江苏省盐城市、南京市2025-2026学年高三上学期期末调研测试数学试卷

盐城市、南京市2025一2026学年度第一学期期末调研测试 高三数学参考答案 2026.01 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，清把答案填涂在答题卡相应位置上 1.B2.A3.D4.D5.A6.C7.B8.C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得 部分分，不选或有错选的得0分。 9.ABD 10.BD 11.BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 12.x)=logx(答案不唯一） .9 14.元 四、解答题：本大题兴5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为S5=15,所以(@1十a5)=15,即5a3=15,可得a3=3,…3分 又因为a4=4,所以公差d=1,a1=1,故an=1十(n-1)=n. …6分 (2)因为bm=(-1)”an2=(-1)n2, 所以T2m=-12+22-32+42-52+62+…+(-1)2(2n)2, =(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+…+[2n-(21-1)][2n+(2n-1)小…9分 =1十2+3+4十+2n=22+D-22+n. 2 …13分 16.(本小题满分15分) (1)证明：方法一：分别取CD,AB的中点O,G,连结PO,OG,PG. 因为在正三角形PCD中，PD=PC,所以PO⊥CD.…2分 因为BC=CD=DA=2,AB=4,AB∥CD, 所以四边形ABCD为等腰梯形. 因为O,G分别是CD,AB的中点， 所以OG⊥CD,OG=3: 又P0∩OG=O,PO,OGc平面POG,所以CDL平面POG. 因为PGC平面POG,所以CD LPG.… …4分 又因为CD∥AB,所以AB⊥PG. 因为GB=2AB=2,PB=V10,所以PG=V6, 又因为正三角形PCD边长为2，所以P0=V3, 第1页共4页 故P02+0G2=PG2,从而P0L0G 又因为PO⊥CD,OG,CDc平面ABCD,OG∩CD=O,所以POL⊥平面ABCD. 因为POc平面PCD, 所以平面PCD⊥平面ABCD.…6分 方法二：取CD中点O,连结PO,OB 因为在等边三角形PCD中，PD=PC,所以PO⊥CD.…2分 在△OCB中，由余弦定理得OB2=OC2+CB2-20CCB.cos∠0CB=1+4+2=7,故OB=V7, 因为P0=V3,PB=V10,满足PB2=P02+OB2,因此P0LOB.…4分 又因为OB,CDc平面ABCD,OB∩CD=O,所以PO⊥平面ABCD. 因为POc平面PCD, 所以平面PCD⊥平面ABCD..… …6分 (2)以{0心，OC,OP)为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，则 C(0,1,0),D0,-1,0),B3,2,0),AV3,-2,0),P(0,0,V3) …8分 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 由mPt=y-V5=0. 令x=1,则y=-V5,z=-1, m:PB=13x+2y-3=0, 得m=(1,-3,-1). 设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,z), 由n-P市=-y-V5=0, n.PA=V3x-2y-3=0, 令=1，则y=5,z=-1, 得n=(1,√3，-1). 同理可得，平面PAD的一个法向量n=(1,V3, -1)…12分 设平面PAD与平面PBC所成角为a, 则cosa-leos<m,n>=号从而sina=V-cosa=26, 5 26 所以平面PAD与平面PBC所成角的正弦值为 …15分 17.(本小题满分15分) 解：(L)因为tanA=十sinB cosB 所以sin4 cosB 'cosA 1+sinB sinA(1+sinB)=cosAcosB,sinA=cosAcosB-sinAsinB, 故sinA=cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC. 因为C-受 2π1 所以sinA=-cos3=2 因为A∈0，.所以A若 …6分 (2)因为△ABC外接圆的半径为1，所以a=2sinA,b=2sinB,c=2sinC. 由(L)知siA=-cosC,又A,C∈0，)，可得cos(A+7=cosC, 第2页共4页 所以C=A+号B-2A,A∈0，孕， SAAnc-zabsinC-2sinAsinBsinC-2sinAsin(2A)cosA-sin2Acos2A-sin4A. π 所以当A=g时，SAAnC取得最大值. 此时 b 2sinB 2sin吃-2A)） cos2A 4sin A 1-cos2A 7c0心2AV2+1.…15分 4× 18.(本小题满分17分) 1 =1一2) a 4 ja2=4, 解：(1)由题意得 3 。1 a2+4=1, 解得6=1. 所以椭圆E的标准方程为+y=1. …4分 (2)①延长NA交椭圆E于点M',延长MB交椭圆E于点N', 由对称性知AM'=BM,AN=BN',所以四边形MNMN'是平行四边形， 因为A,B关于原点对称，所以N,N关于原点对称， 设M1,y),N2,y2),则N(一x2,一2， 所以=2》二2-y=空2y2 X2一x一x2一x1x22-灯 …7分 又点MN在稀图E上，可得+y2=1,至+=， 所以2子+以2-2=0.化简得2器=子故kkw=一 1 又因为MN'WAN,所以kw=k景故ks=—是 …10分 ②由①可知，在平行四边形MNMW中，BM=AM',从而S四边形ABMN=2S△OMw 因为构成四边形ABMN,所以MN的斜率必不为O. 3 设MW的方程为x=m四y一2，N2,2),M',), +y=1, 得m+4r2-3my子-0. 3m 7 △=9m2+702+4)=16m2+28>0,2+为=m+42y= 40m2+4) …13分 方法-：因为wM=V+m1为=V+mV6+-4=2V十m王 m2+4 点O到直线MN的距离为2√+m 3 所以5ovw=号2V+m47 3 314m2+7 m+42√1+m 2m2+4 …15分 第3页共4页 当号即m=土时取等号. 所以(S四边形ABWW)ax=2(S△OMw)mx=2.……17分 31V4m2+7 方法二：因为5 SOMN-A0--为l=X3XV2+-42=号+4 …15分 （下同方法一)……17分 19.(本小题满分17分) 解：(1)由题意得f'(x)=2e'cosx, 因为f'0)=2,f(0)=1, 所以x)在x=0处的切线方程为y-1=2(x一0)，即y=2x十1.…3分 （2)证明：令h)=十8x还-， 则hWtw*g2径-+gw(-=2 e(-sn于-. 3π …6分 因为x∈货亞，所以cos一sinx<0.可得h≤0，故)在5 亞上单调递减。 所以M)≥h亞=0，不等式得证. …9分 (8)冷.=，-2则%∈5孕. 由(2)得0+g0x证-yJ>0,又g0=2ecs<0, 所以4-%-2+交-<- g(y) 由fy,)=e。2mr[sin(xn-2n)十cos(cn-2n]=e2m,所以f0)≤1=fx). 因为fx)<0,所以n≥0 由g'(x)=2e'(cosx-sinx)<0,所以g0yn)≤g(xo)=2 e"cosxo. 因为e(sino十coso)=l,所以g0)≤2 COS 2 sinxo+cosxo tanxo+1' 因为6∈号头，所以ano十1<0，从 1、tanxo+l g0n)2 所以一s一e十中， 80yn) 2 故2nm+ -m<-e2 m tanxo十1 2 …17分 第4页共4页盐城市、南京市2025一2026学年度第一学期期末调研测试 高三数学 2026.01 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自已的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项， 1.已知集合A=(-1,4],B=(x∈Z‖x|≤3}，则A∩B= A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{0,1,2} D.（-1,3] 2.若复数z满足之·（1十i)=5i,则x在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知随机变量X服从正态分布N(号2)，且P(X<1)=0.3,则P(X<2)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.7 4.已知直线y=x一2与抛物线C:x2=2py(p>0)相切，则抛物线的焦点到准线的距离为 A受 B.2 C.3 D.4 5.设x∈R,则“tanx=1”是“cos2x=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,am+1=an·a-1(n≥2)，记bn=log2(anam+1),Sn为{bn}的 前n项和，则Sg= A63 B.127 C.255 D.256 7.在△ABC中，AC.A店-子A-AC,则tanA- A.2-√3 8③ C.1 D.√5 8.已知函数f(x)=x十e,g(x)=x十lnx,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),则x1十x2一lnt的取 值范围为 A.（-∞，1] B.(-∞，e] C.[1,+∞) D.[e,十o) 高三数学试卷第1 页（共4页） 1 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a>b>0,c>0,则下列不等式成立的是 B.6+>b atc a C.ca>c8 D.a+日)日+c)≥4 10.“水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代 表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板 块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件 A,=“甲体验指尖非遗”，A2=“甲体验潮玩非遗”，A,=“乙体验舌尖非遗”，则 A.A1与A2对立 BPa,)-日 C.A,与A,相互独立 D.P(AlA) 1,在直角△ABC中，已知AC=5,B=音，D为斜边AB的中点，将△ACD沿着CD所在直 线翻折，得到△PCD,记三棱锥P一BCD体积为V,则在翻折过程中 A.V的最大值为R的 B.存在某个位置，使得CP⊥BD C.当V取最大值时，直线PC与平面BCD所成的角最大 D.当V取最大值时，三棱锥P一BCD外接球的半径为√区 2 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分.请把答案写在答题纸的指定位置上。 12.若定义在(0，十∞)上的诚函数f(x)满足f(x3)=3f(x),请写出满足条件的一个函数 f(x)=▲， 13.已知直线l:x+y一4=0与圆C:(x一3)2+y2=4交于A,B两点，与y轴交于点P,H为 AB的中点，则PH的长为▲一， 14.已知u>0,曲线y=sinwx与y=sin(兮-uz)相邻的三个交点恰为一个直角三角形的三个 顶点，则w=△ 高三数学试卷第2页（共4页） 2 四、解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答 案写在答题纸的指定区域内. 15.(本小题满分13分) 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a,=4,S6=15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn=(一1)”·a?,求数列(bn)的前2n项和T2m. 16.(本小题满分15分) 在四棱锥P一ABCD中，侧面PCD是等边三角形，AB∥CD,且BC=CD=AD=2,AB=4, PB=√10. (1)求证：平面PCD⊥平面ABCD; (2)求平面PAD与平面PBC所成角的正弦值. (第16题图) 17.(本小题满分15分) cosB 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanA=十siB~ (1若C-行求A: (2)若△ABC外接圆半径为1，当△ABC的面积取最大值时，求 2. 高三数学试卷第3页（共4页） 3 18.(本小题满分17分) 已知捕圆E十是1@>6>0)的离心率为月 号，且过点5，. (1)求椭圆E的标准方程， (2)若A(-号，0)，B(号，0)，M,N为精圆E上两点（均在x轴上方），且AN/BM, ①已知直线AN的斜率为号，求直线MN的斜率， ②求四边形ABMN面积的最大值， 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=e(sinx十cosx),其导函数记为g(x). (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； 2)当z∈[受，]时，求证fx)十gz经-x)≥0： (3)设工，是fx)=1在区间(2mx+受，2mx+经)内的根，其中n∈N,求证： 2ax+经-2，<-e(au+1》. 高三数学试卷第4页（共4页)