精品解析：贵州省黔东南州2025-2026学年上学期期末检测九年级数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 已知的半径是，点P是外一点，则 的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点是外一点，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径是 ，点是外一点， ∴； ∴的长可能是． 故选：D． 3. 经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义判断即可． 【详解】解：经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是随机事件， 故选：A． 4. 关于的方程的一根为1，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，理解一元二次方程根的概念是关键． 将已知根 代入方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 5. 如图，点A关于原点的中心对称点是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点K D. 点R 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【详解】解：由图知A点的坐标为 ∴A关于原点的中心对称点，即K点． 故选：C． 6. 抛物线的对称轴是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数对称轴方程，解题的关键是掌握二次函数对称轴公式．由二次函数的对称轴为直线，代入公式即可得答案． 【详解】解：∵抛物线方程为，其中, ， ∴对称轴为， 故对称轴为， 故选：A． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得： ； 故选D． 8. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 根据是的直径得出，再由圆周角定理可得 ，即可求出． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为， 故选B． 10. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由垂径定理的推论可得，，利用勾股定理求出的长即可求解， 【详解】解：根据题意由垂径定理的推论可得， ∴ ， ∵铅球半径， ∴， 在 中， ， ∴， 故选：C． 11. 近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到 万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题．设月均增长率为，则经过两个月增长后产值变为初始值的倍，即可列出方程． 【详解】解：月产值为 万元，月均增长率为， 月产值为万元， 根据题意，， 故选：． 12. 若二次函数 ，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限 ，同时由最小值可得，即可得到答案． 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即 ， 当 时，， 解得或， 直线 与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合 ， 可得． 故选：B． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不能为零是解题的关键． 根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数，解得：． 故答案为：． 14. 如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】 （或或或）（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查图形的中心旋转，此图案是正五边形，然后根据正五边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴此图案绕旋转中心旋转 的整数倍时能够与自身重合， ∴n可以为 （或或或）． 故答案为： （或或或）（答案不唯一）． 15. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是_____（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空） 【答案】白球 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为， ∵抽到黑球的概率为，抽到白球的概率为，抽到红球的概率为，抽到黄球的概率为， ∴该球的颜色最有可能是白球， 故答案为：白球． 16. 如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到，使，连接，则，先根据三角形的内心及三角形内角和定理求出，则 ，证明得，在 中，根据含有角的直角三角形的性质及勾股定理求出 ，，进而在中，由勾股定理求出，从而可得的长． 【详解】解：连接，延长到，使，连接，如图所示： 则， 在中，， ∴， ∵点是的内心， ∴ ， ， ∴， 在 中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ， 在 和 中，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在 中，， ∴ ， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，理解三角形的内心，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行运算是解决问题的关键． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演推步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）通过因式分解或直接开平方求解； （2）通过因式分解求解． 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 或 ， 18. 2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题． （1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ． （2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率． 【答案】（1） （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意直接利用概率公式可得答案； （2）用表格表示出两人的抽取结果，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个， ∴小明抽到该主题的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表： A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 由表格可得共9种等可能结果， 则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种， ∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为． 19. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角 ，求弧 的长． 【答案】（1） 如图所示， （2）弧 的长为 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，弧长的计算方法，掌握垂直平分线的画法，弧长公式的计算方法是解题的关键． （1）线段 的垂直平分线的交点即为圆心，根据画线段垂直平分线的方法即可求解； （2）根据弧长的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：分别以点为圆心，以大于 为半径画弧交于点，连接； 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接； 线段交于点， ∴点即为所求圆心． 【小问2详解】 解：根据题意，如图所示，连接，圆形轮片的直径为，圆心角 ， ∴ ， ∴， ∴弧 的长为． 20. 如图，在 中，，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）先利用勾股定理计算出的长，再根据旋转的性质得到，最后根据线段的关系即可求值； （2）先计算出的度数，再根据旋转的性质得到，，，最后根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：在 中，，， ． 绕点A顺时针旋转得到， ， ． 答：的长为2． 【小问2详解】 解：在 中，，， ． 绕点A顺时针旋转得到， ，，， ， ． 答：的度数为． 21. 为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行跑道的宽度为x米． （1）新场地的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示） （2）若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度． 【答案】（1）， （2）2米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米．进行列式，即可作答． （2）根据新场地的总面积为320平方米，进行列方程，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，且设步行跑道的宽度为x米． ∴新场地的长为米，宽为米， 【小问2详解】 解：依题意，新场地的长为米，宽为米 ∵新场地的总面积为320平方米， ∴， 整理得， 解得（舍去） ∴步行跑道的宽度为2米． 22. 如图，已知二次函数 与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若直线 与二次函数 有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） 或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标； （2）根据当时，即二次函数图象在轴上方的部分，即可写出的取值范围； （3）将 ， 联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时即可求解． 【小问1详解】 解：令，即 ， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 【小问2详解】 解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是 或． 【小问3详解】 解：由得，，即， ∵直线 与二次函数 有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线 与二次函数 有两个公共点时，的取值范围是． 23. 如图， 中，，点D在边 上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线． （1）______（写出一个与相等的角）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） （2）是等腰三角形，理由见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）根据对顶角相等即可解答； （2）连接 ，由题意易得，，，然后可得，进而，即可解答； （3）由勾股定理可得，设的半径为r，则 ， ，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由对顶角相等可得 ． 故答案为： ． 【小问2详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 连接 ， ， ． ， ． 是的切线， ，即， 在中，， ， ， ， ∴是等腰三角形． 【小问3详解】 解：在中，，，， ． ． 设的半径为r，则 ，， 在 中， ． 解得． 即的半径为3． 24. 在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 米 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，求自变量的取值范围等知识，解题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式． （1）利用抛物线的对称轴列式计算即可； （2）根据题意，设抛物线的解析式为，，再将代入求值即可； （3）先根据题意，抛物线的解析式为，再将代入整理得，，最后根据的取值范围，即可求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 则， 解得， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ． 根据题意，设抛物线的解析式为，， 将代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， 点M到地面的距离为 米． 【小问3详解】 解：由题意得，，， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的顶点的横坐标为， 又抛物线的顶点的纵坐标为， 抛物线的解析式为， 将代入得，， 整理得，， 当时，即， 解得， 或（不符合题意，舍去）； 当时，即， 解得，或（不符合题意，舍去）． 且 ， 当时，． 答：当时，m的取值范围是． 25. 已知线段是正方形 的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形 的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到 ，在 上截取线段 ，连接，若，直接写出线段的长． 【答案】（1） ， ； （2） ； 理由：∵四边形 是正方形， ∴，， 由旋转得， ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， 在中， ， ∵ ， ∴ ； （3）线段的长为或 【解析】 【分析】（1）利用正方形、旋转的性质以及边角边关系证全等，即可得到结论； （2）利用全等的性质得到 ，利用勾股定理求得 ，代入转化即可； （3）利用旋转的性质得到是直角三角形，再根据 转化为求的长，通过作垂线构造 ，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1） ， ； ∵四边形 是正方形， ∴，， ， ∴ ， ∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ， 则 ，即 ； （2）略 （3）过点C作 于点H， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 若点E在线段上，     ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴， 若点E在的延长线上时，     同理，， ∴， 同理，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 的半径是，点P是 外一点，则 的长可能是（　　） A. B. C. D. 3. 经过一个红绿灯路口，恰好是绿灯，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 4. 关于的方程的一根为1，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 5. 如图，点A关于原点的中心对称点是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点K D. 点R 6. 抛物线的对称轴是（） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是 的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 10. 在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，坑深，则该坑的宽（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 11. 近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年月产值达到 万元，预计月产值将增至万元．设该公司，两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 若二次函数 ，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 14. 如图，将正五边形绕着它的中心旋转后，能够与原来的图形完全重合，则的值可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 15. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中共装有10个球，其中有1个黑球、2个白球、3个红球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是_____（从“黑球”、“白球”、“红球”、“黄球”中选择一个填空） 16. 如图，点O是的内心，是的中点，连接、，若，，则的长为__． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演推步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题． （1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ． （2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率． 19. 张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），他在该轮片上画了三个点． （1）请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，若圆形轮片的直径为，圆心角 ，求弧的长． 20. 如图，在 中，，将绕点A顺时针旋转得到 ，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，，求的长； （2）若，求的度数． 21. 为了增加社区居民活动的场地，物业准备将一个长为16米，宽为12米的长方形区域（阴影部分）改造成一个健身区域，同时要在它四周外围修建宽度相等的步行跑道使之成为一个新场地（如图）．设步行跑道的宽度为x米． （1）新场地的长为______米，宽为______米；（用含x的代数式表示） （2）若新场地的总面积为320平方米，求步行跑道的宽度． 22. 如图，已知二次函数 与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）若直线 与二次函数 有两个公共点，直接写出的取值范围． 23. 如图， 中，，点D在边上，以为直径作 交的延长线于点E，且是 的切线． （1）______（写出一个与相等的角）； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求 的半径． 24. 在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米． （1）求抛物线的解析式； （2）为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离； （3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线的最低点到地面的距离为n米，当时，求m的取值范围． 25. 已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．    （1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； 【模型应用】 （2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到 ，在 上截取线段 ，连接，若，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $