精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县多校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

英吉沙县2025－2026学年第一学期期末质量监测 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过和两点的直线的斜率是（　　） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线 上一点到焦点的距离为6，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在等差数列中，已知，则=（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 180 6. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2 D. 1 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足： ，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. CE与OF所成角的余弦值为 C. 四点共面 D. 的面积为 11. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若 ， ，则是等比数列 C. 若是等差数列，则，，成等差数列 D. 若是等比数列，则，，成等比数列， 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为___________． 13. 已知向量，且，则__________． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三点. （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求的面积. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知数列为等差数列，，，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设，求数列的前项和. 19. 已知椭圆的右焦点与抛物线 的焦点重合，且其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 英吉沙县2025－2026学年第一学期期末质量监测 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过和两点的直线的斜率是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率公式可得. 【详解】根据斜率公式求得所给直线的斜率. 故选：A 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为所以所以． 故选：D. 3. 如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角. 【详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则，，， ，，， 设异面直线与所成的角为,， 则,所以. 故选：C 4. 抛物线 上一点到焦点的距离为6，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义求解即可 【详解】解：抛物线 的焦点为，准线方程为， 因为抛物线 上一点到焦点的距离为6， 所以，解得， 故选：C 5. 在等差数列中，已知，则=（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 180 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解. 【详解】由题得. 故选：C 6. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定每个选项中双曲线焦点的位置以及渐近线方程，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为； 对于B选项，双曲线 的焦点在轴上，渐近线方程为； 对于C选项，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为； 对于D选项，双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为. 故选：D. 7. 已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ） A. 8 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解． 【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足： ，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系，可知数列从开始，是以3为周期的数列，进而即可求解. 【详解】由题意可知 ，， ， ，，， ，，，，，……， 可知数列从开始，是以3为周期的数列， 所以根据“冰霓猜想”可知. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若 ，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】若 ，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. B. CE与OF所成角的余弦值为 C. 四点共面 D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据正方体结构建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项，利用空间向量的夹角公式计算判断B项，利用空间向量共面定理判断C项，利用三角形面积公式判断D项即得. 【详解】 如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 对于A项，因,则, 即，故A项正确； 对于B项，因，则, 设CE与OF所成角为，则，故B项错误； 对于C项，因,则, 易得，即为共面向量， 故四点共面，即C项正确； 对于D项，因，则，记 ， 则，故， 故 的面积为，故D项错误. 故选：AC. 11. 已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若 ， ，则是等比数列 C. 若是等差数列，则，，成等差数列 D. 若是等比数列，则，，成等比数列， 【答案】BC 【解析】 【分析】由与的关系，即可得到数列的通项公式，即可判断A，由等比数列的定义即可判断B，由等差数列与等比数列前项和的性质即可判断CD. 【详解】对于A，若，当时，， 当时，， 且不满足上式，则，则不是等差数列，故错误； 对于B，由条件变形可得，所以 ， 且 ，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列，故正确； 对于C，设等差数列的首项为，公差为，则， 同理， 所以，所以成等差数列，故正确； 对于D，设，则 ，，所以此数列不是等比数列，故错误； 故选：BC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 椭圆的离心率为___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得 ，进而结合离心率的定义求解即可. 【详解】由椭圆，则， 即 ，所以离心率为. 故答案为： 13. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 14. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可求得的值，进而可求得的值，由此可得出结果. 【详解】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为的等比数列，设其前项和为， 由题意可得，解得 ，则. 因此，塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯. 故答案为：；. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知三点. （1）求边上中线所在直线的方程； （2）求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出AB边中点坐标，再利用两点式求出边上中线所在直线的方程； （2）利用点到直线的距离求出边的高，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【小问1详解】 设边的中点为，则点 ，则边上中线过点 与点，则，即. 【小问2详解】 直线，点到直线的距离为 . 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线线垂直即可； （2）由（1）求出平面的法向量，然后利用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值即可. 【小问1详解】 以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的一个法向量为， 由，即，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列为等差数列，，，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的公差，然后利用首项即得通项公式； （2）直接利用条件即可证明； （3）写出的求和式，再分组求和. 【小问1详解】 设的公差为，则，故 . 再由即知，故所求通项公式为. 【小问2详解】 由于，，故是首项为，公比为的等比数列. 【小问3详解】 在（2）最后我们得到是首项为，公比为的等比数列，从而，即. 所以. 分别使用等差数列和等比数列的求和公式，可得，. 所以. 19. 已知椭圆的右焦点与抛物线 的焦点重合，且其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【答案】（1） （2）证明如下： 证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得 . ，即 ， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值 【解析】 【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解, （2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解. 【小问1详解】 ∵抛物线 的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $