.(25-26九年级上北京石景山期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，以AB为直径的 OO与CD相切于点E,若AD=1,BC=2.则CD的长为 B 例5.(25-26九年级上：内蒙古呼和浩特·期末)如图，P为⊙0外一点，PA和PB为⊙0的两条切线，A和B为切点， BC为直径. A ○ (1)求证： ①△APO≌△BP0. ②P0∥AC. (2)若AC=4,0C=2√5，求AP的长. 2 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 变式1.(25-26八年级上北京西城月考)如图，PA,PB分别与⊙0相切于AB两点，点C在⊙0上，若∠C=55°， 则∠P的度数为() A C P Q B A.55° B.110 C.80° D.70° 变式2.(25-26九年级上·吉林·期末)如图，周长为18cm的三角形纸片ABC,其中AC=4cm.小刚想用剪刀剪出 它的内切圆OO,他先沿着与OO相切的直线DE剪下一个三角形纸片BDE.则三角形BDE的周长是() 6 B E A.10cm B.9cm C.8cm D.7cm 变式3.(25-26九年级上·辽宁盘锦期末)如图，ABC的内切圆OO与AC,AB,BC分别相切于点D,E,F, 且AB=5,BC=8,AC=9,则AD=一 B F ●0 D 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 变式4.(25-26九年级上北京期末)如图，PA,PC是⊙0的切线，A,C为切点.若∠APC=60°，AP=5√5，则 直径AB的长是一 变式5.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，⊙0是ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F, ∠D0E=120°，∠E0F=150°. (I)求ABC的三个内角的大小： (2)设⊙0的半径为1，求AB+AC-BC的值. 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点二 正多边形与圆 例1.(25-26九年级上·陕西榆林期末)青铜太阳轮为三星堆二号祭祀坑出土的商代青铜器，距今约3000年，如图 所示，它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，则图中∠α的度数为() A.60° B.70° C.72 D.75 例2.(24-25九年级上·云南红河期末)如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙0，且正六边形的周长为18，则 ⊙0的半径是() F B 0 A.5 B.3 C.25 D.35 例3.(25-26九年级上·陕西安康·期末)如图，⊙0是“雪花”图案（正六边形ABCDEF)的外接圆，则正六边形中 心角∠AOF的度数为 5 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 例4.(25-26九年级上内蒙古鄂尔多斯期末)如图，⊙0是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点， ∠EAP=28°，则LBCP的度数为· D D 变式1.(25-26九年级上·浙江台州期末)如图，正八边形ABCDEFGH内接于O0，连接CG,HE相交于点Q, 则∠GQH的度数为() H G B D A.75° B.72° C.67.5° D.62.5° 变式2.(2526九年级上·安徽淮南·期末)如图，若⊙0的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似 估计圆的面积，可得π的估计值为() A.3 B.3V5 C.2W5 D.2W2 2 6 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 变式3.(25-26九年级上河北石家庄月考)如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆O,则∠B0E 的度数为 0 F 变式4.(25-26九年级上云南昭通月考)圆内接正四边形的边长为8cm,则它的边心距等于 cm. 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 考点三 切线的证明 例1.(25-26九年级上贵州期末)如图，在ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙0，交AC于点D,交AB于 点E,过点D作DF⊥AB于F. ○ B (1)求证：DF是⊙0的切线： (2)若AC=12,00的半径为5，求DF的长. 例2.(25-26九年级上·浙江台州期末)如图，OB是⊙0的半径，弦CD⊥OB,垂足为E,AB∥CD,OC延长线交 AB于点A. (1)求证：AB是⊙0的切线： (2)若BE=2,CD=6,求OB的长 8 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 例3.(25-26九年级上：四川南充期末)如图，AB,ADC分别是半圆O的直径和割线，弦BE平分∠ABD,OE与 AC交于F,EG⊥AB于G,∠OEG=∠DBC. (1)求证：BC是半圆O的切线 (2)若BE=45,EF=2,求EG的长. 例4.(25-26九年级上·陕西安康期末)如图，⊙0的弦AD∥BC,D为AC的中点，连接AC,过点D作 DE∥AC交BC的延长线于点E,连接DO并延长，分别交AC、BC于点G、F. D G E (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AD=10,DE=16,求⊙0的半径. 0 圆：切线长定理、正多边形与圆、切线的证明专项训练 变式1.(25-26九年级上湖北随州月考)如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足是点H,过 点C作直线分别与AB,AD的延长线交于点E,F,且∠ECD=2LBAD· D (1)求证：CF是O0的切线； (2)如果AB=20,CD=12,求AE的长 变式2.(25-26九年级上陕西榆林·期末)如图，四边形ABCD内接于O0,BD为直径，过点A作AE⊥CD交CD 的延长线于点E,DA平分∠BDE· (I)求证：AE是OO的切线； (2)若AD=2V5,BC=8,求DE的长. 9