专题1.2 常用逻辑用语 讲义-2026届高三数学一轮复习

专题1.2 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件和必要条件 知识点梳理 充分条件与必要条件和集合的联系，设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 p是q的必要不充分条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 且 典型例题 例1. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：方法一：方程即方程，表示椭圆的充分必要条件是.显然 “”是“”既不充分也不必要条件，故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件. 方法二：当时，满足“”，此时题中方程可化为：，表示的曲线是圆而不是椭圆. 当时，不满足“”，此时题中方程可化为：，，表示中心在原点，半长轴为，半短轴为的椭圆，故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，故选：D. 例2.设是向量,则是“或”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为，可得， 即，可知等价于， 若或，可得，即， 可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 例3.设甲:,乙: ,则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：当时,例如但,即推不出; 当 时,,即 能推出 . 综上可知, 甲是乙的必要不充分条件. 故选: B. 随堂演练 1.已知平面,则“”是“且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由于，所以.若，则，故充分性成立. 若，设，则存在直线，使得，所以，由于，故.同理存在直线，使得，所以，由于，故.由于 不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立.故选：C. 2.已知向量,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为，，所以，， 当时，，即， 解得：所以“”是的充分不必要条件.故选：A. 3.记为数列的前项和, 设甲:为等差数列; 乙:为等差数列, 则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：甲：为等差数列，设数列的首项公差为即 则 因此为等差数列,即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，设, 即，， 当时，上两式相减得：， 当时，上式成立，于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．故选：C. 4.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在 上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在 上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A. 5.等比数列的公比为，前项和为，设甲: ，乙: 是递增数列，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解：由题意得：当数列为 时, 满足 , 但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件. 若是递增数列,则必有成立,若不成立, 则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立,所以甲是乙的必要条件. 故选: B. 6.已知，则“存在 使得”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解: (1)当存在使得 时, 若为偶数, 则; 若为奇数, 则; (2) 当 时, 或 , , 即 ()或 (),亦即存在使得. 所以, “存在使得”是“”的充要条件.故选: C. 7. 设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为可得: 当时, ,充分性成立; 当时, ,必要性不成立; 所以当, 是的充分不必要条件.故选: A. 8.若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：充分性：因为，且，所以， 所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以，即，即，所以. 所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件. 1.2.2 全称量词命题和存在量词命题 知识点梳理 1.全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命 题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x， p(x)成立”，可用符号 简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”， 可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.全称量词命题和存在量词命题的否定： （1）全称量词命题的否定：全称量词命题∀x∈M，p(x)，否定为：∃x∈M，p(x)。 （2）存在量词命题的否定：存在量词命题∃x∈M，p(x)，否定为：∀x∈M，p(x)。 典型例题 例1.下列命题为真命题的是( ) A.且 B.或 C. D. 解：A项，因为，所以且是假命题，A错误； B项，根据、易知B错误； C项，由余弦函数性质易知，C错误； D项，恒大于等于，D正确，故选：D。 例2.已知命题;命题,则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 解：对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题. 故选: B. 例3.命题“”的否定形式是( ) A. B. C. D. 解：由全称量词命题与存在量词命题的否定可知: 命题“”的否定形式是“”. 故选: C. 随堂演练 1.下列命题中的假命题是( ) A. B. C. D. 解：对于A,因为指数函数的值域为,所以，A对; 对于B, 当时,，B对; 对于C,当时,, C错; 对于D,当时, , D对.故选: C. 2.命题 , 命题 ,则( ) A.真真 B.假假 C.假真 D.真假 解：对于命题:令 ,则开口向上,对称轴为：, 且,则,所以, ,即命题为真命题; 对于命题:因为,所以方程无解,即命题为假命题. 故选: D. 3.设命题, 则为( ) A. B. C. D. 解：存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题的否命题应该为,即本题的正确选项为C. 4.命题“,函数在上单调递增”的否定为( ) A.,函数在上单调递减 B.,函数在上不单调递增 C.,函数在上单调递减 D.,函数在上不单调递增 解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，函数在上单调递增” 的否定为“，函数在上不单调递增”.故选：B. 5.已知命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0，命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0．若命题p为真命 题，则a的取值范围为 ；若p是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围为 ． 解：①因为命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0为真命题，所以Δ＝a2﹣4≥0，解得a≤﹣2或a≥2． 故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）． ②若p是假命题，则﹣2＜a＜2，因为命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0是真命题， 所以在x∈[0，3]上恒成立．令t＝x+1，则x＝t﹣1，t∈[1，4]， 则，当且仅当时取等号， 所以，所以．综上所述：． 故实数a的取值范围． 6.命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若p，q都为真命题，求实 数a的取值范围． 解：因为命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，所以a≤1； 命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，则Δ＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2， 若p，q都为真命题，则，即a≤﹣2或a＝1， 故a的范围为{a|a≤﹣2或a＝1}． 7.已知命题p：∀2≤x≤3，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a＝0． （1）若命题￢p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和￢q均为真命题，求实数a的取值范围． 解：（1）若命题¬p为假命题，则命题p为真命题， 即a≤x2在x∈[2，3]恒成立，所以a≤（x2）min＝4， 即实数a的取值范围是（﹣∞，4]． （2）当命题q为真命题时，因为∃x∈R，x2+2ax+2a＝0， 所以Δ＝4a2﹣8a≥0，解得a≤0或a≥2， 因为¬q为真命题，则0＜a＜2， 又由（1）可知，命题p为真命题时a≤4， 所以a≤4且0＜a＜2，即实数a的取值范围是（0，2）． 8.已知命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”． （1）写出命题p的否定形式￢p； （2）若命题￢p是一个假命题，求实数a的取值范围． 解：（1）￢p：“∃x∈R，使得2ax2+ax+1≤0”； （2）命题￢p为假命题， 可得命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”为真命题． 即∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0恒成立． 当a＝0时，1＞0恒成立． 当a＞0时，，得0＜a＜8， ∴实数a的取值范围为[0，8）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 常用逻辑用语 1.2.1 充分条件和必要条件 知识点梳理 充分条件与必要条件和集合的联系，设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 p是q的必要不充分条件 且 p是q的既不充分也不必要条件 且 典型例题 例1. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 例2.设是向量,则是“或”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 例3.设甲:,乙: ,则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 随堂演练 1.已知平面,则“”是“且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知向量,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.记为数列的前项和, 设甲:为等差数列; 乙:为等差数列, 则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.等比数列的公比为，前项和为，设甲: ，乙: 是递增数列，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6.已知，则“存在 使得”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 设,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.2.2 全称量词命题和存在量词命题 知识点梳理 1.全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命 题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x， p(x)成立”，可用符号 简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”， 可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.全称量词命题和存在量词命题的否定： （1）全称量词命题的否定：全称量词命题∀x∈M，p(x)，否定为：∃x∈M，p(x)。 （2）存在量词命题的否定：存在量词命题∃x∈M，p(x)，否定为：∀x∈M，p(x)。 典型例题 例1.下列命题为真命题的是( ) A.且 B.或 C. D. 例2.已知命题;命题,则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 例3.命题“”的否定形式是( ) A. B. C. D. 随堂演练 1.下列命题中的假命题是( ) A. B. C. D. 2.命题 , 命题 ,则( ) A.真真 B.假假 C.假真 D.真假 3.设命题, 则为( ) A. B. C. D. 4.命题“,函数在上单调递增”的否定为( ) A.,函数在上单调递减 B.,函数在上不单调递增 C.,函数在上单调递减 D.,函数在上不单调递增 5.已知命题p：∃x∈R，x2﹣ax+1＝0，命题q：∀x∈[0，3]，x2﹣ax﹣a+1≥0．若命题p为真命 题，则a的取值范围为 ；若p是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围为 ． 6.命题p：∀x∈[1，2]，a≤x2，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，若p，q都为真命题，求实 数a的取值范围． 7.已知命题p：∀2≤x≤3，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax+2a＝0． （1）若命题￢p为假命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和￢q均为真命题，求实数a的取值范围． 8.已知命题p：“∀x∈R，使得2ax2+ax+1＞0”． （1）写出命题p的否定形式￢p； （2）若命题￢p是一个假命题，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $