2026年中考数学第一轮复习一战成名专题三 分式方程及其应用

2026年中考数学第一轮复习一战成名（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题三 分式方程及其应用（解析版） 命题点1 分式方程及其解法 1．（2023·山西·中考真题）解分式方程时，去分母后变形为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：方程， 两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1）， 故选D． 2．（2025山西中考模拟）设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，新定义，根据题意分当和当列出分式方程，然后解分式方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当，即时， 方程化为：，解得：， 经检验:是分式方程的解； 当，即时， 方程化为：，解得：（不合题意，舍去）； 综上，方程的解为， 故选：． 3．（2023·山西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案． 【详解】解：原方程可化为． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，． ∴原方程的解是． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键． 4．（2025·山西·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程． 根据解分式方程的方法，先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 5．（2024·山西·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含负整数指数幂的运算，解分式方程等知识点，正确计算是解题的关键． （1）分别计算绝对值，负整数指数幂，有理数乘方，再计算乘法，最后进行加减计算； （2）先去分母化为一元一次方程求解，再检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为． 6．（2025·山西吕梁·二模）（1）计算：． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了负整数指数幂、含乘方的有理数的混合运算、解分式方程，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先绝对值、负整数指数幂、乘方、括号内运算，再加减运算即可求解； （2）根据分式方程的运算步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）由题意可得最简公分母为， 去分母得：， 解得． 检验：把代入最简公分母，得， 故原方程的解为． 命题点2 含参分式方程 1．（2024·山西·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据分式方程有增根的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时，， 故的值是3， 故选：B． 2．（2023山西忻州中考预测）从﹣，﹣1，，，，2，这七个数字中，随机抽取一个数，记为a，若数a使得关于x的分式方程﹣3＝有整数解，且使关于y的不等式组无解，那么这七个数中所有满足条件的a的值之和为（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把数字代入判断确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组无解找出满足题意a的值，求和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：x+3a﹣3（x﹣2）＝a﹣1， 去括号得：x+3a﹣3x+6＝a﹣1， 移项合并得：﹣2x＝﹣2a﹣7， 解得：x＝， 当a＝﹣时，x＝2，分式方程无解，不符合题意； 当a＝﹣1时，x＝2.5，不符合题意； 当a＝时，x＝3，符合题意； 当a＝时，x＝5，符合题意； 当x＝时，x＝5.25，不符合题意； 当x＝2时，x＝5．5，不符合题意； 当x＝时，x＝6，符合题意， 将不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到＜， 解得：a＜， 综上，a＝﹣或a＝符合题意， ∴这七个数中所有满足条件的a的值之和为：﹣+＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查解含参的分式方程、由不等式组的解集情况求参数，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 4．（2024·山西临汾中考预测）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 5．（2024·山西运城·中考预测）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 【详解】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或（舍去，会使得分式无意义）． 故答案为：． 6．（2025·山西大同·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用．增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． （1）“？”当成5，解分式方程即可， （2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将代入即可解答． 【详解】（1）解：原方程为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 经检验，是原分式方程的解； （2）解：设？为m， 方程两边同时乘以， 得 ∵原方程无解 ∴是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得 解得， ∴原分式方程中“？”代表的数是． 命题点3 分式方程的实际应用 1. 行程问题 1．（2024山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间． 【答案】25分钟 【分析】设走路线一到达太原机场需要分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的倍列等式计算即可． 【详解】解：设走路线一到达太原机场需要分钟． 根据题意，得． 解得：． 经检验，是原方程的解． 答：走路线一到达太原机场需要25分钟． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根． 2．（2023·山西·中考真题）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间． 【答案】乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时． 【分析】设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时，根据速度=路程÷时间结合“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间需要x小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要x小时， 根据题意得：， 解得：x=， 经检验，x=是原分式方程的解， ∴x+=， 答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2025·山西阳泉·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 【答案】规定时间为7天 【分析】本题考查了分式方程的实际应用． 找出等量关系，根据题意列出方程解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得 解得 经检验，是所列分式方程的解， 答：规定时间为7天． 4．（2025·山西吕梁·二模）电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 【答案】200千米/时 【分析】本题考查了分式方程的应用，准确找出等量关系列出分式方程是解题的关键； 设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟，列出分式方程，解方程并检验即可解答． 【详解】解：设电动垂直起降飞行器的速度为千米/时，则长途大巴的速度为千米/时，根据题意，得 ， 解得． 经检验，是该分式方程的解，且符合题意． 答：电动垂直起降飞行器的速度为200千米/时． 2. 工程、生产问题 5．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．              根据题意得：．                解得：．                            经检验，是原方程的根，且符合题意．                    答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 6．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 7．（2025·山西·模拟预测）【热点素材】智慧农业正以迅猛的速度对传统农业进行智能化改造和升级．某镇计划引进甲、乙两种新型东方红辣椒无人直播机进行田间作业，两种机器每天都工作8小时，每台甲型号直播机比每台乙型号直播机每天多播种20亩，同样播种240亩的辣椒，乙型号直播机所用的时间是甲型号直播机所用时间的倍． (1)求甲型号直播机每天工作8小时的播种面积． (2)某镇计划共租用20台甲、乙两种型号的直播机在两天时间内完成全镇2000亩的辣椒播种任务，则至少租用甲型号直播机多少台？ 【答案】(1)甲型号直播机每天工作8小时的播种面积为60亩 (2)至少租用甲型号直播机10台 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出分式方程与不等式是解题的关键； （1）设甲型号的直播机每天8小时的播种面积为亩，则乙型号的直播机每天8小时的播种面积为亩．根据乙型号直播机所用的时间是甲型号直播机所用时间的倍，列出分式方程，解方程，即可求解． （2）设租用甲型号直播机台，则租用乙型号直播机台，根据题意列出不等式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设甲型号的直播机每天8小时的播种面积为亩，则乙型号的直播机每天8小时的播种面积为亩． 根据题意得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 答：甲型号直播机每天工作8小时的播种面积为60亩 （2）设租用甲型号直播机台，则租用乙型号直播机台 根据题意得 解得． 答：至少租用甲型号直播机10台 8．（2025·山西长治·模拟预测）迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天． (1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？ (2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天． 【答案】(1)乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米； (2)至少需要安排甲工程队维护10天． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米，根据“甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天”列出分式方程，据此求解即可； （2）设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天，根据题意列出不等，据此求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天维护米，则甲工程队每天维护米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：乙工程队每天维护150米，则甲工程队每天维护180米； （2）解：设安排甲工程队维护天，则安排乙工程队维护天， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为10， 答：至少需要安排甲工程队维护10天． 3. 购买问题 9．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 【答案】(1)每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元 (2)购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设每件吉祥物的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件吉祥物的进价为元，则每套“春碗”套装的进价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元． （2）解：设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装套，利润为元， ， 购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍， ，解得． 为正整数， 的最小值为167， ， 当时，有最大值， 此时，． 答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高． 10．（2024·山西·模拟预测）山西省太原市某中学为了践行劳动课程标准，学校建立劳动清单，通过课程化实施劳动教育，习惯化推进以劳育人，开辟了一处耕种园．按照耕种园种植需要，学校计划采购一批树苗开展种植活动．根据市场调查：每捆A种树苗，用900元在市场上购买的A种树苗数量比在树苗基地购买数量的一半要多5捆，且在市场上购买的价格是在树苗基地处购买的1.5倍． (1)求树苗基地每捆A种树苗的价格； (2)树苗基地每捆B种树苗的价格是40元，学校预计用不多于1720元的资金在树苗基地购买A，B两种树苗共60捆，同时树苗基地为支持该校活动，对A，B两种树苗均提供八折优惠．求至少可以购买A种树苗多少捆？ 【答案】(1)树苗基地每捆A种树苗的价格是30元 (2)至少可以购买A种树苗25捆 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解决此题的关键是要读懂题意，找出等量关系，列出方程即可． （1）设树苗基地每捆种树苗的价格是元，根据题意列出，解方程即可； （2）设在树苗基地购买种树苗捆，则在树苗基地购买种树苗捆．根据题意得：，解得即可． 【详解】（1）解：设树苗基地每捆种树苗的价格是元， 则在市场上购买每捆种树苗的价格是元． 由题意得：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：树苗基地每捆A种树苗的价格是30元； （2）解：设在树苗基地购买种树苗捆， 则在树苗基地购买种树苗捆． 由题意得：， 解得：， 至少可以购买A种树苗25捆． 11．（2025·山西晋中·二模）4月23日至25日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会成功在我省太原举办，将全民阅读推上了新高潮．某社区老年活动中心为方便老年人阅读，准备购进A、B两种老年大字书供大家借阅．据了解，用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍，求A、B两种书籍的单价． 【答案】A种书籍的单价为20元，则B种书籍的单价为24元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设A种书籍的单价为元，则B种书籍的单价为元，根据用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍建立方程求解即可． 【详解】解：设A种书籍的单价为元，则B种书籍的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原方程的根，且符合题意， （元） 答：A种书籍的单价为20元，则B种书籍的单价为24元． 12．（2025·山西吕梁·二模）2025年春节档上映的《哪吒之魔童闹海》一经播出，便引起了极大的反响，票房数据节节攀升，不断刷新记录．为满足消费者需求，某商店用800元购进了一批敖丙手办，用1560元购进了一批哪吒手办，且所购哪吒手办的数量是敖丙手办数量的2倍，单价比敖丙手办低2元．求该商店购进了多少个哪吒手办． 【答案】该商店购进了20个哪吒手办 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题中等量关系列出分式方程是解题的关键． 设该商店购进了个敖丙手办，则购进了个哪吒手办，根据题意得，解方程进而得到答案． 【详解】解：设该商店购进了个敖丙手办，则购进了个哪吒手办， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （个）， ∴该商店购进了20个哪吒手办． 4. 其他问题 13．（2024·山西·中考模拟）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解． 【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，． 由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得． 在中，，，， ， ． ． 与之间的距离为． （1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得 解，得． 经检验是原方程的解 当时， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得． 解，得 经检验是原方程的解． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质． 14．（2025·山西·中考模拟）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 15．（2025·山西吕梁·二模）全球已进入数字化时代！互联网是，数字空间是．已知人们目前能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有设备和设备两种，其中设备的单价是设备单价的，用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件．求两种穿戴设备的单价分别是多少万元． 【答案】A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设设备的单价是万元，则设备的单价是万元，根据用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件建立分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设设备的单价是万元，则设备的单价是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根． （万元）， 所以，A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元． 16．（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 1．小明同学解方程的过程中，下面说法正确的是（    ） A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，按照正确的步骤解分式方程后即可得到答案. 【详解】解： 方程两边同时乘得， 去括号得， 移项，得， 合并同类项得， 系数化1得， 从解方程过程可知，从第二步开始出现错误， 故选：B 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 3．某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 4．某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】(1)甲车间每天能生产件产品乙车；间每天能生产件产品 (2)安排甲车间生产天，则乙车间生产天 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式以及一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品，分别表示出甲、乙两个车间合作完成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“前后共用10天完成这批订单”建立分式方程求解； （2）设安排甲车间生产天，则乙车间生产天，先根据“安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍”得到关于的一元一次不等式，再设生产总量为，建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天能生产件产品，则甲车间每天能生产件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则（件）， 答：甲车间每天能生产件产品，乙车间每天能生产件产品 （2）解：设安排甲车间生产天，则乙车间生产天， 由题意得：， 解得：， 设生产总量为，由题意得： ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大，即这30天的生产总量最大， ∴， ∴安排甲车间生产天，则乙车间生产天． 5．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 6．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 1．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 2．综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1）500 （2）当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，正确列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元，列方程求解即可； （2）设每年行驶里程为，根据新能源车的年使用费用更少，列不等式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， 得：， 解得：， 检验：当时，，所以是原分式方程的解， 答：的值为500． （2）燃油车的每千米行驶费用：（元）， 新能源车的每千米行驶费用：（元）． 设每年行驶里程为，由题意得： ， 解得：， 答：当每年行驶里程超过时，新能源车的年使用费用更少． 3．综合与实践 背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮妮”正式亮相 图片 素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 如何购买才能使总费用最少？ 【答案】问题一、甲规格每套元，则乙规格每套元； 问题二、购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用． 问题一、设甲规格每套元，则乙规格每套元，根据用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，可列方程：，解方程求出两种规格的单价； 问题二、设甲规格购买了套，则乙规格购买了套，列不等式求出，购买费用为，所以随着的增大而减小，购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 【详解】问题一、解：设甲规格每套元，则乙规格每套元， 根据题意可得：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， ， 答：甲规格每套元，则乙规格每套元； 问题二、解：设甲规格购买了套，则乙规格购买了套， 根据题意可得：， 解不等式得：， 则购买的总费用是， ， 随着的增大而减小， 当时，才能使购买总费用最少， 最少费用是(元)， 此时(套)， 答：购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 1．小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（   ） 解：方程整理，得，第一步 去分母，得，第二步 移项，合并同类项，得，第三步 经检验是原分式方程的解．第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的步骤进行判断即可，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 小海在去分母时未将方程左边的常数项乘以公分母，导致错误． 【详解】解：∵原方程整理后为，去分母时两边应同乘， ∴左边：， 右边：， 得， 但小海第二步写为，错误在于未将乘以， ∴出现错误的是第二步， 故选：B． 2．如果关于x的方程无解，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况． 分式方程无解有两种情况：化简后的整式方程无解，或整式方程的解是增根（使分母为零），进而作答即可． 【详解】解：原方程为， 两边同乘得， 整理得 当即时，方程化为，无解； 当整式方程的解为时，代入得，解得，此时，是增根； 故或时原方程无解． 故答案为：． 3．解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程． 先去分母化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解： 两边同乘得， ∴， 解得， 当时，， ∴原方程的解为． 4．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 自行车因零排放、零油耗、灵活便捷的特点成为城市绿色生活新标配． 素材一 一条笔直的公路经过相距10千米的，两地，甲、乙两人骑自行车从地前往地． 素材二 若乙的速度是甲的速度的2倍，甲比乙早30分钟出发，结果两人同时到达地． 请完成下列任务： 任务 求甲、乙两人骑自行车的速度． 【答案】甲的速度为，乙的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，根据题意列出分式方程解本题的关键． 设甲的骑车速度为，则乙的骑车速度为，然后根据题意列出分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设甲的骑车速度为，则乙的骑车速度为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 甲的速度为，乙的速度为． 5．小文和妈妈去贵州旅游，回来的时候她们买了一些特产，到家后，妈妈和爸爸的对话如图． 设每袋辣椒粉为元． (1)请你通过计算分析，爸爸为什么说妈妈记错了？ (2)妈妈核实账单后，发现刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，每袋刺梨干与辣椒粉的价格的差值算错了，其他都正确．若每袋刺梨干比辣椒粉贵元，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）根据买了相同数量的刺梨干和辣椒粉，列出分式方程，解方程，进而求出辣椒粉的数量，即可解决问题； （2）根据买了相同数量的刺梨干和辣椒粉，列出分式方程，解方程，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解， 此时辣椒粉的数量为（袋）， 辣椒粉的数量为整数， 不合题意， 妈妈搞错了； （2）解：由题意可得， 解得： 刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 整数的值为3． 6．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ (2)甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； (3)商店最少购进甲种商品件； (4) 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用．理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （3）设甲商品购进件，则乙种商品购进件，利用两种商品的总进价不超过元，列出不等式，求解的范围，可得答案； （4）设购进甲种商品件，购进乙种商品件．根据该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），列出关于，的等式，根据等式关系可得答案． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙商品进价-甲商品进价=及可知表示的是购进甲种商品和乙种商品相同的数量．故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得，经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． ∴甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元； （3）解：∵设购进甲种商品件， ∴购进乙种商品件． 根据题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴商店最少购进甲种商品件； （4）解：设购进甲种商品件，购进乙种商品件． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴当越小时，越大． ∴当时，． ∴最多可购进甲种商品件． 故答案为：． 7． 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设A车的行驶费用为元，B车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，B车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，A车的行驶费用更低． 8．综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门每天能生产120个，乙部门每天能生产60个；任务2：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据题意得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门每天能生成个壮锦手提包， 则甲部门每天能生成个壮锦手提包． 由题意得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意． 甲部门每天生成数量：（个）． 答：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个． 任务2：设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）． 根据题意， 解得， 则总支出费用． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值， 最小值为（元）， 乙部门工作天数：（天）， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元． 模拟预测 A 、基础分点练 B 、能力提升练 C 、综合与实践 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习一战成名（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题三 分式方程及其应用 命题点1 分式方程及其解法 1．（2023·山西·中考真题）解分式方程时，去分母后变形为 A． B． C． D． 2．（2025山西中考模拟）设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　） A． B． C．或 D． 3．（2023·山西·中考真题）解方程：． 4．（2025·山西·一模）解方程：． 5．（2024·山西·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程：． 6．（2025·山西吕梁·二模）（1）计算：． （2）解分式方程：． 命题点2 含参分式方程 1．（2024·山西·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．不存在 2．（2023山西忻州中考预测）从﹣，﹣1，，，，2，这七个数字中，随机抽取一个数，记为a，若数a使得关于x的分式方程﹣3＝有整数解，且使关于y的不等式组无解，那么这七个数中所有满足条件的a的值之和为（　　） A． B．0 C．1 D． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 4．（2024·山西临汾中考预测）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 5．（2024·山西运城·中考预测）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 6．（2025·山西大同·一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚． (1)她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程． (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． 命题点3 分式方程的实际应用 1. 行程问题 1．（2024山西·中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间． 2．（2023·山西·中考真题）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间． 3．（2025·山西阳泉·二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间． 4．（2025·山西吕梁·二模）电动垂直起降飞行器凭借其独特的电动化与垂直起降技术，开辟了全新的空中勤模式，极大提升出行效率．在太原开展的交通测试中，从太原武宿国际机场到平遥古城，两地相距约100千米，乘坐电动垂直起降飞行器比乘坐长途大巴少耗时45分钟．经测算，长大巴的速度是电动垂直起降飞行器速度的，请求出电动垂直起降飞行器的速度． 2. 工程、生产问题 5．（2025·山西·中考真题）我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 6．（2025·山西·一模）2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 7．（2025·山西·模拟预测）【热点素材】智慧农业正以迅猛的速度对传统农业进行智能化改造和升级．某镇计划引进甲、乙两种新型东方红辣椒无人直播机进行田间作业，两种机器每天都工作8小时，每台甲型号直播机比每台乙型号直播机每天多播种20亩，同样播种240亩的辣椒，乙型号直播机所用的时间是甲型号直播机所用时间的倍． (1)求甲型号直播机每天工作8小时的播种面积． (2)某镇计划共租用20台甲、乙两种型号的直播机在两天时间内完成全镇2000亩的辣椒播种任务，则至少租用甲型号直播机多少台？ 8．（2025·山西长治·模拟预测）迎泽大街作为太原的城市主干道，它见证了太原的历史变迁和发展变化，承载着几代人的岁月记忆．某段维护工程由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队每天维护的长度是乙工程队的1.2倍，甲工程队维护720米所用的天数比乙工程队维护300米所用的天数多2天． (1)甲、乙两个工程队每天各维护多少米？ (2)有一段长度为2530米的维护工程，因施工需要，该路段同一时间只能允许一个工程队进行维护．为了不影响市民生活，要求15天内必须完工，求至少需要安排甲工程队维护多少天． 3. 购买问题 9．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 10．（2024·山西·模拟预测）山西省太原市某中学为了践行劳动课程标准，学校建立劳动清单，通过课程化实施劳动教育，习惯化推进以劳育人，开辟了一处耕种园．按照耕种园种植需要，学校计划采购一批树苗开展种植活动．根据市场调查：每捆A种树苗，用900元在市场上购买的A种树苗数量比在树苗基地购买数量的一半要多5捆，且在市场上购买的价格是在树苗基地处购买的1.5倍． (1)求树苗基地每捆A种树苗的价格； (2)树苗基地每捆B种树苗的价格是40元，学校预计用不多于1720元的资金在树苗基地购买A，B两种树苗共60捆，同时树苗基地为支持该校活动，对A，B两种树苗均提供八折优惠．求至少可以购买A种树苗多少捆？ 11．（2025·山西晋中·二模）4月23日至25日，以“培育读书风尚建设文化强国”为主题的第四届全民阅读大会成功在我省太原举办，将全民阅读推上了新高潮．某社区老年活动中心为方便老年人阅读，准备购进A、B两种老年大字书供大家借阅．据了解，用600元购买A书籍的数量比购买B书籍的数量多5本，且B书籍的单价是A书籍单价的倍，求A、B两种书籍的单价． 12．（2025·山西吕梁·二模）2025年春节档上映的《哪吒之魔童闹海》一经播出，便引起了极大的反响，票房数据节节攀升，不断刷新记录．为满足消费者需求，某商店用800元购进了一批敖丙手办，用1560元购进了一批哪吒手办，且所购哪吒手办的数量是敖丙手办数量的2倍，单价比敖丙手办低2元．求该商店购进了多少个哪吒手办． 4. 其他问题 13．（2025·山西·中考模拟）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 14．（2025·山西·中考模拟）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 15．（2025·山西吕梁·二模）全球已进入数字化时代！互联网是，数字空间是．已知人们目前能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有设备和设备两种，其中设备的单价是设备单价的，用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件．求两种穿戴设备的单价分别是多少万元． 16．（2025·山西运城·二模）口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 1．小明同学解方程的过程中，下面说法正确的是（    ） A．从第一步开始出现错误 B．从第二步开始出现错误 C．从第三步开始出现错误 D．从第四步开始出现错误 2．解方程：． 3．某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 4．某公司成功研发了一款新型产品，接到了首批订单，产品数量为2100件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完成1500件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 5．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 6．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 1．综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 2．综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车对年使用费用进行对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车行驶千米，耗油量为50升，汽油单价为8元/升（油费=耗油量×汽油单价）；新能源车行驶千米，耗电量为100度，电价为1元/度（电费=耗电量×单价）． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 （1）求出的值； 任务~ （2）每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年使用费用更少；（年使用费用=年行驶费用+年其它费用） 3．综合与实践 背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会的口号是“冰雪同梦，亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮妮”正式亮相 图片 素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 如何购买才能使总费用最少？ 1．小海解分式方程的过程如图所示，他从某一步开始出现了错误，则出现错误的是（   ） 解：方程整理，得，第一步 去分母，得，第二步 移项，合并同类项，得，第三步 经检验是原分式方程的解．第四步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 2．如果关于x的方程无解，那么 ． 3．解分式方程： 4．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 自行车因零排放、零油耗、灵活便捷的特点成为城市绿色生活新标配． 素材一 一条笔直的公路经过相距10千米的，两地，甲、乙两人骑自行车从地前往地． 素材二 若乙的速度是甲的速度的2倍，甲比乙早30分钟出发，结果两人同时到达地． 请完成下列任务： 任务 求甲、乙两人骑自行车的速度． 5．小文和妈妈去贵州旅游，回来的时候她们买了一些特产，到家后，妈妈和爸爸的对话如图． 设每袋辣椒粉为元． (1)请你通过计算分析，爸爸为什么说妈妈记错了？ (2)妈妈核实账单后，发现刺梨干和辣椒粉的单价均为整数，每袋刺梨干与辣椒粉的价格的差值算错了，其他都正确．若每袋刺梨干比辣椒粉贵元，求整数的值． 6．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：乙商品进价-甲商品进价= (1)解法二所列方程中的表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件． (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； (3)若该商店准备购进甲、乙两种商品共件，且两种商品的总进价不超过元，设购进甲种商品件，则该商店最少购进甲种商品多少件？ (4)该商店准备再花费元全部用于购进甲、乙两种商品（两种商品都买），则最多可购进甲种商品 件． 【答案】(1)③ 7． 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 8．综合与实践： 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $