1.1.1幂的乘除 (第1课时 同底数幂的乘法)同步练习2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.1.1幂的乘除 (第1课时 同底数幂的乘法) 复习回顾： 1. 求n个相同因数的积的运算叫做 ；乘方的结果叫做 ；将a×a×…×a(n个a相乘)写成乘方的形式为 . 2. an表示的意义是 ；其中 叫底数(任意有理数)； 叫指数(正整数)；读作 . 练习1. 将下列各式写成乘方的形式，指出底数和指数. ①2×2×2×2＝ . 底数是 ，指数是 . ②(－3)×(－3)×(－3)＝ . 底数是 ，指数是 . ③－3×3×3＝ . 底数是 ，指数是 . ④a·a·a·a·a＝ . 底数是 ，指数是 . ⑤＝ . 底数是 ，指数是 . 情景1. 光在真空中的速度大约是3×108m/s.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 计算：比邻星与地球之间的距离大约是 (m). 思考：108×107等于多少呢? →观察算式108×107，两个因式有何特点？ · 我们把108×107这种运算叫做同底数幂的乘法. 计算：108×107(根据乘方的意义可知) 108×107＝× (乘方的意义) ＝ (乘法的结合律) ＝108+7 ＝1015 (乘方的意义) · 尝试·思考 1.计算下列各式： (1)102×103；(2)105×108； (3)10m×10n (m，n都是正整数). 2.(1)2m×2n等于什么？(2)()m×()n和(－3)m×(－3)n呢?(m，n都是正整数) 观察：计算前后，底数和指数有何变化? · 尝试·交流 如果m、n都是正整数，那么am·an等于什么？为什么？与同伴进行交流. · 同底数幂的乘法法则：am·an＝a m+n (m，n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 运用法则的前提条件：①底数相同；②乘法运算(两者缺一不可) 例1：计算 (1)(－3)7×(－3)6； (2)()3×； (3)－x3 • x5； (4)b2m • b2m+1 · 易错警示： 1. 同底数幂相乘时，底数不变，指数是相加的； →①底数不相同时，先变成同底数再应用法则；②常见变形：(－a)2＝a2，(－a)3＝－a3 2. 不能忽略指数为 1 的情况； 3. 计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的． 4. 公式中的a可为一个数、单项式或多项式，如：(x－y)m·(x－y)n＝(x－y)m+n； · 思考·交流 am·an·ap (m、n、p都是正整数)等于什么?为什么? 类比同底数幂的乘法法则：am·an＝a m+n (m，n都是正整数)，可得am·an·ap＝am+n+p(m、n、p都是正整数) 例2：光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要 5×102s．地球距离太阳大约有多远？ 随堂练习： 1. 计算： (1)52×57； (2)7×73×72 (3)－x2·x5 (3)(－c)3·(－c)m 2. 2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以1.25×1017次/s 的峰值计算能力和 9.3×1016 次/s的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单TOP500第一名.该超级计算机按持续计算能力运算 2×102 s可做多少次运算? 3. 解决本课提出的比邻星与地球之间的距离问题. 情景2. 填一填：若xm＝3，xn＝2，那么： (1)xm+n＝ × ＝ × ＝ ； (2)x2m＝ × ＝ × ＝ ； (3)x2m+n＝ × ＝ × ＝ . · 当幂的指数是和的形式时，可逆用，即am+n＝am·an(m，n都是正整数)，然后把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算式中求解． [例如：a4·a6＝a10，反过来：a10＝a4·a6＝a5·a5＝a2·a8＝…] 练习2. 1. 下列选项中，与2n 为同底数幂的是( ). A.3n B.()m C.－2m D.(－2)m 2. 计算：①(－)×(－)2×(－)3＝ ；②()7×(－)5＝ 3. 已知xm＝3，xn＝5，求xm+n的值. 4. 已知am＝2，an＝5，求am+n的值． 5. 如果m，n是正整数，且3m·3n＝27，试求mn的值. 6. 计算：(1)(x－y)•(x－y)5；(2)(b－a)2•(a－b)5；(3)(x＋3)3•(x＋3)5•(x＋3). 巩固练习： 1. 下列各式的结果等于26的是( ). A. 2＋25 B. 2·25 C. 23·25 D. 0.22· 0.24 2. 下列计算结果正确的是( ). A. a3·a3＝a9 B. m2·n2＝mn4 C. xm·x3＝x3m D. y·yn＝yn+1 3. 下面计算正确的是( ). A. (y－x)·(y－x)2·(y－x)3＝(x－y)6 B. (x－y)2·(y－x)3＝(x－y)5 C. (x－y)·(y－x)3·(x－y)2＝(x－y)6 D. (x－y)5·(y－x)2＝－(x－y)7 4. 计算： (1)x2·x5； (2) a·a6； (3)(－2)×(－2)4×(－2)3； (4)xm·x3m+1 (5)(a＋b)4·(a＋b)7； (6)(x－y)2·(y－x)5； (7)xn+2·xn+1·xn·x 5. 已知2m＝4，2n＝16，m，n为正整数，则2m+n＝ . 6. 已知2a＝2，2b＝6，2c＝3，则2a+b+c＝ . 7. 光速约为3×108米/秒，太阳光照射到地球上的时间约为5×102秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 8. 若3×32m×33m＝321，则m的值是 . 9. 已知x＋y－3＝0，则2y·2x的值是( ). A．6 B．－6 C． D．8 10. 计算：xn·xn+1＋x2n·x(n是正整数) 11. 阅读下面的材料，并回答后面的问题． 材料：由乘方的意义，我们可以得到102×103＝10×10×10×10×10＝105， (－2)3×(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝(－2)7． 于是，我们可以得到同底数幂的乘法的运算规律：am·an＝am+n(m，n都是正整数). 问题： (1)计算：①(－)4×(－)6；②32×(－3)3． (2)将23＋23＋23＋23写成底数是2的幂的形式． (3)若(x－y)2·(x－y)p·(x－y)5＝(x－y)23求p的值． 12. 定义一种新运算(a，b)，若ac＝b，则(a，b)＝c，例(2，8)＝3，(3，81)＝4． 若(3，5)＋(3，7)＝(3，x)，求x的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1幂的乘除 (第1课时 同底数幂的乘法) 复习回顾： 1. 求n个相同因数的积的运算叫做 乘方 ；乘方的结果叫做 幂 ；将a×a×…×a(n个a相乘)写成乘方的形式为 an . 2. an表示的意义是 n个a相乘 ；其中 a 叫底数(任意有理数)； n 叫指数(正整数)；读作 a的n次方或a的n次幂 . 练习1. 将下列各式写成乘方的形式，指出底数和指数. ①2×2×2×2＝____24____. 底数是 2 ，指数是 4 . ②(－3)×(－3)×(－3)＝___(－3)3___. 底数是 －3 ，指数是 3 . ③－3×3×3＝____－33____. 底数是 3 ，指数是 3 . ④a·a·a·a·a＝____ a5 ____. 底数是 a ，指数是 5 . ⑤＝____ am ____. 底数是 a ，指数是 m . 情景1. 光在真空中的速度大约是3×108m/s.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 计算：比邻星与地球之间的距离大约是3×108×3×107×4.22＝37.98×(108×107)(m). 思考：108×107等于多少呢? →观察算式108×107，两个因式有何特点？ 108和107这两个因数底数相同，是同底的幂的形式. · 我们把108×107这种运算叫做同底数幂的乘法. 计算：108×107(根据乘方的意义可知) 108×107＝× (乘方的意义) ＝ (乘法的结合律) ＝108+7 ＝1015 (乘方的意义) · 尝试·思考 1.计算下列各式： (1)102×103；(2)105×108； (3)10m×10n (m，n都是正整数). 解：(1)102×103＝×＝105. (2)105×108＝×＝1013. (3)10m×10n＝×＝10m+n. 2.(1)2m×2n等于什么？(2)()m×()n和(－3)m×(－3)n呢?(m，n都是正整数) 观察：计算前后，底数和指数有何变化? 解：(1)2m×2n＝2(m+n)；(2)()m×()n＝()(m+n)，(－3)m×(－3)n＝(－3)(m+n) (同底数幂相乘，底数不变，指数相加) · 尝试·交流 如果m、n都是正整数，那么am·an等于什么？为什么？与同伴进行交流. am·an＝· (乘方的意义) ＝ (乘法的结合律) ＝a (m+n) (乘方的意义) · 同底数幂的乘法法则：am·an＝a m+n (m，n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 运用法则的前提条件：①底数相同；②乘法运算(两者缺一不可) 例1：计算 (1)(－3)7×(－3)6； (2)()3×； (3)－x3 • x5； (4)b2m • b2m+1 解：(1)(－3)7×(－3)6＝(－3)7+6＝(－3)13；(2)()3×＝()3+1＝()4 (3)－x3 • x5＝－x3+5＝－x8； (4) b2m • b2m+1＝b2m+2m+1＝b4m+1 · 易错警示： 1. 同底数幂相乘时，底数不变，指数是相加的； →①底数不相同时，先变成同底数再应用法则；②常见变形：(－a)2＝a2，(－a)3＝－a3 2. 不能忽略指数为 1 的情况； 3. 计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的． 4. 公式中的a可为一个数、单项式或多项式，如：(x－y)m·(x－y)n＝(x－y)m+n； · 思考·交流 am·an·ap (m、n、p都是正整数)等于什么?为什么? am·an·ap＝··＝am+n+p(m、n、p都是正整数) 3个及以上的同底数幂相乘，底数不变，指数相加 类比同底数幂的乘法法则：am·an＝a m+n (m，n都是正整数)，可得am·an·ap＝am+n+p(m、n、p都是正整数) 例2：光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要 5×102s．地球距离太阳大约有多远？ 解：3×108×5×102＝15×1010＝1.5×1011(m). 答：地球距离太阳大约有1.5×1011m. 随堂练习： 1. 计算： (1)52×57； (2)7×73×72 (3)－x2·x5 (3)(－c)3·(－c)m 解：(1)52×57＝52+7＝59；(2)7×73×72＝71+3+2＝76 ；(3)－x2·x5＝－x2+5＝－x7；(4)(－c)3·(－c)m＝(－c)3+m 2. 2017年6月，我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机以1.25×1017次/s 的峰值计算能力和 9.3×1016 次/s的持续计算能力，第三次名列世界超级计算机排名榜单TOP500第一名.该超级计算机按持续计算能力运算 2×102 s可做多少次运算? 解： 2×102×9.3×1016＝18.6×(102×1016)＝18.6×1018＝1.86×1019(次) 3. 解决本课提出的比邻星与地球之间的距离问题. 解： 3×108×3×107×4.22＝37.98×(108×107)＝37.98×1015＝3.798×1016(m) 情景2. 填一填：若xm＝3，xn＝2，那么： (1)xm+n＝ xm × xn ＝ 3 × 2 ＝ 6 ； (2)x2m＝ xm × xm ＝ 3 × 3 ＝ 9 ； (3)x2m+n＝ x2m × xn ＝ 9 × 2 ＝ 18 . · 当幂的指数是和的形式时，可逆用，即am+n＝am·an(m，n都是正整数)，然后把幂作为一个整体代入变形后的幂的运算式中求解． [例如：a4·a6＝a10，反过来：a10＝a4·a6＝a5·a5＝a2·a8＝…] 练习2. 1. 下列选项中，与2n 为同底数幂的是( C ). A.3n B.()m C.－2m D.(－2)m 2. 计算：①(－)×(－)2×(－)3＝ ()6 ；②()7×(－)5＝ －()12 3. 已知xm＝3，xn＝5，求xm+n的值. 解：xm+n＝xm·xn＝3×5＝15 4. 已知am＝2，an＝5，求am+n的值． 解：am+n＝am·an＝2×5＝10. 5. 如果m，n是正整数，且3m·3n＝27，试求mn的值. 解：因为3m·3n＝27＝33，所以m＋n＝3. 又因为m，n是正整数， 所以当 m＝1时，n＝2，此时mn＝12＝1； 当m＝2 时，n＝1，此时mn＝21＝2. 6. 计算：(1)(x－y)•(x－y)5；(2)(b－a)2•(a－b)5；(3)(x＋3)3•(x＋3)5•(x＋3). 解：(1)(x－y)•(x－y)5＝(x－y)1+5＝(x－y)6； (2)(b－a)2•(a－b)5＝(a－b)2•(a－b)5＝(a－b)2+5＝(a－b)7 (3)(x＋3)3•(x＋3)5•(x＋3)＝(x＋3)3+5+1＝(x＋3)9 巩固练习： 1. 下列各式的结果等于26的是( B ). A. 2＋25 B. 2·25 C. 23·25 D. 0.22· 0.24 2. 下列计算结果正确的是( D ). A. a3·a3＝a9 B. m2·n2＝mn4 C. xm·x3＝x3m D. y·yn＝yn+1 3. 下面计算正确的是( A ). A. (y－x)·(y－x)2·(y－x)3＝(x－y)6 B. (x－y)2·(y－x)3＝(x－y)5 C. (x－y)·(y－x)3·(x－y)2＝(x－y)6 D. (x－y)5·(y－x)2＝－(x－y)7 4. 计算： (1)x2·x5； (2) a·a6； (3)(－2)×(－2)4×(－2)3； (4)xm·x3m+1 (5)(a＋b)4·(a＋b)7； (6)(x－y)2·(y－x)5； (7)xn+2·xn+1·xn·x 解：(1)x7；(2)a7； (3)256；(4) x4m+1；(5)(a＋b)11；(6)(y－x)7；(7)x3n+4 5. 已知2m＝4，2n＝16，m，n为正整数，则2m+n＝ 64 . 6. 已知2a＝2，2b＝6，2c＝3，则2a+b+c＝ 36 . 7. 光速约为3×108米/秒，太阳光照射到地球上的时间约为5×102秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 1.5×1011 米． 8. 若3×32m×33m＝321，则m的值是____4____. 9. 已知x＋y－3＝0，则2y·2x的值是( D ). A．6 B．－6 C． D．8 10. 计算：xn·xn+1＋x2n·x(n是正整数) 答案：2x2n+1 11. 阅读下面的材料，并回答后面的问题． 材料：由乘方的意义，我们可以得到102×103＝10×10×10×10×10＝105， (－2)3×(－2)4＝(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)×(－2)＝(－2)7． 于是，我们可以得到同底数幂的乘法的运算规律：am·an＝am+n(m，n都是正整数). 问题： (1)计算：①(－)4×(－)6；②32×(－3)3． (2)将23＋23＋23＋23写成底数是2的幂的形式． (3)若(x－y)2·(x－y)p·(x－y)5＝(x－y)23求p的值． 答案：(1)①()10；②－35；(2)25；(3)p＝16 12. 定义一种新运算(a，b)，若ac＝b，则(a，b)＝c，例(2，8)＝3，(3，81)＝4． 若(3，5)＋(3，7)＝(3，x)，求x的值． 答案：x＝35. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $