精品解析：湖南省益阳市2025-2026学年上学期九年级12月过关数学试卷

益阳市2025年下学期12月过关检测九年级数学卷 时量为120分钟，卷面满分120分 一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母在答题卡相应的位置正确填涂好） 1. 已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣4 D. 4 2. 如图，在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( ) A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 6. 如图，已知，当（ ）时，． A. B. C. D. 1 7. 已知点，都在反比例函数的图象上,且,则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的 10. 在书香校园文化建设中，某班制作了一块的长方形成果展板，其成本是元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的倍，那么扩大后长方形展板的成本是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二.填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填到答题卡相应的位置．） 11. 已知，则______． 12. 已知反比例函数的解析式为y＝．则a的取值范围是_____． 13. 若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 14. 如图，二次函数的图象过原点，且该图象的对称轴是直线，若函数值．则取值范围是_________． 15. 某校九年级挑选名团员参加植树活动，随机调查了其中名团员植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估计这些团员此次植树活动约植树_____棵． 16. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡角为，的长为12米，那么大厅两层之间的高度为________米（结果保留一位小数）【参考数据：】． 17. 用一根长为的木条做一个长方形的窗框，若宽为，则该窗户的面积与之间的函数关系式为______ ． 18. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____． 三.解答题（本大题共8个小题，共66分．请将答案填到答题卡相应的位置） 19. 计算 20. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，两点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的值及该一次函数的解析式． 22. 小红的奶奶开了一个金键牛奶销售店，主要经营“金键学生奶”、“金键酸牛奶”、“金键原味奶”，可奶奶经营不善，经常有品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够），造成了浪费或亏损，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况，并绘制了下表： 品种 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 金键学生奶 2 1 0 1 0 9 8 金键酸牛奶 70 70 80 75 84 81 100 金键原味奶 40 30 35 30 38 47 60 （1）计算各品种牛奶的日平均销售量，并说明哪种牛奶销量最高； （2）计算各品种牛奶的方差（保留两位小数），并比较哪种牛奶销量最稳定； （3）假如你是小红，你会对奶奶有哪些好的建议． 23. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°． （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73） 24. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式； （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值． 26. 如图，在矩形中，，．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： （1）当为何值时，为等腰直角三角形？ （2）求四边形的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益阳市2025年下学期12月过关检测九年级数学卷 时量为120分钟，卷面满分120分 一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母在答题卡相应的位置正确填涂好） 1. 已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1， ∴将代入得，，解得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念． 2. 如图，在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC=， ∴sinA=. 故选A． 点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 4. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长. 详解：∵，， ∴∠ABO=∠CDO, ∵∠AOB=∠COD, ∴△AOB∽△COD， ∴ ∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m， ∴. 故选C. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键． 5. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（　　） A. 点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【详解】把点（-2，-1）代入可得，x=-2时，y=-1，所以该点在函数图象上，A正确，不符合题意； 因为2大于0所以该函数图象在第一，三象限，所以B正确，不符合题意； 因为2大于0，所以该函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以C错误，符合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的基本性质以及反比例函数的在各个象限单调性的变化是解题关键． 6. 如图，已知，当（ ）时，． A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等的关系． 欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∵，， 即， 解得， 故选B． 7. 已知点，都在反比例函数的图象上,且,则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象与的正负关系是解题的关键． 根据反比例函数的性质，时，图象位于第二、四象限，结合点的横坐标符号，可确定纵坐标符号． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴图象在第二、四象限。 ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∴， 故选D． 8. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】设共有x个班级参赛，根据题意得： =15， 解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）， 则共有6个班级参赛， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系准确的列出方程． 9. 下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分是下降的 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案. 【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确； B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确； C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=， ∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键. 10. 在书香校园文化建设中，某班制作了一块的长方形成果展板，其成本是元．在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展板的四边都扩大到原来的倍，那么扩大后长方形展板的成本是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 直接利用相似多边形的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将此展板的四边都扩大为原来的倍， ∴面积扩大为原来的倍， ∴扩大后展板的成本为（元）， 故选C． 二.填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填到答题卡相应的位置．） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设可得再代入求值即可得到答案． 【详解】解：设 故答案为： 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例问题是解题的关键． 12. 已知反比例函数的解析式为y＝．则a的取值范围是_____． 【答案】a≠±2 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，且不能等于0解答即可． 【详解】解：由题意可得：|a|﹣2≠0， 解得：a≠±2， 故答案为a≠±2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答． 13. 若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围. 【详解】解：由，得 且， ∴， 则代入方程得， ∵方程有两个实数根， ∴判别式且； 解得 且 ， 故答案为： 且 . 14. 如图，二次函数的图象过原点，且该图象的对称轴是直线，若函数值．则取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，此类题目利用数形结合的思想求解更简便，本题求出抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键． 根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再利用二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线图象过原点，且该图象的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，， 故答案为：． 15. 某校九年级挑选名团员参加植树活动，随机调查了其中名团员植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估计这些团员此次植树活动约植树_____棵． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由样本估计总体，先计算50名团员的平均植树量，然后用样本的平均数估计总体的平均数即可． 【详解】解：50名团员共植树（棵）， ∴名团员约植树（棵）， 故答案为：． 16. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡角为，的长为12米，那么大厅两层之间的高度为________米（结果保留一位小数）【参考数据：】． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．根据题意和锐角三角函数可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：在中，， （米）， 答：大厅两层之间的距离的长约为米． 故答案为：． 17. 用一根长为的木条做一个长方形的窗框，若宽为，则该窗户的面积与之间的函数关系式为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出长方形的长，再根据长方形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵用一根长为的木条做一个长方形的窗框，宽为， ∴长方形的长为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，正确表示出长方形的长是解题的关键． 18. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解. 【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6， 整理得，3x+3=6， 解得，x=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了解方程，涉及完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键． 三.解答题（本大题共8个小题，共66分．请将答案填到答题卡相应的位置） 19. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算的能力，掌握特殊角度的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的函数值计算乘法，然后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB． 【答案】河宽为17米． 【解析】 【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长． 【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°， ∵∠CAB＝∠EAD， ∴∆ABC∽∆ADE， ∴， 又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5， ∴， ∴AB＝17， 即河宽为17m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，两点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）求的值及该一次函数的解析式． 【答案】（1）y；（2）n＝﹣6，y＝2x﹣5． 【解析】 【分析】利用已知点在函数图像上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这个点满足函数解析式，那么其一定在函数图像上即可求出本题答案. 【详解】（1）∵反比例函数y的图象经过A（3，1），∴k＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式为y； （2）把B（，n）代入反比例函数解析式，可得 n＝3，解得n＝﹣6，∴B（，﹣6），把A（3，1），B（，﹣6）代入一次函数y＝mx+b，可得 ，解得，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣5． 【点睛】本题考查了利用图像解决一次函数和反比例函数的知识点，熟练利用图像来解决一次函数和反比例函数问题的方法是本题解题的关键. 22. 小红的奶奶开了一个金键牛奶销售店，主要经营“金键学生奶”、“金键酸牛奶”、“金键原味奶”，可奶奶经营不善，经常有品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够），造成了浪费或亏损，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况，并绘制了下表： 品种 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 金键学生奶 2 1 0 1 0 9 8 金键酸牛奶 70 70 80 75 84 81 100 金键原味奶 40 30 35 30 38 47 60 （1）计算各品种牛奶的日平均销售量，并说明哪种牛奶销量最高； （2）计算各品种牛奶的方差（保留两位小数），并比较哪种牛奶销量最稳定； （3）假如你是小红，你会对奶奶有哪些好的建议． 【答案】（1）3， 80， 40，金键酸牛奶销量高；（2）金键学生奶销量最稳定；（3）酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些． 【解析】 【详解】试题分析：根据平均数、方差的计算公式计算即可，同时要注意方差越小数据越稳定． 试题解析：解：（1）学生奶=3，酸牛奶=80，原味奶=40，金键酸牛奶销量高； （2）金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定； （3）酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些． 点睛：本题主要考查了方差的意义和用统计的知识解决实际问题．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 23. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°． （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米 【解析】 【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可； （2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程． 【详解】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D， ∵AB⊥CD，sin30°=，BC=80千米， ∴CD=BC•sin30°=80×（千米）， AC=（千米）， AC+BC=80+40≈40×1.41+80=136.4（千米）， 答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米； （2）∵cos30°=，BC=80（千米）， ∴BD=BC•cos30°=80×（千米）， ∵tan45°=，CD=40（千米）， ∴AD=（千米）， ∴AB=AD+BD=40+40≈40+40×1.73=109.2（千米）， ∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）． 答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 24. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【答案】（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元 【解析】 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论； （2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b， ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80． 当x=23.5时，y=﹣2x+80=33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 解得：x1=35，x2=25． ∵20≤x≤32， ∴x=25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是掌握：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C． （1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式； （2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值． 【答案】(1) y=﹣x2+4x﹣3；(2) 点P的坐标为（，）；(3) . 【解析】 【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=-x 2+ax+b，解得a，b可得解析式；  （2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标； （3）由P点的坐标可得C点坐标，A、B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果． 【详解】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得， ， 解得，a=4，b=﹣3， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3； （2）∵点C在y轴上， 所以C点横坐标x=0， ∵点P是线段BC的中点， ∴点P横坐标， ∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上， ∴， ∴点P的坐标为； （3）∵点P的坐标为，点P是线段BC的中点， ∴点C的纵坐标为 ∴点C的坐标为（0，）， ∴BC== ， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与性质，解直角三角形，勾股定理，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键． 26. 如图，在矩形中，，．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： （1）当为何值时，为等腰直角三角形？ （2）求四边形的面积；提出一个与计算结果有关的结论； （3）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）时，为等腰直角三角形 （2）四边形的面积为；在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变 （3）当经过秒或秒时，与相似 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． （1）根据题意得出，，，由于为等腰直角三角形，则，求出的值即可； （2）根据计算即可得出结论； （3）由于以点、、为顶点的三角形与的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【小问1详解】 解：∵，， 点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动， 点沿边从点向点以厘米/秒的速度移动， ∴，，， 当为等腰直角三角形即， 解得：． 【小问2详解】 解：在中，∵，边上的高， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴由计算结果发现：在、两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． 【小问3详解】 解：∵与中均有， 若二者相似，则对应边应成比例，对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论： 当时， 即， 解得（秒）； 当时， 即， 解得（秒）； 故当经过秒或秒时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $