内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025-2026学年上学期高二年级期末考试 数学答题纸16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 15. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 姓 名 班 级 考 场 座位号 条形码粘贴处 贴条形码区域 注 意 事 项 1.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 2.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，禁用涂改液，涂改胶条。 填涂样例 正确填涂 $ 错误填涂 %^&* 缺考标记 ` 1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D 2 A B C D 7 A B C D 3 A B C D 8 A B C D 4 A B C D 9 A B C D 5 A B C D 10 A B C D 客观题（请用2B铅笔填涂） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 二、填空题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.（17分） 18.（17分） 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期期末考试 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：赵娟娟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线 与 轴的非负半轴相交于点 ，过 作 轴的垂线与渐近线交于点 (点 在第一象限)，且 ，则双曲线 的离心率为 （    ） A． B．2 C． D．4 4．已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 5．曲线与曲线的（  ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 6．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（    ） A． B． C．2 D． 7．若，，三点共线，则（   ） A．169 B．144 C． D． 8．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．与直线垂直 B．在轴上的截距为2 C．与圆相离 D．与直线之间的距离为 10．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．点在直线上 B．直线在轴上的截距为4 C．直线的倾斜角为 D．直线的一个方向向量为 11．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为13 D．数列前项和为，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，设贷款时的资金元为现值，且每一期所还钱数为x元，则：第1期所还钱的现值为元；第2期所还钱的现值为元；…… 第m期所还钱的现值为元.因为最后还款的现值总和应为元，所以.又因为，所以由等比数列前n项求和公式可解得 . 13．近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为 . 14．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 16．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. (1)求的标准方程； (2)已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 17．已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 18．已知奇函数和偶函数满足． (1)求证：； (2)求的最小值． 19．已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D D A A A AD BC 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 2．A 【分析】先求函数的导数，根据函数在点的导数为切线的斜率，求出函数的解析式，再根据函数的奇偶性及取值范围判断. 【详解】∵函数，， ，显然， 函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B，C， 又时，函数值为正，图像位于第一象限，排除D. 故选：A. 3．B 【分析】先确定交点的坐标，再求出垂线与渐近线的交点，利用的长度求得，最后结合双曲线的、关系计算离心率. 【详解】双曲线中，令，得非负半轴交点. 过的x轴垂线为，双曲线第一象限的渐近线为，将代入得. 由，得. 双曲线中，，即， 故离心率. 故选：B 4．D 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 5．D 【分析】根据椭圆的性质求出两个椭圆的即可判断． 【详解】曲线表示焦点为，长轴长为10的椭圆； 曲线表示焦点为，长轴长为的椭圆． 故两椭圆的焦距相等，长轴长、短轴长、离心率不一定相等． 故选：D. 6．A 【分析】根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量，再利用计算即可. 【详解】由题可知，，且， 故，， 则， 所以，即的长为. 故选：A. 7．A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示求出即得. 【详解】依题意，，，由，，三点共线， 得，则，解得，，所以. 故选：A 8．A 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 9．AD 【分析】由两直线斜率乘积即可判断A；求出在轴上的截距即可判断B；计算圆心到直线的距离即可判断C；由两平行线间的距离公式计算即可判断D. 【详解】由题直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，所以与直线垂直，故A正确； 对直线，令，所以在轴上的截距为，故B错误； 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为，则， 所以与圆相交，故C错误； 与直线之间的距离为.故D正确. 故选：AD 10．BC 【分析】本题涉及直线方程的多种性质，包括点与直线的位置关系、直线在坐标轴上的截距、直线的倾斜角以及直线的方向向量。通过将点的坐标代入直线方程判断点是否在直线上；令求直线在轴上的截距；根据直线斜率与倾斜角的关系求倾斜角；根据直线斜率与方向向量的关系判断方向向量. 【详解】对A，因为，所以点不在直线上，故A错误； 对B，令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故B正确； 对C，由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对D，若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故D错误． 故选：BC. 11．ABD 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】直接利用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】由题意易知是以为首项和公比的等比数列， 则 ， 即. 故答案为： 13．0.047 【分析】根据题意求得收益，利用导数法求解最值，即可得解. 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 14． 【分析】利用向量的三角形法则，平行四边形法则进行求解. 【详解】点为的中点，， ，. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【详解】（1）因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. （2）的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的概念，以及椭圆离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程； （2）联立椭圆方程和直线方程，求出弦长，根据点到直线距离公式，求出三角形高，进而求出三角形面积. 【详解】（1）椭圆一个焦点为，则，椭圆的离心率为，所以，即， 所以，所以椭圆的标准方程. （2） 如图所示，左顶点， 则点到直线的距离为. 联立方程组得，消去得， 根据弦长公式得， 所以. 17．(1)0或2 (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的公式，求解即可得答案； （2）根据两直线平行，，可得值，代回直线验证，即可得答案. 【详解】（1）若，则，解得或2. （2）若，则，解得或1， 当时，，满足； 当时，，此时与重合，故舍去. 所以. 18．(1)证明见详解 (2)1 【分析】（1）在中，用代替，结合函数的奇偶性解方程求得的解析式，对求导结合基本不等式证明； （2）由（1）可得的解析式，求导判断单调性，进而求出最小值. 【详解】（1）在中，用代替，可得， 又是奇函数，是偶函数，则，， 所以，又， 两式相减得，两式相加得， 所以， ，，当且仅当，即时，取等号； 所以， 所以成立. （2）由（1），，则， 令，则， 由（1）知，则对，有， 所以即在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以的最小值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）先求得，再利用，求解，最后验证是否满足，即可得解. （2）先利用累加法求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； （2）因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $