精品解析：天津市南开区2025-2026学年上学期七年级数学期末试题

2025—2026学年度第一学期阶段性质量监测（二） 七年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 用科学记数法表示的数为，这个数原来是（ ） A. 300000 B. 3000000 C. 30000000 D. 300000000 3. 如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 等角的余角相等 D. 同角的补角相等 4. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下图是某几何体的展开图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 6. 下列对等式的变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知代数式，有下列结论： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 其中，正确结论个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图，个纸杯的高度为；如图，个纸杯的高度为．若把个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图： ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段的延长线上作线段； ⑤在线段上作线段．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（ ） A. 计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 B. 社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C. 车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工零件个数 D. 圆柱体积为，圆柱的底面积与高 12. 如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2026个格子中的数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 倒数是________． 14. 用含有a的代数式表示a的2倍与3的和，可表示为________． 15. 单项式的次数与系数的和是________． 16. 如图，城市，分别在城市的北偏东方向和南偏东方向，则_______°． 17. 点C是线段的中点，点D是直线上的一点，点E是线段的中点，若，则线段的长为________． 18. 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．比如将化为分数：设，由，可知…，所以．解方程，得．于是，．请将下列循环小数化为最简分数． （I）________； （II）若，则______，______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 20. （Ⅰ）化简代数式：； （Ⅱ）若，求（Ⅰ）中代数式的值． 21. 解下列一元一次方程 （1）； （2）． 22. 已知点A，O，B在同一直线上，，且射线平分． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，若． ①求的大小； ②直接写出图2中与互余的角：_______；直接写出图2中与互补的角：_______． 23. 居民生活用水通常按户计费．如表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过人，下面的所有问题都是在这个前提条件下提出的），称这样的收费方式为阶梯计价．表是该城市中的三户居民在年的年用水量和这一年的水费． 表1： 收费方式 年用水量（单位：） 收费标准（单位：元/） 第一阶梯 （含180） 第二阶梯 （含240） 第三阶梯 240以上 表2： 某户居民 2025年用水量（单位：） 2025年水费（单位：元） 小聪家 小明家 小华家 （1）表2中________，________，表1中________； （2）若设该城市中小夏家在年年用水量为（是正整数） ①用含有的式子填空：当小于或等于时，小夏家一年水费为________（元）；当大于时，小夏家一年水费为________（元）； ②若小夏家年一年的水费为元，请列出关于的一元一次方程，求出小夏家的年用水量为多少立方米． 24. 如图，点O为数轴原点，点O表示的数为0，数轴上的点A，B表示的数分别为m，n，且，其中，且． （1）当时， ①填空：_____，线段的中点表示的数是_______； ②若点P从O点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．若，求t的值； （2）数轴上一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求m，n的值； ②点E为线段上一动点，点F为线段上一动点，若线段的最大长度为5，直接写出此时代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性质量监测（二） 七年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分100分．考试时间100分钟．答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握移项变号的法则与系数化为 1 的方法是解题的关键． 通过移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤求解一元一次方程． 【详解】解： 故选：B． 2. 用科学记数法表示的数为，这个数原来是（ ） A. 300000 B. 3000000 C. 30000000 D. 300000000 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：； 故选：C． 3. 如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 等角的余角相等 D. 同角的补角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：其中运用到的数学原理是两点确定一条直线； 故选A． 4. 在下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式加减运算，熟记去括号法则、合并同类项法则是解决问题的关键． 根据合并同类项法则和去括号法则判断各选项的正确性即可得到答案． 【详解】解：A、由合并同类项运算法则得到，选项计算错误，不符合题意； B、由于和不是同类项，无法合并，选项计算错误，不符合题意； C、由合并同类项运算法则得到，选项计算正确，符合题意； D、由去括号法则可得，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 下图是某几何体的展开图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的表面展开图，由表面展开图可知该几何体底面是正方形，侧面是四个三角形，从而得出该几何体是四棱锥． 【详解】解：由几何体的表面展开图可知该几何体的底面是正方形，侧面是四个三角形， ∴该几何体是四棱锥， 故选：D ． 6. 下列对等式的变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；根据等式的性质，判断每个选项的变形是否正确即可． 【详解】解：选项A：由， 两边同时加3，得 ， 再两边同时除以2，得， ∴变形正确； 选项B：由， 正确变形应为两边同时减，得， 两边同时减去4，即， 但选项写为， ∴变形错误； 选项C：由， 两边同时除以3，应得， 但选项写为， ∴变形错误； 选项D：由， 两边同时乘以，应得， 但选项写为， ∴变形错误； 综上，正确的是A； 故选A． 7. 如图，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算，先根据，，求出，再根据，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 8. 已知代数式，有下列结论： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，把原式去括号、合并同类项后，发现其值恒为2035，与a无关，再验证各结论． 【详解】解： ， ∴ 代数式恒等于2035． ∴结论①当时，原式，正确； 结论②当时，原式，正确； 结论③当时，原式，错误． 故正确结论的个数是2． 故选：C． 9. 小明在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起．如图，个纸杯的高度为；如图，个纸杯的高度为．若把个这样的纸杯叠放在一起，则高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．先求出每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，再列代数式即可． 【详解】解：个纸杯的高度为，个纸杯的高度为． 每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高：， 把个这样的纸杯叠放在一起，其高度为：． 故选：A． 10. 如图，已知线段a，b，c．按如下步骤完成尺规作图： ①用直尺画直线l； ②在直线l上作线段； ③在线段的延长线上作线段； ④在线段的延长线上作线段； ⑤在线段上作线段．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段之间的和差．利用线段和差定义判断即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，， ，， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 11. 下列各对相关联量中，不成反比例关系的是（ ） A. 计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 B. 社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C. 车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 D. 圆柱的体积为，圆柱的底面积与高 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了成反比例的两个相关联的量，解题关键是掌握两个相关联的量，比值一定成正比例，乘积一定成反比例．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．设苹果金额为x元，香蕉金额为y元，则，则不成反比例，故本选项符合题意； B．设组数为x，每组人数为y，则，乘积为定值，则成反比例，故本选项不符合题意； C． 设加工时间为t天，每天加工零件数为n，则，乘积为定值，则成反比例，故本选项不符合题意； D． 设底面积为s，高为h，则，乘积为定值，则成反比例，故本选项不符合题意； 故选：A． 12. 如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2026个格子中的数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字的循环规律，熟练掌握通过等式推导周期并利用周期确定位置上的数是解题的关键． 根据“任意三个相邻格子中所填整数之和相等”这一条件，建立等式关系，推导出格子中数循环规律，再利用该规律确定第2026个格子中的数． 【详解】解：设任意三个相邻格子中的数分别为，则 ， 化简得， 同理可得， ， ， ∴这组数是以3为周期循环． 由图中前三个数为，接下来三个数为，得 ， ∴， 再由，得， 此时数列前几项为，，，，，，，又图中出现“2”， 故， ∴这组数是，，，，，， ∵ ∴第2026个格子对应的数为． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 的倒数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的意义是解题的关键；因此此题可根据倒数的意义进行求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故答案为． 14. 用含有a的代数式表示a的2倍与3的和，可表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意．根据题意列出代数式即可． 【详解】解∶由题意，a的2倍与3的和可表示为． 故答案为∶． 15. 单项式的次数与系数的和是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数的定义，熟练掌握单项式系数是单项式中的数字因数、次数是所有字母指数之和是解题的关键．先确定单项式的系数，再计算单项式的次数，最后将系数与次数相加得到结果． 【详解】解：单项式的系数为 ， 次数为所有字母的指数之和，即 ， 因此次数与系数的和为 ． 故答案为 2． 16. 如图，城市，分别在城市的北偏东方向和南偏东方向，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方向角，熟练掌握角的运算是解题的关键；根据题意，列式计算即可求解； 【详解】解：根据题意得：； 故答案为：. 17. 点C是线段的中点，点D是直线上的一点，点E是线段的中点，若，则线段的长为________． 【答案】7或9 【解析】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据点D在直线上的位置不同分两种情况讨论：点D在线段上或点D在线段的延长线上，分别利用线段中点的定义和线段的和差计算的长度即可． 【详解】解：情况1：点D在线段上， ∵点C是中点， ∴； ∵点E是中点，， ∴； ∴； 情况2：点D在线段的延长线上， ∵点C是中点， ∴； ∵点E是中点，， ∴； ∴； 故答案为：7或9． 18. 一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．比如将化为分数：设，由，可知…，所以．解方程，得．于是，．请将下列循环小数化为最简分数． （I）________； （II）若，则______，______． 【答案】 ①. ②. ； ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握无限循环小数的意义，正确列出一元一次方程，是解题的关键． 对于（I），利用循环小数化分数方法，设未知数，根据循环节位数相乘后相减求解 ． 对于（II），借助已知条件，将给定小数表示为与相关的分数，再结合整数部分计算 ． 【详解】解：（I）设， 由于循环节有两位，乘以得， 两式相减得， 即， ∴ ，即， 故答案为：． （II）由知，循环节为“142857” ． 对于， 由，可知， ∴ ． 对于， 设， 则， ∴， ∴ ． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法运算律和混合运算的顺序是解题的关键． （1）变形后利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. （Ⅰ）化简代数式：； （Ⅱ）若，求（Ⅰ）中代数式的值． 【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及去括号、合并同类项以及绝对值的性质，掌握整式的运算法则是解题的关键． （Ⅰ）先去括号，再合并同类项即可； （Ⅱ）根据绝对值的性质先得出，再利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：（Ⅰ）原式 ； （Ⅱ）， ， ， 原式． 21. 解下列一元一次方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）去括号， 移项合并同类项，化系数为1即可求解． （2）去分母， 去括号， 移项合并同类项，化系数为1即可求解． 【小问1详解】 解： 去括号：， 移项合并同类项：， 化系数为1：． 【小问2详解】 解： 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 化系数为1：． 22. 已知点A，O，B在同一直线上，，且射线平分． （1）如图1，若，求和的大小； （2）如图2，若． ①求的大小； ②直接写出图2中与互余的角：_______；直接写出图2中与互补的角：_______． 【答案】（1）， （2）①，②；， 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出，再根据角平分线的定义得出，最后再根据角的和差关系即可得出． （2）根据余角和补角的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A，O，B在同一直线上，，， ∴，， ∴平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即， 则， ∴， ②由①可知：，， ∴， ∴与互余的角为：． ∵点A，O，B在同一直线上， ∴， ∵， ∴与互补的角为：，． 【点睛】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，余角和补角的定义以及一元一次方程的应用等知识．掌握这些知识是解题的关键． 23. 居民生活用水通常按户计费．如表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过人，下面的所有问题都是在这个前提条件下提出的），称这样的收费方式为阶梯计价．表是该城市中的三户居民在年的年用水量和这一年的水费． 表1： 收费方式 年用水量（单位：） 收费标准（单位：元/） 第一阶梯 （含180） 第二阶梯 （含240） 第三阶梯 240以上 表2： 某户居民 2025年用水量（单位：） 2025年水费（单位：元） 小聪家 小明家 小华家 （1）表2中________，________，表1中________； （2）若设该城市中小夏家在年的年用水量为（是正整数） ①用含有的式子填空：当小于或等于时，小夏家一年水费为________（元）；当大于时，小夏家一年水费为________（元）； ②若小夏家年一年的水费为元，请列出关于的一元一次方程，求出小夏家的年用水量为多少立方米． 【答案】（1），，； （2）①：，；②小夏家的年用水量为200立方米. 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程在阶梯计费问题中的应用，熟练掌握根据不同阶梯收费标准列算式和方程、并对不同取值范围进行分段讨论是解题的关键． （1）小聪家用水量立方米，位于第一阶梯，水费直接用水量乘第一阶梯单价计算．小明家用水量立方米，分别计算第一、第二阶梯的费用再相加．小华家用水量立方米，超过立方米的部分按第三阶梯单价计算，利用已知水费列方程求解． （2）①根据阶梯收费标准，分别写出用水量和时的水费表达式． ②对水费元的情况分类讨论，并列出对应的一元一次方程求解，根据的取值范围判断合理性． 【小问1详解】 解：， ， 由题意得， 解得， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：①当t小于或等于180时，水费为元； 当t大于240时，水费为 ； 故答案为：，； ②当t小于或等于180时， （不符合题意，舍去）， 当t大于180且小于或等于240时，， 解得， 当t大于240，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上． 答：小夏家的年用水量为200立方米. 24. 如图，点O为数轴原点，点O表示的数为0，数轴上的点A，B表示的数分别为m，n，且，其中，且． （1）当时， ①填空：_____，线段的中点表示的数是_______； ②若点P从O点处出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒．若，求t的值； （2）数轴上一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求m，n的值； ②点E为线段上一动点，点F为线段上一动点，若线段的最大长度为5，直接写出此时代数式的值． 【答案】（1）①4；1；②或 （2）①，；②或 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，两点距离，整式的加减运算，绝对值方程及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示，两点距离，整式的加减运算，绝对值方程及一元一次方程的应用是解题的关键； （1）①根据及可得m的值，然后问题可求解；②根据题意可得点P所表示的数为，然后可得，进而问题可求解； （2）①由题意得：，则有，然后根据可进行求解； ②根据题意可分当点C在线段上，当点C在线段外，当在左侧，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴线段的中点表示的数是； 故答案为4；1； ②根据题意可得点P所表示的数为，则有， ∵， ∴， 解得：或； 【小问2详解】 解：①由题意得：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②由题意可分：当点C在线段上，如图所示： ∴当点F与点C重合，点E与点A重合时，线段最大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴原式； 当点C在线段外，如图所示： ∴当点F与点C重合，点E与点A重合时，线段最大， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点B在点C的左侧，与题干矛盾，故不符合题意． 当在左侧，如图所示， B与E重合，F与O重合时，线段最大， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，代数式的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $