精品解析：上海市普陀区2025-2026学年上学期六年级1月期末数学试卷

2025学年第一学期——学校六年级数学学科期末自适应练习 （时间90分钟，满分100分） 考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解题的主要步骤． 一、单项选择题（本大题共有10题，每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，负有理数是（ ） A. 0 B. C. 2026 D. 2. 下列代数式中，不是一次式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一条笔直公路的两侧，分别有、两个小区，为了方便居民出行，现要在公路上建一个公共自行车存放点，有、、三个候选点（为与的交点），为使存放点到两个小区的距离之和最短，小区居民决定将存放点建在点处，理由是（ ） A. 经过两点有且只有一条直线 B. 点动成线 C. 经过一点可以画无数条直线 D. 两点之间，线段最短 6. 已知和，以下方法一定能说明比小的是( ) A. 通过观察猜测比小 B. 用量角器量得 C. 移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在内部 D. 移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在外部 7. 下列说法中，正确的是（ ） ①0没有相反数 ②负数的奇数次方是负数 ③正数的绝对值等于它本身 ④倒数等于它本身的数只有1 A. ②③ B. ③④ C. ①④ D. ①② 8. 在解方程时，对该方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 学校在一次研学活动中，有位师生乘坐辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了13个座位．现给出四个方程： ①②③④． 根据题意，以上四个方程中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 新定义：设是不为2的有理数，则我们把称为的“奇特数”．如：4的“奇特数”是的“奇特数”是．已知是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，…以此类推，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共有8题，每题2分，满分16分） 11. 一次式的一次项是_____． 12. 若，则代数式的值为_____． 13. 已知是关于的方程的解，那么的值为_____． 14. 已知一个长方形的长为，宽为，那么这个长方形的周长为_____．（用含、的代数式表示） 15. 计算：_____． 16. 已知是关于的一元一次方程，那么此方程的解为_____． 17. 已知线段，点是线段的中点，直线上有一点，满足，那么线段的长为_____cm． 18. 如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示) 三、解答题（本大题共有8题，满分54分） 19. 解方程：． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，甲、乙两位同学在长为400米的环形跑道上练习跑步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，若两人间隔100米同时相背而行，问：多久后两人第一次相遇？ 23. 如图，射线表示正东方向，点在点的北偏西方向．请你利用直尺（无刻度）、圆规和量角器，按下列要求完成设计图： （1）画线段已知线段，在射线上画线段，使得（不写画法，写出结论并保留画图痕迹）； （2）确定点的位置：画的平分线，并在上确定一点，使得（不写画法但保留画图痕迹）； （3）在（2）题中，射线表示的方向是_____． 24. 如图，已知点在线段上，且，，、分别是、的中点． （1）填空：要求线段的长度，可进行如下计算： 解：因为是的中点，所以_____． 因为，所以． 因为是的中点，所以_____． 因为，所以_____． 所以_____． （2）如果，其他条件不变，你能猜出的长度吗？说明理由． 25. 已知，过顶点作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图，射线，都是的“好线”． （1）已知射线是的“好线”，且，求的度数． （2）如图，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． （3）如图，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 26. 综合与实践：六年级（2）班38名学生和3名教师步行前往学校附近的某景区游览．用你所学的知识来解决以下问题． （1）费用项目1：景区门票 景区的门票购买细则如表1所示： 表1 类别 单价/元 跑票说明 个人票 成人 40 18周岁及以上 学生 20 以小学或中学的学生证为准 学龄前 0 不超过6周岁 团体票 30人及以上 25 整个团体成员都须买票 请根据表1中的数据，选择你认为最合适的购票方式，并说明理由． （2）费用项目2：游船票，总人数 41人 景区里的游船有两种，租金和乘坐的人数如表2所示： 表2 类别 游船载客数/（人数） 费用/（元/艘） 大船 8 60 小船 5 45 ①按照班主任老师的提议，大船和小船各需要租多少艘？ 班主任老师提议：“由于我们班共有7个游览小组（每组由组长或老师带队），为了方便管理，我们就租7艘船，且所有船只的座位要必须坐满，既不能留空位，也不能有人没座位．” ②小普同学认为班主任老师的方案不是最省钱的，如果不按照班主任老师的提议，请你设计一个最省钱的购票方案，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期——学校六年级数学学科期末自适应练习 （时间90分钟，满分100分） 考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解题的主要步骤． 一、单项选择题（本大题共有10题，每题3分，满分30分） 1. 下列各数中，负有理数是（ ） A. 0 B. C. 2026 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数是小于零的有理数，需从选项中找出符合条件的数． 【详解】解：∵负有理数定义为小于零的有理数； A．0既不是正数也不是负数，∴不符合； B．且可表示为分数，∴是有理数且为负，∴符合； C．，∴不符合； D．，∴不符合． 故选：B． 2. 下列代数式中，不是一次式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次式的定义．一次式是指字母的最高次数为1的代数式． 选项A、B、C中字母的次数均为1，是一次式；选项D是常数，次数为0，不是一次式． 【详解】解：∵ 一次式要求字母的最高次数为， 选项A：，字母的次数为； 选项B：，字母和的次数均为； 选项C：，字母的次数为； 选项D：，是常数，没有字母，次数为． ∴ 不是一次式的是选项D． 故选：D． 3. 一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片检测报告上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义、有理数的加减，计算出薯片的净含量范围，再结合题意即可得解． 【详解】解：∵薯片检测报告上注明净含量为， ∴净含量范围为：净含量，即净含量，故A不符合标准． 故选：A． 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，求一个数的绝对值，相反数的定义，根据乘方运算法则，绝对值意义和相反数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 故选：C． 5. 如图，在一条笔直公路的两侧，分别有、两个小区，为了方便居民出行，现要在公路上建一个公共自行车存放点，有、、三个候选点（为与的交点），为使存放点到两个小区的距离之和最短，小区居民决定将存放点建在点处，理由是（ ） A. 经过两点有且只有一条直线 B. 点动成线 C. 经过一点可以画无数条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短.根据两点之间线段最短可得公共自行车存放点的位置是处． 【详解】解：公共自行车存放点建在处， 理由是两点之间，线段最短． 故选：D． 6. 已知和，以下方法一定能说明比小的是( ) A. 通过观察猜测比小 B. 用量角器量得 C. 移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在内部 D. 移动，使顶点与顶点重合，边与边重合，边和边在重合的边的同侧，边在外部 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角度的大小比较．根据比较大小的方法，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、通过观察猜测不可靠； B、用量角器量得的度数大于的度数； C、通过叠合法能确定在内部，说明比小． D、通过叠合法能确定在外部，说明比大； 故选：C． 7. 下列说法中，正确的是（ ） ①0没有相反数 ②负数的奇数次方是负数 ③正数的绝对值等于它本身 ④倒数等于它本身的数只有1 A. ②③ B. ③④ C. ①④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数、乘方、绝对值和倒数，根据相反数、乘方、绝对值和倒数的定义，逐一判断每个陈述的正确性即可，熟练掌握相反数、乘方、绝对值和倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①0的相反数是0，故原说法错误，不符合题意； ②负数的奇数次方是负数，故原说法正确，符合题意； ③正数的绝对值等于它本身，故原说法正确，符合题意； ④倒数等于它本身的数有1和，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 8. 在解方程时，对该方程变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，将方程第二项分式的分子和分母同时乘以10，消除小数，得到等价变形，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该方程变形正确的是， 故选：C． 9. 学校在一次研学活动中，有位师生乘坐辆客车，若每辆客车乘50人，则还有12人不能上车若每辆客车乘55人，则最后一辆车空了13个座位．现给出四个方程： ①②③④． 根据题意，以上四个方程中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据总人数不变可列方程①，根据车辆数不变可列方程③，即可求解． 【详解】解：每辆车乘人，还有人不能上车， 每辆车乘人，最后一辆车空了个座位， ，即方程①正确 又车辆数不变，从得， 从得， ，即方程③正确 故方程①和③正确 故选：A． 10. 新定义：设是不为2的有理数，则我们把称为的“奇特数”．如：4的“奇特数”是的“奇特数”是．已知是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，…以此类推，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究．根据“奇特数”的定义计算前几项，发现序列呈周期性变化，周期为，再根据除以的余数确定对应项． 【详解】解：， ， ， ， ， 序列为，，，，，，，周期为． ， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共有8题，每题2分，满分16分） 11. 一次式的一次项是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的定义．根据一次项是指多项式中次数为1的项，即可求解． 【详解】解：一次式，一次项是，常数项是． 故答案为：． 12. 若，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，直接将已知数值代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入代数式， 得． 故答案为：． 13. 已知是关于的方程的解，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键.将代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得，即， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 已知一个长方形的长为，宽为，那么这个长方形的周长为_____．（用含、的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式．根据长方形周长公式，周长等于长与宽之和的2倍． 【详解】解：长方形的长为，宽为，则长与宽的和为，因此周长为． 故答案为：． 15. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查度分秒的进制换算规则以及角度的减法运算，解题的关键在于明确度、分之间的换算关系，即，当被减数的分小于减数的分时，需要从被减数的度借转化为，再进行计算． 【详解】解：． 故答案为：． 16. 已知是关于的一元一次方程，那么此方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且系数不为零，确定的值，再代入方程求解，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，且， 当时，，满足条件， 此时方程为， 解得：， 故答案为：． 17. 已知线段，点是线段的中点，直线上有一点，满足，那么线段的长为_____cm． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差．根据点在直线上的位置分情况讨论：当在线段上时；当在的延长线上时．设，利用和线段和差关系列方程求解． 【详解】解：，点是的中点， ． 设，则． 当点在线段上时，， 即，解得， ． 当点在的延长线上时，， 即， 解得，． 18. 如图，已知为直线上一点，平分，则的度数为 ______． (用含的式子表示) 【答案】 【解析】 【分析】先求出，利用角平分线的性质求出∠COD=，由得到，再根据推出的度数. 【详解】∵，， ∴ ， ∵OC平分∠AOD， ∴∠COD=， ∵∠COE=∠COD+∠DOE，且， ∴, ∴, ∴, ∵,∠BOD=∠BOE+∠DOE， ∴∠BOE=3∠DOE= 故答案为：. 【点睛】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算. 三、解答题（本大题共有8题，满分54分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项，得出，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 解得： 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据，再根据分配律进行计算即可求解； （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确去括号与合并同类项是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 22. 如图，甲、乙两位同学在长为400米的环形跑道上练习跑步，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，若两人间隔100米同时相背而行，问：多久后两人第一次相遇？ 【答案】秒后两人第一次相遇 【解析】 【分析】本题考查了行程问题中的相遇问题，根据相遇时间相遇路程速度和，计算即可得出结果，熟练掌握相遇问题的基本公式是解此题的关键． 【详解】解：（米）， （米/秒）， （秒）， 故秒后两人第一次相遇． 23. 如图，射线表示正东方向，点在点的北偏西方向．请你利用直尺（无刻度）、圆规和量角器，按下列要求完成设计图： （1）画线段已知线段，在射线上画线段，使得（不写画法，写出结论并保留画图痕迹）； （2）确定点的位置：画的平分线，并在上确定一点，使得（不写画法但保留画图痕迹）； （3）在（2）题中，射线表示的方向是_____． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，点即为所求； （3）北偏东 【解析】 【分析】本题考查了画线段，作角平分线等知识点，熟练掌握线段和角平分线的作法是解题的关键． （1）根据题意，以点为圆心，线段长为半径画弧交射线于一点M，按此方法再在线段上作出线段的长度，线段即为所求； （2）在和上分别截取、，使，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，则就是的平分线，在截取，点即为所求； （3）由点在点的北偏西方向，得，由是的平分线，得，则射线表示的方向是北偏东． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如上图，点在点的北偏西方向， ， 是的平分线， ， ， ， 射线表示的方向是北偏东， 故答案为：北偏东． 24. 如图，已知点在线段上，且，，、分别是、的中点． （1）填空：要求线段的长度，可进行如下计算： 解：因为是的中点，所以_____． 因为，所以． 因为是的中点，所以_____． 因为，所以_____． 所以_____． （2）如果，其他条件不变，你能猜出的长度吗？说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 【解析】 【分析】本题考查线段中点的性质，理解线段中点的性质，根据题干信息得到各线段之间的关系是解题的关键． （1）已知，的长度，点，分别是，的中点，则，，，即可求出的长度； （2）将第（1）问中的中的和的具体值分别换成，即可用，表示的长度． 【小问1详解】 解：因为是的中点，所以． 因为，所以． 因为是的中点，所以． 因为，所以． 所以． 故答案为：． 【小问2详解】 略 25. 已知，过顶点作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图，射线，都是的“好线”． （1）已知射线是的“好线”，且，求的度数． （2）如图，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． （3）如图，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 【答案】（1）或 （2） 解：，分别是和的平分线， ，， ， ， 是的一条“好线”； （3）秒或秒或或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据“好线”的定义，可得，再分在内部时，在外部时，两种情况分别求值即可； （2）根据，分别是和的平分线，可得，，进而即可得到结论； （3）设运动时间为 ，则 ，，分种情况：射线顺时针旋转，当在上方时；射线顺时针旋转，当在下方时；射线逆时针旋转时，当在下方时，射线与射线重合时，分别列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：射线是的“好线”，且， ， 当在内部时， ， 当在外部时，， 或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设运动时间为， ，， ， 射线顺时针旋转，当在上方时，即， ， ， ， 解得：； 射线顺时针旋转，当在下方时，即， ， ， ， 解得：； 射线逆时针旋转时，当在下方时，即， ，， ， 解得：， 射线与射线重合时，，， 此时射线为的“好线”， ； 综上所述：运动时间为秒或秒或或秒． 26. 综合与实践：六年级（2）班38名学生和3名教师步行前往学校附近的某景区游览．用你所学的知识来解决以下问题． （1）费用项目1：景区门票 景区的门票购买细则如表1所示： 表1 类别 单价/元 跑票说明 个人票 成人 40 18周岁及以上 学生 20 以小学或中学的学生证为准 学龄前 0 不超过6周岁 团体票 30人及以上 25 整个团体成员都须买票 请根据表1中的数据，选择你认为最合适的购票方式，并说明理由． （2）费用项目2：游船票，总人数 41人 景区里的游船有两种，租金和乘坐的人数如表2所示： 表2 类别 游船载客数/（人数） 费用/（元/艘） 大船 8 60 小船 5 45 ①按照班主任老师的提议，大船和小船各需要租多少艘？ 班主任老师提议：“由于我们班共有7个游览小组（每组由组长或老师带队），为了方便管理，我们就租7艘船，且所有船只的座位要必须坐满，既不能留空位，也不能有人没座位．” ②小普同学认为班主任老师的方案不是最省钱的，如果不按照班主任老师的提议，请你设计一个最省钱的购票方案，并说明理由． 【答案】（1） 购买个人票为最合适的购票方式， 理由：个人票所需费用：（元）， 团体票所需的费用：（元） ∵， ∴购买个人票为最合适的购票方式． （2）①租大船2艘，租小船5艘； ②选大船4艘，小船2艘 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用. （1）分别计算个人票和团体票所需的费用，然后比较即可得出答案． （2）①设租大船x艘，小船艘，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． ②先计算出①所需的费用，然后再根据尽量多选大船验证选出最优方案即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设租大船x艘，小船艘， 根据题意：， 解得：， 则租大船2艘，租小船5艘． ②根据①可知所需花费为：（元）， ∵大船的单人票价为：元/人，小船的单人票价为：元/人， ∴尽量多选大船， 经过验证可知：当选大船4艘，小船2艘时，此时费用为：（元），此时满足题意． 故最省钱的购票方案∶选大船4艘，小船2艘． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $