精品解析：内蒙古准格尔旗世纪中学2025-2026学年高三上学期数学第16周周测

准格尔旗世纪中学高三数学第十六周周测 一、单选题（共40分） 1. 设动点满足，则点的轨迹的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆定义及其离心率定义计算即可得. 【详解】由， 故点到点与点的距离之和为， 又，故点的轨迹为以、为焦点， 为长轴长的椭圆，则点的轨迹的离心率. 故选：A. 2. 复数的共轭复数的虚部为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的共轭复数为，所以虚部为，选D. 3. 已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】平移后的解析式为奇函数得到，求出的最小值. 【详解】因为为奇函数，则， 所以，又，所以，解得， 因为，所以时，取得最小值，最小值为8. 故选：D 4. 已知为正项的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的应用和等比数列的通项公式求得，结合等比数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】因为与的等差中项为，所以， 设等比数列的公比为， 又，得，解得或（舍去）， 则. 故选：C. 5. 已知在正四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为三角形的中心，取中点，连接，根据正四面体的性质得到平面，且，即为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】如图，在正四面体中，设为三角形的中心，取中点，连接， 由正四面体的性质可知平面，且，则即为直线与平面所成的角， 因为，则， 故，故， 由勾股定理得， 故， 即直线与平面所成角的正弦值为． 故选：D． 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 7. 已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与直线、直线与圆的位置关系即得答案. 【详解】因为以为直径的圆的方程为， 又圆：，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为， 由，可得，即得直线AB的方程为. 故选：C. 8. 已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，将原函数的零点转化为方程的根，令，转化为，再令，得到使时的根的个数，再分类讨论的范围与根的关系，结合函数与方程性质及零点的关系即可得. 【详解】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 二、多选题（共12分） 9. 如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（ ） A. 平面平面 B. 四面体外接球的表面积为 C. 直线与直线相交 D. 四面体与正三棱柱的公共部分的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而证明面面垂直，判断A；因为四面体是侧棱垂直于底面，且底面为直角三角形的三棱锥，所以可根据对应的模型求得外接球半径，从而求得外接球表面积，以判断B；用反法思想证明直线与直线不相交，以判断C；四面体与正三棱柱的公共部分为棱台，可用三棱锥相似及四面体与求得公共部分体积，判断D. 【详解】对于A，正中，因为为棱的中点，所以，. 因为正三棱柱中，侧棱平面，平面，所以. 平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.所以A正确. 对于B，四面体中，底面. 因为，所以是直角三角形，所以其外接圆半径为. 所以四面体的外接球半径. 所以四面体外接球的表面积为.所以B正确. 对于C，因为侧棱平面，底面，所以平行于. 因为平面，平面，所以平面. 所以平面平面. 若直线与直线相交，记交点为M，则，又，直线与直线有两个公共点， 所以重合，显然不成立，所以直线与直线不相交.所以C错误. 对于D，如图，记，连接，交于点H. 连接，交于点G，连接. 四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台. 因为. 所以. 所以. 四面体与正三棱柱的公共部分的体积为.故D错误. 故选：AB. 10. 已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 圆和圆共有4条公切线 C. 若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10 D. 经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得圆的圆心坐标和半径，结合直线方程的形式，圆与圆的位置关系的判定，以及圆的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 对于A，直线的方程为，即，所以A正确； 对于B，因为 且，可得， 所以圆与圆外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误； 对于C，因为，所以的最大值为，所以C正确； 对于D，当为圆的直径时，该圆在经过点，的所有圆中面积最小， 此时圆的面积为，所以D正确． 故选：ACD. 三、填空题（共15分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由余弦的和差角公式展开可得，再由二倍角公式，即可得到结果. 【详解】因为，整理得， 所以，所以， 所以． 故答案为： 12. 如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，结合已知条件可求，从而可求底面半径，从而可求侧面积. 【详解】连接AC． 设，则为锐角且， 又，所以圆锥的底面半径， 圆锥的高， 则该圆锥的体积为， 解得， 所以，，即母线长， 所以侧面积． 故答案为：. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的定义，利用等面积法可得方程，由此可得，再由正弦定理可得，又根据的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，可得，由此列出方程化简即可得到齐次式，即解方程注意即可得到结果. 【详解】 根据已知条件有，有正弦定理面积公式有： ，又， 所以， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 因为为椭圆上一点，则，又， 以的三边为底，内切圆半径为高的三个三角形面积和等于面积， 所以，解得， 由正弦定理有：，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，即，即， 所以，即， 即，两边同除以，得，又，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法求出，再利用正弦定理求出，结合已知条件得到关于、的齐次式求解. 四、解答题（共32分） 14. 已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求出椭圆C的标准方程； （2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于的关系式，再分析即可得解； 【小问1详解】 由题意可知，将点代入椭圆方程， 得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 当直线l的斜率为0时，， 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，， 联立，消去，得， 易得，则， 所以 ， 因为，所以，所以，所以， 综上，，即的范围是. 15. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数分类讨论判断函数的单调性，即可求解； （2）先利用导数证明不等式，分离变量可得恒成立，进而，即可求解. 【小问1详解】 函数，的定义域为，且． 当时，，恒成立，此时在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 设，则， 在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增， 所以，所以（当且仅当时等号成立）． 依题意，，恒成立，即恒成立， 而， 当且仅当时等号成立． 因为函数在上单调递增，，， 所以存在，使得成立． 所以，即a的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 准格尔旗世纪中学高三数学第十六周周测 一、单选题（共40分） 1. 设动点满足，则点的轨迹的离心率为（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数的虚部为 A. B. C. D. 3. 已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知为正项的等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知在正四面体中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共12分） 9. 如图，正三棱柱的每条棱的长度均为为棱的中点，底面，点在平面的上方，且，则（ ） A. 平面平面 B. 四面体外接球的表面积为 C. 直线与直线相交 D. 四面体与正三棱柱的公共部分的体积为 10. 已知圆，圆，则下列选项正确的是（ ） A. 直线的方程为 B. 圆和圆共有4条公切线 C. 若P，Q分别是圆和圆上的动点，则的最大值为10 D. 经过点，的所有圆中面积最小的圆的面积为 三、填空题（共15分） 11. 已知，则______． 12. 如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________． 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率__________． 四、解答题（共32分） 14. 已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求的范围. 15. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若，恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $