精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Ⅱ卷）

哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度上学期期末考试 高二年级数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，仅有一项正确） 1. 计算：（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程． 【详解】抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,=1， ∴抛物线的准线方程是x＝﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题． 3. 函数在点处的导数值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式即可求解. 【详解】由得，所以， 故选：B 4. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 52 B. 40 C. 44 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列下标和性质可得：，由等差数列前项和公式，代入即可得出答案. 【详解】等差数列前项和公式，由等差数列下标和性质可得：，所以. 故选:C. 5. 两圆和的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 【答案】A 【解析】 【分析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆的圆心坐标为，半径为， 两圆圆心距为，则， 因此，两圆和内切. 故选：A. 6. 数列，若，，则（ ） A. 34 B. 43 C. 53 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】应用累加法及等差数列求和计算求解. 【详解】∵当时，且，∴， ∴． 故选：B. 7. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题意可得为的中点，然后利用中点坐标公式和斜率公式可求得结果. 【详解】设，则， 因为，所以为的中点， 所以， 故直线的斜率. 故选：D 8. 若函数定义在上且可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 设从东、西、南、北四面通往山顶的路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ） A. 从东面上山有20种走法 B. 从西面上山有27种走法 C. 从南面上山有30种走法 D. 从北面上山有32种走法 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步乘法原理求解即可. 【详解】若从东面上山，则上山走法有2种，下山走法有10种，由分步计数原理可得共有20种走法； 若从西面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法； 若从南面上山，则上山走法有3种，下山走法有9种，由分步计数原理可得共有27种走法； 若从北面上山，则上山走法有4种，下山走法有8种，由分步计数原理可得共有32种走法； 故选：ABD 10. 题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）． A. 函数在区间上是严格减函数 B. 函数在区间上是严格减函数 C. 函数在区间上是严格增函数 D. 函数在区间上是严格增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性. 【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确； 对B：在区间上有正有负，故B错误； 对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确； 对D：在区间上有正有负，故D错误； 故选：AC. 11. 记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据数列的增减性由所给等式求出，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断. 【详解】数列{an}为单调递增的等比数列，且， ，，解得， ，即，解得或， 又数列{an}为单调递增的等比数列，取，， ，，. 故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是E的右支上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. E的离心率是 C. 的最小值是6 D. P到两渐近线的距离的乘积是3 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由双曲线方程，得出，即可利用定义、离心率、渐近线方程以及点到直线距离公式即可得判断，进而得出答案. 【详解】解：已知双曲线，得， 则， 由双曲线的定义得：，所以选项正确； 离心率，所以选项不正确； 当在右顶点时，取得最小值，即，则正确； 因为双曲线的渐近线方程为， 设点，则，即， 则点到和到的距离乘积为： ，则正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，涉及到双曲线的定义、离心率、渐近线方程，以及点到直线的距离公式，属于基础题，需要对双曲线知识点有一定的掌握. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】，，， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故答案为： 14. 将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______． 【答案】37 【解析】 【分析】利用对立事件法求解，先计算总数，在计算甲部门没有人的种数。 【详解】先不考虑甲部门是否有人，总数为种； 甲部门没有人的种数为种； 所以甲部门有人的安排方法种数为种； 故答案为：37 15. 已知椭圆的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围____________ 【答案】 【解析】 【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得结论． 【详解】 如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大， 当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值． 椭圆上存在点使得是钝角， 中，， 中，， ，即， ，可得， ， ， ， 故答案为：. 16. 有一个数阵排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64…… 则第9行从左至右第3个数字为________________. 【答案】768 【解析】 【分析】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列，可求出第9行首项；每行按公差为 排列,可解 【详解】数阵排列第一列是首项为1，公比为2的等比数列 所以第9行首项为，第9行公差为， 所以第9行从左至右第3个数字为 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量运算及学生观察分析能力. 解决等差、等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等差、等比数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量. 四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17. 已知圆过两点、，且圆心直线上. （1）求圆的标准方程； （2）判断点与圆的关系. 【答案】（1）；（2）点P在圆外. 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程； （2）根据点与圆C的位置关系，即可得到结论. 【详解】（1）圆心在直线上， 设圆心坐标为， 则， 即， 即， 解得，即圆心为， 半径 则圆的标准方程为 （2） 点在圆的外面. 【点睛】本题考查（1）圆标准方程求解（2）判断一点是否在圆上，属于基础题. 18. 已知等比数列各项均为正数，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出公比，再根据等比数列的通项即可得解； （2）利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设公比为， 由，得，所以（舍去）， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以. 19. 已知函数若函数在处取得极小值. （1）求实数a，b的值； （2）求的单调区间和极大值. 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性和极大值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数在处取得极小值， 所以，解得， 此时， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取到极小值，符合题意． 所以． 【小问2详解】 由（1）知， ，， ， 令，则或， 当时， 或 ，所以在，上单调递增； 当时，，在单调递减． 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，函数取到极大值，即. 20. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得，即可证明. 【小问1详解】 当时，， 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， ， 因为，所以. 21. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，由导数的几何意义即可作答； (2)把给定不等式等价转化为，由此构造函数并求其最大值即可得解. 【详解】（1）因，则，， 于是得，， 所以的图象在点处的切线方程为，即； （2）依题意，， 令，，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减， 于是有时，取最大值，即，从而得， 所以的取值范围. 22. 已知椭圆，离心率，过点. （1）求的方程； （2）直线过点，交椭圆于、两点，记，并设直线、直线的斜率分别为、，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，可得出椭圆的方程为，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可证得结论成立. 【小问1详解】 解：因为，则，， 所以，椭圆的方程为，即， 将点的坐标代入椭圆的方程可得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：若直线与轴重合，此时，直线、斜率都不存在，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， . 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度上学期期末考试 高二年级数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，仅有一项正确） 1. 计算：（ ） A 5 B. 10 C. 15 D. 20 2. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 3. 函数在点处的导数值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 52 B. 40 C. 44 D. 36 5. 两圆和的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交 6. 数列，若，，则（ ） A. 34 B. 43 C. 53 D. 64 7. 已知抛物线，过点直线与抛物线交于两点，若，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数定义在上且可导，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 设从东、西、南、北四面通往山顶路分别有2，3，3，4条，现要从一面上山，从剩余三面中的任意一面下山，则下列结论正确的是（ ） A. 从东面上山有20种走法 B. 从西面上山有27种走法 C 从南面上山有30种走法 D. 从北面上山有32种走法 10. 题图为的图像，下列判断中正确的是（ ）． A. 函数在区间上是严格减函数 B. 函数在区间上是严格减函数 C. 函数在区间上是严格增函数 D. 函数在区间上是严格增函数 11. 记单调递增等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是E的右支上一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. E的离心率是 C. 的最小值是6 D. P到两渐近线的距离的乘积是3 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的图象在点处的切线方程为______． 14. 将三个人随机安排到甲、乙、丙、丁这四个部门工作，已知甲部门一定有人，则不同的安排方法种数是______． 15. 已知椭圆的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点使得是钝角，则满足条件的范围____________ 16. 有一个数阵排列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 …… 2 4 6 8 10 12 14…… 4 8 12 16 20…… 8 16 24 32…… 16 32 48 64…… 32 64 96…… 64…… 则第9行从左至右第3个数字为________________. 四、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17. 已知圆过两点、，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）判断点与圆的关系. 18. 已知等比数列各项均为正数，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知函数若函数在处取得极小值. （1）求实数a，b的值； （2）求的单调区间和极大值. 20. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）令，数列的前项和为，证明：. 21. 已知函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若，求的取值范围. 22. 已知椭圆，离心率，过点. （1）求的方程； （2）直线过点，交椭圆于、两点，记，并设直线、直线的斜率分别为、，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $