1.2 常用逻辑用语（教师用书Word）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

该高中数学讲义紧扣常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判定、全称与存在量词及命题否定，以概念表格系统梳理、集合关系结论提炼构建知识网络，通过基点诊断、题型分类（判定、应用）、真题精讲等环节，助力学生突破逻辑推理难点。 资料注重数学思维与语言培养，如用“小范围推大范围”直观理解条件关系，“量词变、结论否”规范命题否定，设置分层练习与教考衔接真题，高效提升学生逻辑工具运用能力，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

1．2　常用逻辑用语 [课标要求]　1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．　2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【必备知识】 1．充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p [提醒]　在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围，如x>3(小范围)⇒x>2(大范围)，x>2(大范围)/⇒x>3(小范围)． 2．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” ∀ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些” ∃ 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 定义 结构 简记 全称量词命题 含有全称量词的命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 存在量词命题 含有存在量词的命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) 4.全称量词命题与存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬ p(x) ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬ p(x) [提醒]　因为命题p与¬ p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． 【必记结论】 1．充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 2．p是q的充分不必要条件，等价于¬ q是¬ p的充分不必要条件． 　 【基点诊断】 1．判断下列说法正误(在括号内打“√”或“×”) (1)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　 ) (2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　 ) (3)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题．(　　 ) (4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是(　　 ) A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得 解析：选AC.对于A，∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A选项是全称量词命题且为真命题； 对于B，当m＝0时，nm＝m恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题； 对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以<，故D选项是存在量词命题且为假命题． 3．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当x>1时一定能够得到|x|>1，但是|x|>1却不一定得到x>1，也可以是x<－1. 4．已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定¬ p为(　　 ) A．∀n∈N*，n2≤n－1 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1 解析：选C.由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬ p为∃n∈N*，n2≤n－1. 5．使－2<x<2成立的一个充分条件是(　　 ) A．x<2 B．0<x<2 C．－2≤x≤2 D．x>0 解析：选B.由0<x<2⇒－2<x<2知选B. 题型一　充分、必要条件的判定 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】　(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.当m∥n时，l⊥α，当l⊥α时，m∥n，综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件． (2)(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　 ) A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：选C.法一　甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d， 则，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为t， 即＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确． 法二　甲：{an}为等差数列，设数列{an}首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即＝S1＋(n－1)D， 即Sn＝nS1＋n(n－1)D，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D， 当n≥2时，上两式相减得an＝Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立， 于是an＝a1＋2(n－1)D，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数， 因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件． 方法指导　判断充分、必要条件的三种方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 【对点练习】　1.(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)，则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若f(x)是奇函数，则f(0)＝cos φ＝0， 所以φ＝＋kπ，k∈Z， 则“φ＝”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件． (2)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B.若a2＝b2，则当a＝－b≠0时， 有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab， 所以a2＝b2a2＋b2＝2ab； 若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0， 即(a－b)2＝0，所以a＝b， 则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2. 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 题型二　充分、必要条件的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】　 (1)(多选)使不等式1＋>0成立的一个充分不必要条件是(　　 ) A．x>2 B．x≥0 C．x<－1或x>1 D．－1<x<0 解析：选AC.不等式1＋>0⇔>0⇔(x＋1)x>0，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞).A，B，C，D四个选项中，只有A，C对应的集合为(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集． (2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________． 解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P， ∴解得0≤m≤3. 答案：0≤m≤3 [变式]　将本例(2)条件中“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“若x∈P是x∈S的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：∵x∈P是x∈S的充分不必要条件， ∴PS， ∴或解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞)． 思维升华　求参数问题的解题策略 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 【对点练习】　2.在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．) 解：(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①：“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1，1)； 选②：“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1，1)． 题型三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 【例3】　(1)(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” 解析：选ABC.对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确． (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：______________________． 答案：至少有一个实数是无理数 思维升华　否定全称(存在)量词命题，一是改变量词，二是否定结论．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． 角度2　含量词命题的真假判断 (1)判断全称量词命题真假的方法 ①定义法：若对于给定的集合中的每一个元素x，p(x)都为真，则全称量词命题为真． ②特值法：若在给定的集合内找到一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假． (2)判断存在量词命题真假的方法 特值法：若在给定的集合中找到一个x，使p(x)为真，则存在量词命题为真，否则命题为假. 教考衔接 链接高考·【例4】　(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　 ) A. p和q都是真命题 B. ¬ p和q都是真命题 C. p和¬ q都是真命题 D. ¬ p和¬ q都是真命题 解析：选B.因为∀x∈R，|x+1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬ p为真命题.因为x3＝x，所以x3-x＝0，所以x(x2 -1)＝0，即x(x+1)(x-1)＝0，解得x＝-1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬ q为假命题，所以¬ p和q都是真命题. 教材溯源·1.(苏教版必修第一册P43 T7)对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法正确的是(　　 ) A. p和q都是真命题 B. p和q都是假命题 C. p是真命题，q是假命题 D. p是假命题，q是真命题 解析：选C.全等的三角形面积必相等，反之面积相等的三角形不一定全等，故p真q假. 2.(人教B版必修一P31)已知q：∀x∈[-2，3)，x2 <9，写出¬ q，并判断¬ q的真假. 解：¬ q：∃x∈[-2，3)，x2 ≥9；由x2 ≥9得{x|x≥3或x≤-3}，故在x∈[-2，3) 上不存在满足条件的值，故¬ q是假命题.　 角度3　含量词命题的应用 【例5】　(1)若命题“∀x∈[－1，2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　 ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 解析：选B.由“∀x∈[－1，2]，x2＋1≥m”是真命题可知， 不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1，2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1，2]， 易知函数y＝x2＋1在x∈[－1，2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]. (2)若“∃x∈，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________． 解析：若“∃x∈，使得2x2－λx－1＜0成立”是假命题，则“∀x∈，2x2－λx－1≥0成立”是真命题，分离参数得.设f(x)＝2x－，x∈，则f ′(x)＝2＋＞0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)的最小值为＝－1，所以λ≤－1. 答案：(－∞，－1] 【对点练习】　3.(1)下列命题为真命题的是(　　 ) A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．∀x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1＝0 解析：选C.对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝>0，故D错误． (2)(多选)已知命题p：∀x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是(　　 ) A．命题p的否定是“∃x∈[0，1]，不等式2x－2<m2－3m” B．命题q的否定是“∀x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4≥0” C．当命题p为真命题时，1≤m≤2 D．当命题q为假命题时，a<4 解析：选ACD.命题p的否定是“∃x∈[0，1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0，1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1，3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a<x＋恒成立，因为x＋＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以a<4，故D正确． (3)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f(x)min≥g(x)min，即0≥－m，所以m≥. 答案：[，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $