2026年中考数学专题一轮练习：二次函数

2026年中考数学专题一轮练习：二次函数 一、选择题 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( ) A． B． C． D． 2．抛物线与轴有一个公共点，且交于负半轴，则的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 3．将抛物线向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 5．二次函数（b，c，为常数），若，记，则（　　） A． B． C． D． 6．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点.若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 关于x的方程 0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3<x4)，则下列关系式一定正确的是(　　) A． B． C． D． 7．如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（　　） A． B．方程有两个相等的实数根 C．当时， D．抛物线与x轴的另一个交点是 9．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是反比例函数的图象的一部分，由点开始不断重复形成一组“波浪线”．若点在该“波浪线”上，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D．2024 二、填空题 10．将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数的解析式是　 　． 11．当抛物线（b为常数），经过点时．抛物线的顶点坐标为　 　． 12． 二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是　 　． 13．二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为　 　． 14．已知二次函数y= x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为　 　． 15．四位同学在研究函数（m，n是常数）时，甲发现函数的最小值为4；乙发现当时；；丙发现当时，函数有最小值；丁发现是方程的一个根，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是　 　． 三、解答题 16．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 17．在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ （2）若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 18．在平面直角坐标系中，已知二次函数（a，b，c是常数，）． （1）若，函数图象经过点和，求函数的表达式； （2）若和在二次函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 19．某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以为原点，直线为轴，垂直于路面方向为轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 20．已知二次函数经过点A(－1，0)． （1）求二次函数解析式． （2）若点B(t，0)向上平移到点C，再向右平移到点D，若C，D均落在抛物线上，且BC＝CD，求t的值． （3）经过点A的直线l：与抛物线有两个交点，点P在抛物线上且在直线l下方(可以与交点重合)，若点P纵坐标的最大值与最小值之差为9，求k的值． 21．如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，两点，与x轴交于另一点C，直线与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接，过点E作的垂线l，在l上截取线段，使，且点F在第一象限，过点F作轴于点M，设点P的横坐标为t，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，过点E作交的延长线于点H，连接，点G为的中点，当直线经过的中点Q时，求点F的坐标． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】4 13．【答案】 14．【答案】4 15．【答案】丁 16．【答案】 17．【答案】（1）元 （2）售价定为元时，最大利润是元 18．【答案】（1）解：∵， ∴二次函数， ∵函数图象经过点和， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时，关于直线的对称点为， ∵， ∴， ∴， 综上，； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ∴， 如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当时，取最小值， ∵， ∴此时不符合题意； 如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， ∴ ∴， ∴的值为1． 19．【答案】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 （2）解：水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 20．【答案】（1）解：把点A（-1，0）代入y=ax2-2ax-3得， 得0=（-1）2a-2×（-1）a-3 ∴a=1 ∴y=x2-2x-3 （2）解：设C(t，m)且m>0， ∴BC=m ∵BC=CD ∴D(t+m，m) ∵抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1 ∴=1即m=2-2t ∴2-2t>0 ∴t<1 把C(t，m)代入y=ax2-2ax-3， 得m=t2-2t-3 ∴2-2t=t2-2t-3 ∴t1=（舍去），t2=- （3）解：∵抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4 ∴该二次函数的最小值为-4 ∴由题意得点P纵坐标的最小值为-4 ∵点P纵坐标的最大值与最小值之差为9 ∴点P纵坐标的最大值为5，此时点P的坐标为（4，5） 把点P（4，5）、A（-1，0）分别代入直线y=kx+b， 求得k=1 21．【答案】（1）； （2）能， ； （3）点的坐标为：或或或． 22．【答案】（1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $