内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年上学期高二年级期末考试 数学答题纸16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处 贴条形码区域 注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 ` 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 客观题（请用2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（17分） 18.（17分） 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B C C A B AD BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而得椭圆的值，从而根据椭圆方程求解的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆的，且焦点在轴上， 则. 故选：B. 2．B 【分析】根据向量加减、数乘的几何意义，应用，，表示出，即可得. 【详解】由. 故选：B 3．A 【分析】求导函数，令即可求解. 【详解】由，可得， 故，解得. 故选：A. 4．B 【分析】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【详解】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 5．C 【分析】ABD可举出反例；C选项，设出平面的法向量和直线的方向向量，从而确定，，C正确； 【详解】A选项，若，，则或异面或相交，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，设的一个法向量分别为，直线的方向向量分别为， 若，，，则，， 故，⊥，C正确； D选项，若，，则， 又⊥，则或，D错误. 故选：C 6．C 【分析】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【详解】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 7．A 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 8．B 【分析】根据运算规则进行逆向运算推导即可. 【详解】若，则或； 若，则或； 当时，或； 当时，或； 若，则或； 当时，； 当时，； 故所有可能的取值集合， 故选： 9．AD 【分析】由离心率的定义结合题意逐一判断即可. 【详解】双曲线的离心率， 因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为， 所以，故A正确、B错误； 选项C化为一般方程可得，错误； 选项D化为一般方程可得，正确. 故选：AD. 10．BC 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 11．ABD 【分析】将三棱锥补形为长方体，向量法求证线线垂直判断A；根据坐标求解线段长度即可判断B；根据补形可确定三棱锥的外接球的半径即可判断C；利用线线夹角与空间向量坐标运算得关系即可判断D． 【详解】三棱锥中，，， 将三棱锥补形为长方体，如图所示：    则有，解得， 以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系： 点，分别是的中点， 则有，， 对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长， 所以，则三棱锥的外接球的半径为，故C不正确； 对于D，因为， 所以， 故异面直线，所成的角的余弦值是，故D正确. 故选：ABD． 12． /； 【分析】根据轴上截距的定义可求解第一空；利用点到线的距离可求第二空. 【详解】令，得，则在轴上的截距为. 坐标原点到的距离. 故答案为：； 13．或 【分析】根据给定条件，按截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】当直线在轴上的截距为零时，由直线过原点及，得方程为，即； 当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，方程为，即， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14．/ 【分析】作出辅助线，根据平面的基本性质得到，并求出，平方后，由向量数量积公式得到，，从而得到答案. 【详解】根据题意，连接交于点，连接与交于点， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点与点重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 15．（1）30°（或），3；（2）证明见解析， 【分析】（1）根据直线一般式方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角，根据平行直线间距离公式计算可得与之间的距离； （2）由题意列方程组求解. 【详解】（1）因为的斜率为，所以的倾斜角为30°（或）， 因为与平行， 所以与之间的距离为； （2）令，得， 所以过定点，且定点坐标为. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）分两类情况第一种：直线垂直于轴，其方程为，与联立得方程，再结合可证明， 第二种：直线：.与联立得方程，得到韦达定理，再结合可证明， 【详解】（1）由抛物线定义可知，P点轨迹为以为焦点， 以为准线的抛物线. 设的方程为：，则=1. 所以动点P的轨迹E的方程为. （2）证明：设， 分两类情况： 第一种：直线垂直于轴，其方程为， 联立，解得， 此时， 所以，是直角三角形， 第二种：直线：，与联立得： ， ， ，，所以， 又因为与异号，或不符合题意， 因为， 所以， 所以△为直角三角形， 17．(1)椭圆的标准方程：，离心率为. (2) 【分析】（1）根据条件，列方程组，求的值即可. （2）利用椭圆的定义，判断的形状，再求其外接圆方程. 【详解】（1）由题意：. 所以椭圆的标准方程为，其离心率为. （2）如图：    因为点在椭圆上，所以，又， 所以，，又， 因为，所以为直角三角形. 所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆， 其方程为. 18．(1) (2)4 (3)6 【分析】（1）根据抛物线的定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离，利用两点间的距离公式进行求解即可． （2）根据抛物线的定义将点到焦点的距离转化为到准线的距离，进行求解即可． （3）由椭圆的定义得到，进而将转化为，经分析当，，三点共线时，最小，从而可求出结果． 【详解】（1）抛物线的焦点坐标，   到准线的距离，则， 则，当、、共线时，取等号， 所以的最小值为． （2）    因为， 所以， 当且仅当垂直于直线时，取等号，所以最小值为4． （3）设椭圆左焦点为. 由椭圆的定义知，所以，    因此， 所以，当，，三点共线时，取等号， 又，因此， 所以，因此的最小值为6. 19．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取棱的中点，连接，通过构造中位线、平行四边形的方法，先证得，进而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 因为为的中位线，所以，且， 因为四边形为正方形，为的中点，所以，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. （2）分别取棱的中点，连接，则. 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以直线两两垂直，以为原点， 直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人:赵敏 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。 1.抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合,则( ) A. B.28 C.4 D.16 2.如图,空间四边形OABC中,,,,点M在上,且满足,点N为BC的中点,则( ) A. B. C. D. 3.已知是函数的导函数,且,则( ) A.1 B.2 C. D. 4.已知递增的等比数列满足,,则的公比( ) A.6 B.3 C.2 D. 5.已知a,b是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.若,,则 B.若,,则 C.若,,,则⊥ D.若,,⊥,则 6.已知函数的导函数为,且的图象如图所示,则的极大值点为( ) A. B. C. D. 7.在平行六面体中,M为与的交点,若,,,则下列向量中与相等的向量是( ) A. B. C. D. 8.任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘再加上;若是偶数,就将该数除以.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数,根据上述运算法则得出,共需经过个步骤变成(简称为步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下:已知数列满足:(为正整数),,若,则所有可能的取值不可能是( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知椭圆的方程为,且离心率与双曲线的离心率互为倒数,则满足上述条件的椭圆,其方程可以为( ) A. B. C. D. 10.已知向量,,,则下列结论正确的是( ) A.向量与向量的夹角为 B. C. D.向量在向量上的投影向量为 11.如图,在三棱锥中,,,,分别是的中点,则( ) A. B.的长为 C.三棱锥外接球的半径为 D.异面直线所成角的余弦值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知直线:,则在轴上的截距为 ,坐标原点到的距离为 . 13.直线经过点,且它在轴上的截距是它在轴上截距的3倍,求直线的方程为 . 14.在平行六面体中,,且交平面于点,则 . 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15.(1)若直线:,:,求的倾斜角及与之间的距离; (2)设直线:,其中为常数,证明过定点并求该定点的坐标. 16.已知坐标平面内一动点到定点的距离等于到定直线的距离. (1)求动点的轨迹的方程; (2)设为坐标原点,过点的直线交于两点,求证:是直角三角形. 17.已知焦距为10的椭圆C:过点. (1)求椭圆C的标准方程和离心率; (2)若点P在椭圆C上,,分别为椭圆C的左、右焦点,且,求外接圆的方程. 18.设是抛物线上的一个动点,为抛物线的焦点. (1)若点到直线的距离为,,求的最小值; (2)若,求的最小值. (3)已知椭圆:的右焦点,点在椭圆上,又点,则的最小值. 19.如图,在四棱锥中,四边形为正方形,平面平面分别为棱和的中点. (1)证明:平面; (2)若,求平面与平面的夹角的余弦值. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $